上海市黄浦区2015-2016学年高二上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分 . 1椭圆 00 的长轴长为 _ 2已知直线 l 的一个方向向量的坐标是 ，则直线 l 的倾斜角为 _ 3已知二元一次方程组 的增广矩阵是 ，则此方程组的解是_ 4行列式 中 3 的代数余子式的值为 _ 5已知 三个顶点分别为 A（ 1， 2）， B（ 4， 1）， C（ 3， 6），则 上的中线 _ 6已知直线 方程为 3x y+1=0，直线 方程为 2x+y 3=0，则两直线 夹角是 _ 7用数学归纳法证明 “1+ + + n（ n N*， n 1） ”时，由 n=k（ k 1）不等式成立，推证 n=k+1 时，左边应增加的项数是 _ 8执行如图所示的程序框图，若输入 p 的值是 6，则输出 S 的值是 _ 9若圆 C 的方程为 x2+21=0，且 A（ 1， 2）， B（ 2， 1）两点中的一点在圆 C 的内部，另一点在圆 C 的外部，则 a 的取值范围是 _ 10若 ，且 存在，则实数 a 的取值范围是 _ 第 2 页（共 17 页） 11已知直线 点 P（ 1， 4）且与 x 轴交于 A 点，直线 点 Q（ 3， 1）且与 y 轴交于 B 点，若 ，则点 M 的轨迹方程为 _ 12如图所示， 边长为 4 的等边三角形，点 P 是以点 C 为圆心、 3 为半径的圆上的任意一点，则 的取值范围是 _ 二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分 . 13点（ a， b）关于直线 x+y=1 的对称点的坐标是（ ） A（ 1 b， 1 a） B（ 1 a， 1 b） C（ a， b） D（ b， a） 14若位于 x 轴上方、且到点 A（ 2， 0）和 B（ 2， 0）的距离的平方和为 18 的点的轨迹为曲线 C，点 P 的坐标为（ a， b），则 “ ”是 “点 P 在曲线 C 上 ”的（ ） A B C D既非充分又非必要条件 15在圆 x2+2x 6y=15 内，过点 E（ 0， 1）的最长弦和最短弦分别是 |值为（ ） A B C D 16对数列 若对任意的正整数 n，都有 ， ，则称 为区间套下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A B C D 三、解答题（本大题满分 56 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤 . 17已知两直线 x+（ m+1） y+m 2=0， y+8=0 （ 1）当 m 为何值时，直线 直； （ 2）当 m 为何值时，直线 行 18在直角 ， C 是直角，顶点 A， B 的坐标分别为（ 4， 4），（ 2， 4），圆 外接圆 （ 1）求圆 E 的方程； （ 2）求过点 M（ 4， 10）且与圆 E 相切的直线的方程 19已知 是不平行的两个向量， k 是实数，且 （ 1）用 表示 ； 第 3 页（共 17 页） （ 2）若 ，记 ，求 f（ k）及其最小值 20在数列 ， ，且对任意 n N*，都有 （ 1）计算 此推测 通项公式，并用数学归纳法证明； （ 2）若 ，求无穷数列 各项之和与最大项 21已知点 P 是曲线 上的动点，延长 O 是坐标原点）到 Q，使得|2|点 Q 的轨迹为曲线 （ 1）求曲线 方程； （ 2）若点 别是曲线 左、右焦点，求 的取值范围； （ 3）过点 P 且不垂直 x 轴的直线 l 与曲线 于 M， N 两点，求 积的最大值 第 4 页（共 17 页） 2015年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分 . 1椭圆 00 的长轴长为 20 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 利用椭圆的简单性质求解 【解答】 解：椭圆 00 化为标准形式，得： =1， a=10， b=5， 椭圆 00 的长轴长为 2a=20 故答案为： 20 2已知直线 l 的一个方向向量的坐标是 ，则直线 l 的倾斜角为 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 设直线 l 的倾斜角为 ， 0， ），则 ，即可得出 【解答】 解：设直线 l 的倾斜角为 ， 0， ），则 ， = 故答案为： 3已知二元一次方程组 的增广矩阵是 ，则此方程组的解是 【考点】 系数矩阵的逆矩阵解方程组 【分析】 先利用增广矩阵 ，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得 【解答】 解：由题意，方程组 解之得 故答案为 第 5 页（共 17 页） 4行列式 中 3 的代数余子式的值为 5 【考点】 三阶矩阵 【分析】 写出行列式的 3 的代数余子式，再计算，即可得到结论 【解答】 解：由题意，行列式 中 3 的代数余子式为 =（ 3+2） = 5 故答案为： 5 5已知 三个顶点分别为 A（ 1， 2）， B（ 4， 1）， C（ 3， 6），则 上的中线 3x 2y+2=0 【考点】 待定系数法求直线方程 【分析】 由 中点 M（ 2， 4），利用两点式方程能求出 上的中线所在的直线方程 【解答】 解： 中点 M（ 2， 4）， 上的中线 在的直线方程为： = ， 整理，得 3x 2y+2=0， 故答案为： 3x 2y+2=0 6已知直线 方程为 3x y+1=0，直线 方程为 2x+y 3=0，则两直线 夹角是 【考点】 两直线的夹角与到角问题 【分析】 设直线 夹角的大小为 ，求出直线的斜率，则由题意可得 |=1，由此求得 的值 【解 答】 解：设直线 夹角的大小为 ，则 0， ）， 由题意可得直线 斜率为 3，直线 斜率为 2， |=1，解得 = ， 故答案为： 7用数学归纳法证明 “1+ + + n（ n N*， n 1） ”时，由 n=k（ k 1）不等式成立，推证 n=k+1 时，左边应增加的项数是 2k 【考点】 数学归纳法 第 6 页（共 17 页） 【分析】 观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加 1，末项为 ，然后判断 n=k+1时增加的项数即可 【解答】 解：左边的特点：分母逐渐增加 1，末项为 ； 由 n=k，末项为 到 n=k+1，末项为 ， 应增加的项数为 2k 故答案为 2k 8执行如图所示的程序框图，若输入 p 的值是 6，则输出 S 的值是 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图及已知中 p 输入 6，可得：进入循环的条件为 n 6，即 n=1，2， ， 5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的 S 值 【解答】 解：当 n=1 时， S=0+2 1= ； 当 n=2 时， S= +2 2= ； 当 n=3 时， S= +2 3= ； 当 n=4 时， S= +2 4= ； 当 n=5 时， S= +2 5= ； 当 n=6 时，退出循环， 第 7 页（共 17 页） 则输出的 S 为： 故答案为： 9若圆 C 的方程为 x2+21=0，且 A（ 1， 2）， B（ 2， 1）两点中的一点在圆 C 的内部，另一点在圆 C 的外部，则 a 的取值范围是 （ ， 2） （ 1， +） 【考点】 点与圆的位置关系 【 分析】 根据 A， B 与圆的位置关系讨论列出不等式解出 a 【解答】 解：（ 1）若 A 在圆内部， B 在圆外部，则 ，解得 a 2 （ 2）若 B 在圆内部， A 在圆外部，则 ，解得 a 1 综上， a 的取值范围是（ ， 2） （ 1， +） 故答案为（ ， 2） （ 1， +） 10若 ，且 存在，则实数 a 的取值范围是 1 a 2 【考点】 极限及其运算 【分析】 根据 得出 1 1，再根据 存在得出 1 1，由此求出实数 a 的取值范围 【解答】 解： ， = ， 第 8 页（共 17 页） 1 1， 解得 4 a 2； 又 存在， 1 1， 解得 1 a 3； 综上，实数 a 的取值范围是 1 a 2 故答案为： 1 a 2 11已知直线 点 P（ 1， 4）且与 x 轴交于 A 点，直线 点 Q（ 3， 1）且与 y 轴交于 B 点，若 ，则点 M 的轨迹方程为 9x+6y+1=0 【考点】 轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义 【分析】 先设 M（ x， y），可讨论 否存在斜率：（ 1）不存在斜率时，可求出 A（ 1， 0），B（ 0， 1），从而由 可以求出 x= ，即点 M（ ），（ 2）存在斜率时，可设斜率为 k，从 而可以分别写出直线 方程，从而可以求出，这样根据 便可用 k 分别表示出 x， y，这样消去k 便可得出关于 x， y 的方程，并验证点 是否满足该方程，从而便得出点 M 的轨迹方程 【解答】 解：设 M（ x， y）， （ 1）若 存在斜率，则： 直 x 轴， 直 y 轴； A（ 1， 0）， B（ 0， 1）； 由 得，（ x 1， y） =2（ x， 1 y）； ； ； 即 ； （ 2）若 率为 k， 率为 ，则： y 4=k（ x 1），令 y=0， x= ； ； 第 9 页（共 17 页） ，令 x=0， y= ； ； 由 得， ； ； 消去 k 并整理得： 9x+6y+1=0； 点 满足方程 9x+6y+1=0； 综（ 1）（ 2）知，点 M 的轨迹方程为 9x+6y+1=0 故答案为： 9x+6y+1=0 12如图所示， 边长为 4 的等边三角形，点 P 是以点 C 为圆心、 3 为半径的圆上的任意一点，则 的取值范围是 20， 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 首先建立平面直角坐标系：以 C 为原点，平行于 直线为 x 轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出 A， B 点的坐标，并根据题意设 P（ 33从而可求出 的坐标，进行数量积的坐标运算便得出 ，这样根据 1 1 便可求出 的取值范围 【解答】 解：如图，以 C 为坐标原点，以平行于 直线为 x 轴，垂直于 直线为 立平面直角坐标系，则： ； 点 P 是以点 C 为圆心、 3 为半径的圆上的任意一点； 设 P（ 33 ； ； 1 1； 20 128 4； 的取值范围为 20， 4 故答案为： 20， 4 第 10 页（共 17 页） 二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分 . 13点（ a， b）关于直线 x+y=1 的对称点的坐标是（ ） A（ 1 b， 1 a） B（ 1 a， 1 b） C（ a， b） D（ b， a） 【考点】 与直线关于点、直线对称的直线方程 【分析】 设出对称点的坐标列出方程组求解即可 【解答】 解：点（ a， b）关于直线 x+y=1 对称的点为（ x， y）， 则 ，解得： ， 故选： A 14若位于 x 轴上方、且到点 A（ 2， 0） 和 B（ 2， 0）的距离的平方和为 18 的点的轨迹为曲线 C，点 P 的坐标为（ a， b），则 “ ”是 “点 P 在曲线 C 上 ”的（ ） A B C D既非充分又非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由题意可得：（ a+2） 2+ a 2） 2+8，化为 a2+，（ b 0）即可判断出结论 【解答】 解：由题意可得：（ a+2） 2+ a 2） 2+8，化为 a2+，（ b 0） “点 P 在曲线 C 上 ”“ ”，反之也成立 “ ”是 “点 P 在曲线 C 上 ”的充要条件 故选： C 15在圆 x2+2x 6y=15 内，过点 E（ 0， 1）的最长弦和最短弦分别是 |值为（ ） A B C D 【考点】 直线与圆的位置关系 第 11 页（共 17 页） 【分析】 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点 C，最短的弦为过 E 与直径 直的弦 据两点间的距离公式求出 长度，根据垂径定理得到 E 为 中点，在直角三角形 ，根据勾股定理求出 可求出 乘积 【解答】 解：把圆的方程化为标准方程得：（ x 1） 2+（ y 3） 2=25， 则圆心坐标为（ 1， 3），半径为 5， 根据题意画出图象，如图所示： 由图象可知：过点 E 最长的弦为直径 短的弦为过 E 与直径 直的弦，则 0， ， 所以 =4 ， 所以 |104 =40 故选： C 16对数列 若对任意的正整数 n，都有 ， ，则称 为区间套下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A B C D 【考点】 数列的极限 【分析】 对于 A，运用数列的极限，即可判断；对于 B，运用 n=1 时，两区间的关系，即可判断； 对于 C，运用 n=1 时，判断两区间的关系，即可得到结论； 对于 D，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论 【解答】 解：对于 A， （ = =2 1=1 0，故不构成区间套； 对于 B，当 n=1 时， ， ， ， ，显然不满足 故不构成区间套； 对于 C，当 n=1 时， ， ， ， ，显然不满足 故不构成区间套 第 12 页（共 17 页） 对于 D，由 1（ ） n 1（ ） n+1 1+（ ） n+1 1+（ ） n，满足 ， 又 （ = 1（ ） n 1+（ ） n=1 1=0，故构成区间套 故选： D 三、解 答题（本大题满分 56 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤 . 17已知两直线 x+（ m+1） y+m 2=0， y+8=0 （ 1）当 m 为何值时，直线 直； （ 2）当 m 为何值时，直线 行 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 （ 1）利用两直线垂直的充要条是 1，可得 1 m+（ 1+m） 2=0，由此求得解得 m 的值 （ 2）由两直线平行的充要条件是 = ，由此求得解得 m 的值 【解答】 解：（ 1） 两条直线 x+（ 1+m） y+m 2=0， y+8=0，由两直线垂直的充要条件可得 1， 即 1 m+（ 1+m） 2=0，解得 m= （ 2）由两直线平行的充要条件可得 = ， 即 = ， 解得： m=1 18在直角 ， C 是直角，顶点 A， B 的坐标分别为（ 4， 4），（ 2， 4），圆 外接圆 （ 1）求圆 E 的方程； （ 2）求过点 M（ 4， 10）且与圆 E 相切的直线的方程 【考点 】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论 （ 2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可 【解答】 解：（ 1） 在直角 ， C 是直角，顶点 A， B 的坐标分别为（ 4， 4），（ 2， 4）， 直径，则 中点（ 1， 0），即圆心 E（ 1， 0）， 半径 R=| = = =5， 则圆 E 的方程为（ x+1） 2+5 （ 2） （ 4+1） 2+102=125 25， 第 13 页（共 17 页） 点 M 在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为 x=4，到圆心的距离 d=4（ 1） =5此时满足直线和圆相切， 当直线斜率存在时，设为 k，则切线方程为 y 10=k（ x 4）， 即 y+10 4k=0， 则圆心到直线的距离 d= = =5， 即 |2 k|= ，平方得 4 4k+ 即 4k=3， 则 k= ，此时切线方程为 3x 4y+28=0， 综上求过点 M（ 4， 10）且与圆 E 相切的直线的方程为 3x 4y+28=0 或 x=4 19已知 是不平行的两个向量， k 是实数，且 （ 1）用 表示 ； （ 2）若 ，记 ，求 f（ k）及其最小值 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1） = =k + =k（ ） + ， （ 2）利用（ 1）的结论，对 取平方，转化为二次函数求最值 【解答】 解：（ 1） = =k + =k（ ） + =（ 1 k） +k （ 2） =2 = 1 | |2=（ 1 k） +k 2=4（ 1 k） 2+2k（ 1 k） =710k+4=7（ k ） 2+ f（ k） = f（ k）的最小值为 = 20在数列 ， ，且对任意 n N*，都有 （ 1）计算 此推测 通项公式，并用数学归纳法证明； （ 2）若 ，求无穷数列 各项之和与最大项 【考点】 数学归纳法；数列的函数特性 第 14 页（共 17 页） 【分析】 （ 1）由 ，且对任意 n N*，都有 可得 = ， 由此推测 通项公式， 再利用数学归纳法证明即可得出 （ 2） ，可得 +9 ，利用等比数列的前 n 项和公式可得：无穷数列 各项之和 【解答】 解：（ 1） ，且对任意 n N*，都有 = ， = ， = 由此推测 通项公式， 下面利用数学归纳法证明： 当 n=1 时， = 成立； 假设当 n=k N*时， 则 n=k+1 时， = = = ， 因此当 n=k+1 时也成立， 综上： n N*， 成立 （ 2） ， 2） n = +9 ， 无穷数列 各项之和 += = + 第 15 页（共 17 页） 当 n=2k（ k N*）时， + ， 调递减，因此当 n=2 时，取得最大值 当 n=2k 1（ k N*）时， ， 调递增，且 0 综上可得： 最大项为 21已知点 P 是曲线 上的