2016年河南省高考数学文科适应性试卷（一）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年河南省普通高中高考数学适应性试卷（文科）（ 1） 一、选择题（本大题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1已知集合 A=0， 1， 2， B=0， 2， 4，则 A B 中的元素个数为（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 2如果复数 z= （ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A 1 B 4 C 2 D 3函数 y=a（ a 0， a 1）的图象可能是（ ） A B C D 4某中学对 1000 名学生的英语拓展水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于 80 分为优秀，则优秀人数是（ ） A 250 B 200 C 150 D 100 5已知向量 =（ 1， =（ 2），且 ，则 ） A B 2 C 2 D 2 6双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦点（ 4， 0），且其渐近线与圆（ x 2） 2+ 相切，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 7给出下列四个结论： 已知直线 y 1=0， x+=0，则 充要条件是 a= 3b； 若命题 p： 1， +）， x 1 0，则 p： x （ ， 1）， x 1 0； 函数 f（ x） =一条对称 轴是 x= ； 第 2 页（共 20 页） 设回归直线方程为 =2 变量 x 增加一个单位时， y 平均增加 2 个单位 其中正确结论的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8执行如图所示的程序框图，则输出的 k 的值是（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 9如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A 9 B C 18 D 27 10已知函数 f（ x） =2x+ ） ，若 f（ a） =1，则 f（ a） =（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 11已知 等差数列，若 1，且它的前 n 项和 最大值，那么 当 得最小正值时， n 的值为（ ） A 24 B 23 C 22 D 11 12函数 f（ x） = 的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知 P（ x， y）在不等式组 所确定的平面区域内，则 z=2x+y 的最大值为 _ 第 3 页（共 20 页） 14四棱锥 P 五个顶点都在一个球面上，底面 矩形，其中 ， ，又 平面 ，则该球的表面积为 _ 15已知正实数 x， y 满足 xy+x+y=17，则 x+2y+3 的最小值为 _ 16已知各项均为正数的数列 足 = ， ， 数列 前 n 项和，若对于任意的 n N*，不等式 1 恒成立，则实数 k 的取值范 围为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知向量 =（ 2 1），=（ c， b 2a），且 =0 （ ）求角 C 的大小； （ ） 若 a+b=6， c=2 ，求 面积 18 指空气中直径小于或等于 米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与 浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 100 102 108 114 116 浓度 y（微克 /立方米） 78 80 84 88 90 （ ）根据上表数据，用最小二乘法，求出 y 关于 x 的线性回 归方程 = x+ ； （ ）若周六同一时间段车流量 200 万辆，试根据（ ）求出的线性回归方程，浓度为多少？ （参考公式： = ， = ；参考数据： 40， 20） 19如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， 0， 平面 D=2，点 E 为 一点，且 =m，点 F 为 点 （ ）若 m= ，证明：直线 平面 （ ）是否存在一个常数 m，使得平面 平面 存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由 第 4 页（共 20 页） 20已知函数 f（ x） =a g（ x） = （ ）若 a=2，求函数 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）若 f（ x） =0 恰有一个解，求 a 的值； （ ）若 g（ x） f（ x）恒成立， 求实数 a 的取值范围 21在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过点A（ ， 1），点 P 在椭圆 C 上，且在第一象限内，直线 圆 O： x2+y2=切于点 M （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若 点 Q 的纵坐标的值 四、请考在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分 22如图，直线 过圆 O 上的点 C，并且 B， B，圆 O 交直线 点 E、D，连接 （ ）求证：直线 圆 O 的切线； （ ）若 ，圆 O 的半径为 2，求 长 23在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在以原点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 =2 （ ）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （ ）若点 P 的直角坐标为（ 1， 0），圆 C 与直线 l 交于 A、 B 两点，求 |值 24已知函数 f（ x） =|x 2| （ ）解不等式 f（ x） +f（ x+5） 9； （ ）若 |a| 1， |b| 1，求证： f（ ） f（ a+b+2） 第 5 页（共 20 页） 2016 年河南省普通高中高考数学适应性试卷（文科）（ 1） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1已知集合 A=0， 1， 2， B=0， 2， 4，则 A B 中的元素个数为（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 【考点】 并集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的并集，找出并集中元素个数即可 【解答】 解： A=0， 1， 2， B=0， 2， 4， A B=0， 1， 2， 4， 则集合 A B 中元素个数为 4， 故选： C， 2如果复数 z= （ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A 1 B 4 C 2 D 【考点】 复数求模 【分析】 根据复数模长的定义直接进行计算即可 【解答】 解：复数 z= （ i 为虚数单位）， 则 |z|=| |= = = 故选： D 3函数 y=a（ a 0， a 1）的图象可能是（ ） A B C D 【考点】 指数函数的图象变换 【分析】 通过图象经过定点（ 1， 0），排除不符合条件的选项 ，从而得出结论 【解答】 解：由于当 x=1 时， y=0，即函数 y=a 的图象过点（ 1， 0），故排除 A、 B、 D 故选 C 4某中学对 1000 名学生的英语拓展水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于 80 分为优秀，则优秀人数是（ ） 第 6 页（共 20 页） A 250 B 200 C 150 D 100 【考点】 频率分布直方图 【分析】 由频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出优秀学生的人数 【解答】 解：由频率分布直方图 得，优秀学生的频率为： （ 10= 这 1000 名学生中优秀人数是： 1000 50 故选： A 5已知向量 =（ 1， =（ 2），且 ，则 ） A B 2 C 2 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意可得 ，而 ，分子分母同除以入 可得答案 【解答】 解：由题意可得向量 =（ 1， =（ 2），且 ，即 ， 所以 = = =2 故选： B 6双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦点（ 4， 0），且其渐近 线与圆（ x 2） 2+ 相切，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用已知条件列出方程求解即可 【解答】 解：双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦点（ 4， 0），可得 c=4， a2+6， 双曲线的一条渐近线方程为： bx+，圆（ x 2） 2+ 的圆心（ 2， 0），半径为 渐近线与圆（ x 2） 2+ 相切， 第 7 页（共 20 页） 可得： ， 解得 b=2 ， a=2， 所求的双曲线方程为： =1 故选： C 7给出下列四个结论： 已知直线 y 1=0， x+=0，则 充要条件是 a= 3b； 若命题 p： 1， +）， x 1 0，则 p： x （ ， 1）， x 1 0； 函数 f（ x） =一条对称轴是 x= ； 设回归直线方程为 =2 变量 x 增加一个单位时， y 平均增加 2 个单位 其中正确结论的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据直线垂直的等价条件进行判断 根据含有量词的命题的否定进行判断 根据三角函数的对称性进行判断 根据回归直线的性质进行判断 【解答】 解： 当 b 0 时，两直线的斜率分别为 ， ，由 （ ） = =1，即 a= 3b， 当 b=0 时， x+1=0，若 a=0，此时满足 a= 3b，综上 充要条件是 a= 3b；故 正确； 若命题 p： 1， +）， x 1 0，则 p： x 1， +）， x 1 0；故错误 函数 f（ x） =2x+ ）， 当 x= 时， f（ ） =22 + ） =2 2，为函数的最小值， 则此时函数关于 x= 对称，故 正确， 设回归直线方程为 =2 变量 x 增加一个单位时， y 平均增加 单位故 错误， 故正确是 ， 故选： B 第 8 页（共 20 页） 8执行如图所示的程序框图，则输出的 k 的值是（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 【考点】 绘制结构图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第 1 次执行循环体后， S=2， k=2，不满足退出循环的条件， 第 2 次执行循环体后， S=6， k=3，不满足退出循环的条件， 第 3 次执行循环体后， S=14， k=4，不满足 退出循环的条件， 第 4 次执行循环体后， S=30， k=5，不满足退出循环的条件， 第 5 次执行循环体后， S=62， k=6，不满足退出循环的条件， 第 6 次执行循环体后， S=126， k=7，不满足退出循环的条件， 第 7 次执行循环体后， S=510， k=8，不满足退出循环的条件， 第 8 次执行循环体后， S=1022， k=9，不满足退出循环的条件， 第 9 次执行循环体后， S=2046， k=10，满足退出循环的条件， 故输出的 k 值为 10， 故选： A 9如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该 几何体的体积是（ ） A 9 B C 18 D 27 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图和正方体可得该几何体一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥 A 三棱锥的外面是长、宽、高为 6、 3、 3 的长方体， 第 9 页（共 20 页） 几何体的体积 V= =9， 故选： A 10已知函数 f（ x） =2x+ ） ，若 f（ a） =1，则 f（ a） =（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 函数的值 【分析】 易知 f（ a） =2a+ ） =1，化简 f（ a） = 2a+ ） =） ，从而求得 【解答】 解：由题意知， f（ a） =2a+ ） =1， 故 f（ a） = 2a+ ） =） = 2a+ ） 2+ =（ 2a+ ） ） 2= 3， 故选： D 11已知 等差数列，若 1，且它的前 n 项和 最大值，那么当 得最小正值时， n 的值为（ ） A 24 B 23 C 22 D 11 【考点】 数列的函数特性 第 10 页（共 20 页） 【分析】 由 等差数列，且它的前 n 项和 最大值，得数列的公差 d 小于 0，再由 1，得到 0 此求得 得最小正值时的 n 的值 【解答】 解： 最大值， d 0 则 又 1， 0 0， 2（ a1+=12（ 0， 30， 又 0 0， 0 又 S1=a2+1（ 0， 最小正值 故选： B 12函数 f（ x） = 的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据分段函数分段的标准分别研究函数在每一段上的零点的个数，然后得到整个函数的零点个数 【解答】 解：当 x 0 时， f（ x） = x+3，令 f（ x） =0， x 0，解得 x= 1 当 x 0 时， f（ x） =| 2，令 f（ x） =0 解得 2，解得 x= x=e 2 故函数 f（ x） = 的零点个数为 3，分别为 1， e 2、 选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知 P（ x， y）在不等式组 所确定的平面区域内，则 z=2x+y 的最大值为 17 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出 z 的最大值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 第 11 页（共 20 页） ， 由 ，解得 A（ 9， 1）， 由 z=2x+y 得： y= 2x+z， 显然直线 = 2x+z 过 A（ 9， 1）时， z 最大， z 的最大值是 17， 故答案为： 17 14四棱锥 P 五个顶点都在一个球面上，底面 矩形，其中 ， ，又 平面 ，则该球的表面积为 50 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 把四棱锥补成长方体，根据长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算 【解答】 解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球， 长方体的对角线长等于球的直径， 2R= =5 ， R= ， 外接球的表面积 S=40 故答案为： 50 15已知正实数 x， y 满足 xy+x+y=17，则 x+2y+3 的最小值为 12 【考点】 基本不等式 【分析】 由 xy+x+y=17，可得 x= 0，解得 0 y 17可得 x+2y+3= +2y+3=+2（ y+1），再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：由 xy+x+y=17，可得 x= 0，解得 0 y 17 x+2y+3= +2y+3= +2（ y+1） =12，当且仅当 y=2， x=5时取等号 故答案为： 12 第 12 页（共 20 页） 16已知各项均为正数的数列 足 = ， ， 数列 前 n 项和，若对于任意的 n N*，不等式 1 恒成立，则实数 k 的取值范围为 【考点】 数列的求和 【分析】 由各项均为正数的数列 足 = ， ，变形为： = （ ），利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式可得： 不等式 1 化 为： ，再利用数列的单调性即可得出 【解答】 解： 各项均为正数的数列 足 = ， ， = （ ）， 数列 成等比数列，首项为 3，公比为 = ，可得： + ， +3 = +6 ， 12+n 2 不等式 1 化为： ， 数列 单调递减， 故答案为 ： 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知向量 =（ 2 1），=（ c， b 2a），且 =0 （ ）求角 C 的大小； （ ）若 a+b=6， c=2 ，求 面积 【考点】 余弦定理 第 13 页（共 20 页） 【分析】 （ ）利用已知及平面向量数量积运算可得 b 2a） ，利用正弦定理可得 合 0，可求 ，又 C （ 0， ），从而可求 C 的值 （ ）利用余弦定理可得（ a+b） 2 3ab=解得 用三角形面积公式即可得解 【解 答】 解：（ ） =（ 2 1）， =（ c， b 2a），且 =0 b 2a） ， 2， 3 分 可得： 0， ， 又 C （ 0， ）， C= 6 分 （ ） c2=a2+2 （ a+b） 2 3ab=得： 36 32，解得： 10 分 S 8 =2 12 分 18 指空气中直径小于或等于 米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与 浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 100 102 108 114 116 浓度 y（微克 /立方米） 78 80 84 88 90 （ ）根据上表数据，用最小二乘法，求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ； （ ）若周六同一时间段车流量 200 万辆，试根据（ ）求出的线性回归方程，浓度为多少？ （参考公式： = ， = ；参考数据： 40， 20） 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程； （ x=200 代入回归方程计算 【解答】 解：（ ） =108， （ 78+80+84+88+90） =84 =（ 8） （ 6） +（ 6） （ 4） +0+6 4+8 6=144， 第 14 页（共 20 页） =（ 8） 2+（ 6） 2+0+62+82=200 = ， =84 108= y 关于 x 的线性回归方程为 = （ x=200 时， =200+ 此时 浓度为 克 /立方米 19如图，在四棱锥 P ，底面 菱形， 0， 平面 D=2，点 E 为 一点，且 =m，点 F 为 点 （ ）若 m= ， 证明：直线 平面 （ ）是否存在一个常数 m，使得平面 平面 存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）作 M，推导出四边形 平行四边形，由此能证明直线 平面 （ ）要使平面 平面 需 出 ，推导出平面 平面 由此能求出存在一个常数 m= = 使得平面 平面 【解答】 证明：（ ）作 M， 点 M 为 中点， m= ， = 又 四边形 平行四边形， 四边形 平行四边形， 面 面 直线 平面 解：（ ）存在一个常数 m，使得平面 平面 要使平面 平面 需 此时 D=2， 0， ， 又 平面 平面 第 15 页（共 20 页） 面 平面 平面 m= = 20已知函数 f（ x） =a g（ x） = （ ）若 a=2，求函数 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）若 f（ x） =0 恰有一个解，求 a 的值； （ ）若 g（ x） f（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 解：（ ）代入 a=2，根据 导数的概念和点斜式求出切线方程即可； （ ）构造函数 m（ x） = +导函数，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的最大值，把零点问题转化为两函数的交点问题求解； （ ）由（ ）知函数的最大值为 f（ 1） =a 1，要使恒成立，只需求出 g（ x）的最小值即可，利用导函数判断函数的单调性，利用极值得出函数的最值 【解答】 解：（ ） a=2， f（ 1） =2 1=1， f（ x） = ， f（ 1） =0， 切线方程为 y=1； （ ）令 m（ x） = + m（ x） = + ， 当 x 在（ 0， 1）时， m（ x） 0， m（ x）递增， 当 x 在（ 1， +）是， m（ x） 0， m（ x）第减， 故 m（ x）的最大值为 m（ 1） =1， f（ x） =0 恰有一个解，即 y=a，与 m（ x）只有一个交点， a=1； （ ）由（ ）知函数的最大值为 f（ 1） =a 1， g（ x） = g（ x） =e， 当 x 在（ 0， 1）时， g（ x） 0， g（ x）递减， 当 x 在（ 1， +）时， g（ x） 0， g（ x）递增， 函数 g（ x）的最小值为 g（ 1） =1， g（ x） f（ x）恒成立， 第 16 页（共 20 页） 1 a 1， a 2 21在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过点A（ ， 1），点 P 在椭圆 C 上，且在第一象限内，直线 圆 O： x2+y2=切于点 M （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若 点 Q 的纵坐标的值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）由椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过点 A（ ， 1），列出方程组，求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的方程 （ ）由圆 O 的方程为 x2+，设点 Q 的纵坐标为 t，则 Q（ 2， t），当 x 轴时，求出 t= 2 ；当 垂直于 x 轴时，设直线 y=k 0， x 0），则直线 y=，由 |能求出点 Q 的纵坐标 的值 【解答】 解：（ ） 椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且过点 A（ ， 1）， ，解得 ， ， 椭圆 C 的方程为 （ ）由（ ）得圆 O 的方程为 x2+， 设点 Q 的纵坐标为 t，则 Q（ 2， t），当 x 轴时， 点 P 在椭圆 C 上，且在第一象限内， P（ 2， ）， ，解得 t= 2 当 垂直于 x 轴时，设直线 y=k 0， x 0）， 直线 y= ， 则 P（ Q（ t）， 第 17 页（共 20 页） 在 ， | =2 ， 即 =4（ x0+2+（ t） 2， ， ， ， 又由 ， ， 又由 ， ， ， =0， ，解得 t= 点 Q 的纵坐标的值为 四、请考在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分 22如图，直线 过圆 O 上的点 C，并且 B， B，圆 O 交直线 点 E、D，连接 （ ）求证：直线 圆 O 的切线； （ ）若 ，圆 O 的半径为 2，求 长 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 （ I）利用等腰三角形的性质和切线 的定义即可证明； （ 用圆的性质可得 = 再利用切线的性质可得 是 = 设 BD=x， x，利用切