2016年山西省晋中市高考数学文科模拟试卷(5月)含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 一、选择题 1设集合 A=4， 5， 7， 9， B=3， 4， 7， 8，则集合 AB 中的元素共有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2已知向量 =（ 2， 1）， =（ x， 2），若 ，则 + 等于（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 3， 1） D（ 3， 1） 3在复平面内复数 6+5i、 2+3i 对应的点分别为 A、 B，若复数 z 对应的点 C 为线段 的值为（ ） A 61 B 13 C 20 D 10 4从 1， 2， 3， 4， 5中随机选取一个数为 a，从 1， 2， 3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是（ ） A B C D 5如图是将二进制 111111（ 2） 化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A i 6 B i 6 C i 5 D i 5 6九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为 “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？ ”（ “钱 ”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（ ） A 钱 B 钱 C 钱 D 钱 7若圆 x2+y2+与圆 x2+ax+都关于直线 2x y 1=0对称，则 ） A B C D 8某几何体的三视图如图所示，当 大时，该几何体的体积为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 第 2 页（共 23 页） 9设偶函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示， 0， ，则 f（ ）的值为（ ） A B C D 10已知 f（ x） =x， g（ x） =x+1，命题 p： x R， f（ x） 0，命题 q： （ 0，+），使得 g（ =0，则下列说法正确的是（ ） A p 是真命题， p： R， f（ 0 B p 是假命题， p： R， f（ 0 C q 是真命题， q： x （ 0， +）， g（ x） 0 D q 是假命题， q： x （ 0， +）， g（ x） 0 11如图，已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左右焦点分别为 |4， y 轴交于点 A， 内切圆在边 的切点为 Q，若|1，则双曲线的离心率是（ ） A 3 B 2 C D 12定义在区间（ 0， +）上的函数 f（ x）使不等式 2f（ x） x） 3f（ x）恒成立，其中 f（ x）为 f（ x）的导数，则（ ） A 8 16 B 4 8 C 3 4 D 2 3 二、填空题 13已知实数 x， y 满足条件 ，则 z= x y 的最大值是 _ 14在 ，角 A， B， C 对应的边分别是 a， b， c，其中 A=120， b=1， 面积 S= ，则 =_ 第 3 页（共 23 页） 15已知在三棱锥 P ， ， ， ， 平面 平面 么三棱锥 P 接球的半径为 _ 16已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =x+1）给出下列命题： 当 x 0 时， f（ x） =1 x） 函数 f（ x）有 2 个零点 f（ x） 0 的解集为（ 1， 0） （ 1， +） R，都有 |f（ f（ | 2 其中正确的命题是 _ 三、解答题 17已知数列 首项 ， = ， n=1， 2， 3， （ ）证明：数列 1是等比数列； （ ）求数列 的前 n 项和 18在某大学自主招生考试中，所有选报 类志向的考生全部参加了 “数学与逻辑 ”和 “阅读与表达 ”两个科目的考试，成绩分为 A， B， C， D， E 五个等级某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中 “数学与逻辑 ”科目的成绩为 B 的考生有 10 人 （ ）求该考场考生中 “阅读与表达 ”科目中成绩为 A 的人数； （ ）若等级 A， B， C， D， E 分别对应 5 分， 4 分， 3 分， 2 分， 1 分，求该考场考生 “数学与逻辑 ”科目的平均分； （ ）已知 参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 A在至少一科成绩为 机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为 A 的概率 19如图所示，在三棱柱 ， 平面 M 是棱 中点 第 4 页（共 23 页） （ 1）在棱 是否存在一点 N，使 平面 存在，请确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由； （ 2）当 等边三角形，且 时，求点 M 到平面 距离 20已知两点 A（ 2， 0）， B（ 2， 0），直线 交于点 M，且这两条直线的斜率之积为 （ 1）求点 M 的轨迹方程； （ 2）记点 M 的轨迹为曲线 C，曲线 C 上在第一象限的点 P 的横坐标为 1，过点 P 且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线 C 于 Q， R，求 面积的最大值（其中点 O 为坐标原点） 21已知函数 f（ x） =x2+a R （ 1）若函数 f（ x）在其定义域上为增函数，求 a 的取值范围； （ 2）当 a=1 时，函数 g（ x） = x 在区间 t， +）（ t N*）上存在极值，求 t 的最大值 （参考数值：自然对数的底数 e 选修 4何证明选讲 22几何证明选讲如图，已知 圆 O 的直径，直线 圆 O 相切于点 A，直线 C 垂直并相交于点 G，与弧 相交于 M，连接 0， 2 （ 1）求证： C=D； （ 2）求 选修 4标系与参数方程选讲 23选修 4 4：坐标系与参数方程 第 5 页（共 23 页） 已知曲线 C 的极坐标方程是 =2，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数） （ ）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标系下的方程； （ ）设曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C设曲线 C上任一点为 M（ x， y），求的取值范围 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+1|+|x 2| m） （ 1）当 m=5 时，求函数 f（ x）的定义域； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） 1 的解集是 R，求 m 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2016 年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题 1设集合 A=4， 5， 7， 9， B=3， 4， 7， 8，则集合 AB 中的元素共有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集，即可作出判断 【解答】 解： A=4， 5， 7， 9， B=3， 4， 7， 8， AB=4， 7， 则集合 AB 中的元素共有 2 个， 故选： B 2已知向量 =（ 2， 1）， =（ x， 2），若 ，则 + 等于（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） C（ 3， 1） D（ 3， 1） 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算 【分析】 根据题意，由向量平行的判断方法，可得 2x 2=0，解可得 x 的值，即可得 的坐标，由向量加法的坐标运算方法，可得答案 【解答】 解：根据题意，向量 =（ 2， 1）， =（ x， 2）， 若 ，则有 1x=2（ 2）， 即 x= 4，即 =（ 4， 2）， 则 + =（ 2， 1）， 故选 A 3在复平面内复数 6+5i、 2+3i 对应的点分别为 A、 B，若复数 z 对应的点 C 为线段 的值为（ ） A 61 B 13 C 20 D 10 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据 z 是 A、 B 的中点，由复平面内的中点坐标公式求出 z，则 可求，代入 可求 的值 【解答】 解：因为复数 6+5i、 2+3i 对应的点分别为 A、 B，且若复数 z 对应的点 C 为线段中点， 所以 z= ，所以 ，所以故选 C 4从 1， 2， 3， 4， 5中随机选取一个数为 a，从 1， 2， 3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是（ ） A B C D 第 7 页（共 23 页） 【考点】 等可能事件的概率 【分析 】 由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有 53 种结果，而满足条件的事件是 a=1， b=2； a=1， b=3； a=2， b=3 共有 3 种结果 【解答】 解：由题意知本题是一个古典概型， 试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有 5 3 种结果， 而满足条件的事件是 a=1， b=2； a=1， b=3； a=2， b=3 共有 3 种结果， 由古典概型公式得到 P= = ， 故选 D 5如图是将 二进制 111111（ 2） 化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A i 6 B i 6 C i 5 D i 5 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图程序要要循环 5 次，根据循环变量的初值为 1，步长为 1，故循环变量的终值为 5，由满足条件时退出循环，分析四个答案，即可得到结论 【解答】 解：由已知中程序的功能是将二进制数 111111（ 2） 化为十进制数， 结合循环体中 S=1+2S，及二进制数 111111（ 2） 共有 6 位， 可得循环 体要重复执行 5 次， 又由于循环变量初值为 1，步长为 1，故循环终值为 5， 即 i 5 时，继续循环， i 5 时，退出循环， 故选： C 6九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为 “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？ ”（ “钱 ”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（ ） A 钱 B 钱 C 钱 D 钱 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a 2d， a d， a， a+d， a+2d，由题意求得 a= 6d，结合 a 2d+a d+a+a+d+a+2d=5a=5 求得 a=1，则答案可求 【解答】 解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a 2d， a d， a， a+d， a+2d， 则由题意可知 ， a 2d+a d=a+a+d+a+2d，即 a= 6d， 又 a 2d+a d+a+a+d+a+2d=5a=5， a=1， 则 a 2d=a 2 = 第 8 页（共 23 页） 故选： B 7若圆 x2+y2+与圆 x2+ax+都关于直线 2x y 1=0对称，则 ） A B C D 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 求出圆心坐标，根据圆关于直线对称，得到圆心在直线上，得到 2，利用 1的代换进行求解即可 【解答】 解：圆 x2+y2+ 的圆心坐标为（ ， 0），圆 x2+ax+ 的圆心坐标为（ a， ）， 两圆都关于直线 2x y 1=0 对称， 圆心都在方程为 2x y 1=0 的直线上， 则 2 1=0，得 a= 1， 2a+ 1=0，即 2+ 1=0 则 = 1，即 2， 则 = = = = ， 故选： C 8某几何体的三视图如图所示，当 大时，该几何体的体积为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 三视图复原几何体是长方体的一个角，利用勾股定理，基本不等式，确定 大时 值，代入棱锥的体积公式计算可得 【解答】 解：由三视图得几何体为三棱锥，其直观图如图： 7=25 x2+2， 2x2+2， 16，当 x=y=4 时，取 “=”， 此时， ，几何体的体积 V= 3 4 =2 故选： A 第 9 页（共 23 页） 9设偶函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示， 0， ，则 f（ ）的值为（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件利用等腰直角三角形求出 A，由周期求出 ，由函数的奇偶性求出 的值，可得 f（ x）的解析式，再利用两角差的余弦公式，求得 f（ ）的值 【解答】 解：由题意可得 =， =， = ， A= ， f（ x） = x+） 再结合 f（ x）为偶函数，以及 所给的图象，可得 = ， f（ x） = x） 则 f（ ） = ） = ） = = + = ， 故选： B 10已知 f（ x） =x， g（ x） =x+1，命题 p： x R， f（ x） 0，命题 q： （ 0，+），使得 g（ =0，则下列说法正确的是（ ） A p 是真命题， p： R， f（ 0 B p 是假命题， p： R， f（ 0 C q 是真命题， q： x （ 0， +）， g（ x） 0 D q 是假命题， q： x （ 0， +）， g（ x） 0 【考点】 全称命题；特称命题 【分析】 利用导数和函数 零点存在条件分别判断命题 p， q 的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可 【解答】 解： f（ x） =1，由 f（ x） 0 得 x 0，由 f（ x） 0 得 x 0， 第 10 页（共 23 页） 即当 x=0 时，函数 f（ x）取得极小值，同时也是最小值 f（ 0） =0=1 0=1 0， x R， f（ x） 0 成立，即 p 是真命题 g（ x） =x+1 在（ 0， +）上为增函数，当 x0 时， g（ x） 0， g（ 1） =0+1+1=2 0， 则： （ 0， +），使得 g（ =0 成立，即命题 q 是真命题 则 p： R， f（ 0， q： x （ 0， +）， g（ x） 0， 综上只有 C 成立， 故选： C 11如图，已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左右焦点分别为 |4， y 轴交于点 A， 内切圆在边 的切点为 Q，若|1，则双曲线的离心率是（ ） A 3 B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由 |1， 内切圆在边 的切点为 Q，根据切线长定理，可得 | |2，结合 |4，即可得出结论 【解答】 解：由题意， |1， 内切圆在边 的切点为 Q， 根据切线长定理可得 N， 1Q， Q， | 1M=N+ N+Q+ | |Q 1M+Q+Q ， |4， 双曲线的离心率是 e= =2 故选： B 第 11 页（共 23 页） 12定义在区间（ 0， +）上的函数 f（ x）使不等式 2f（ x） x） 3f（ x）恒成立，其中 f（ x）为 f（ x）的导数，则（ ） A 8 16 B 4 8 C 3 4 D 2 3 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 令 g（ x） =g（ x） = ， h（ x） = ，求出 g（ x）， h（ x）的导数，得到函数g（ x）， h（ x）的单调性，可得 g（ 2） g（ 1）， h（ 2） h（ 1），由 f（ 1） 0，即可得到4 8 【解答】 解：令 g（ x） = ， 则 g（ x） = = ， x） 3f（ x），即 x） 3f（ x） 0， g（ x） 0 在（ 0， +）恒成立， 即有 g（ x）在（ 0， +）递减，可得 g（ 2） g（ 1），即 ， 由 2f（ x） 3f（ x），可得 f（ x） 0，则 8； 令 h（ x） = ， h（ x） = = ， x） 2f（ x），即 x） 2f（ x） 0， h（ x） 0 在（ 0， +）恒成立， 即有 h（ x）在（ 0， +）递增，可得 h（ 2） h（ 1），即 f（ 1），则 4 即有 4 8 故选： B 二、填空题 13已知实数 x， y 满足条件 ，则 z= x y 的最大值是 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组 对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行平移即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域， 第 12 页（共 23 页） 由 z= x y 得 y= x z， 平移直线 y= x z， 由图象知当直线 y= x z 经过点 A 时，直线的截距最小，此时 z 最大， 由 得 ，即 A（ 2， 0）， 此时 z= 2 0=1， 故答案为： 1 14在 ，角 A， B， C 对应的边分别是 a， b， c，其中 A=120， b=1， 面积 S= ，则 = 【考点】 正弦定理 【分析】 由条件和三角形的面积公式列出方程求出 c 的值，由余弦定理求出 a 的值，由正弦定理和分式的性质求出 的值 【解答】 解：在 ， A=120， b=1， 面积 S= ， ，解得 c=4， 由余弦定理得， a2=b2+21+16 2 =21，则 a= ， 由正弦定理得， = = = ， 故答案为： 15已知在三棱锥 P ， ， ， ， 平面 平面 么三棱锥 P 接球的半径为 2 第 13 页（共 23 页） 【考点】 球内接多面体；球的体积和表面积 【分析】 利用等体积转换，求出 得 中点为球心，球的半径 【解答】 解：由题意，设 x，则 ， 等腰直角三角形， 上的高为 x， 平面 平面 A 到平面 距离为 x， ， PB=x， x， S = ， A x= ， x=2， 中点为球心，球的半径为 2 故答案为： 2 16已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =x+1）给出下列命题： 当 x 0 时， f（ x） =1 x） 函数 f（ x）有 2 个零点 f（ x） 0 的解集为（ 1， 0） （ 1， +） R，都有 |f（ f（ | 2 其中正确的命题是 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 通过函数的奇偶性的定义求出函数的解析式，判断 的正误；通过分析出函数的零点的个数判断 的正误；直接求解不等式的解集判断 的正误；求出函数的最值判断 的正误 【解答】 解：设 x 0，则 x 0，故 f（ x） =e x（ x+1） = f（ x）， f（ x） =e x（ x 1），故 错； f（ x）定义在 R 上的奇函数， f（ 0） =0，又 x 0 时， f（ 1） =0， 第 14 页（共 23 页） x 0 时， f（ 1） =0，故 f（ x）有 3 个零点， 错； 当 x 0 时，令 f（ x） =x+1） 0，解得 1 x 0， 当 x 0 时，令 f（ x） =e x（ x 1） 0 解得 x 1，综上 f（ x） 0 的解集为（ 1， 0） （ 1， +）， 正确； 当 x 0 时， f（ x） =x+2）， f（ x）在 x= 2 处取最小值为 ， 当 x 0 时， f（ x） =e x（ x+2）， f（ x）在 x=2 处取最大值为 ， 由此可知函数 f（ x）在定义域上的最小值为 ，最大值为 ，而 = 2， R，都有 |f（ f（ | 2， 正确 故答案为： 三、解答题 17已知数列 首项 ， = ， n=1， 2， 3， （ ）证明：数列 1是等比数列； （ ）求数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比关系的确定 【分析】 （ ）由 = ，可得 ，即可证明数列 1是等比数列； （ ）分组，再利用错位相减法，即可求出数列 的前 n 项和 【解答】 （ ）证明： ， ， ， 又 ， ， 数列 是以为 首项， 为公比的等比数列 （ ）解：由（ ）知 1= ，即 ， 设 ， 第 15 页（共 23 页） 则 ， 由 得 ， 又 1+2+3+ ， 数列 的前 n 项和 18在某大学自主招生考试中，所有选报 类志向的考生全部参加了 “数学与逻辑 ”和 “阅 读与表达 ”两个科目的考试，成绩分为 A， B， C， D， E 五个等级某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中 “数学与逻辑 ”科目的成绩为 B 的考生有 10 人 （ ）求该考场考生中 “阅读与表达 ”科目中成绩为 A 的人数； （ ）若等级 A， B， C， D， E 分别对应 5 分， 4 分， 3 分， 2 分， 1 分，求该考场考生 “数学与逻辑 ”科目的平均分； （ ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 A在至少一科成绩为 机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均 为 A 的概率 【考点】 众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ ）根据 “数学与逻辑 ”科目中成绩等级为 B 的考生人数，结合样本容量 =频数 频率得出该考场考生人数，再利用频率和为 1 求出等级为 A 的频率，从而得到该考场考生中 “阅读与表达 ”科目中成绩等级为 A 的人数 （ ）利用平均数公式即可计算该考场考生 “数学与逻辑 ”科目的平均分 （ ）通过列举的方法计算出选出的 2 人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为 用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 【解答】 解：（ ）因为 “数学与逻辑 ”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人， 所以该考场有 10 0 人， 所以该考场考生中 “阅读与表达 ”科目中成绩等级为 A 的人数为： 40 （ 1 =40 人； 第 16 页（共 23 页） （ ）该考场考生 “数学与逻辑 ”科目的平均分为： 1 （ 40 +2 （ 40 +3 （ 40 +4 （ 40 +5 （ 40 = （ ）因为两 科考试中，共有 6 人得分等级为 A，又恰有两人的两科成绩等级均为 A， 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A， 设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是 A 的同学， 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为： =甲，乙 ， 甲，丙 ， 甲，丁 ， 乙，丙 ， 乙，丁 ， 丙，丁 ，一共有 6 个基本事件 设 “随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B，所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个， 则 P（ B） = 19如图所示，在三棱柱 ， 平面 M 是棱 中点 （ 1）在棱 是否存在一点 N，使 平面 存在，请确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由； （ 2）当 等边三角形，且 时，求点 M 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）在棱 在一点 N，使 平面 N 为线段 中点下面给出证明：分别取线段 中点 N， P连接 用三角形中位线定理可得： 得 利用线面面面平行的判定定理与性质定理即可证明 （ 2）先求点 A 到平面 距离 h，则点 M 到平面 距离是 由 等边三角形，且 ，可得点 A 到平面 距离 d= 利用= ，即可得出 【解答】 解：（ 1）在棱 在一点 N，使 平面 N 为线段 中点下面给出证明： 分别取线段 中点 N， P连接 又点 M 是棱 中点，由三角形中位线定理可得： 得 又 面 面 平面 同理可证 平面 M=P 第 17 页（共 23 页） 平面 （ 2）先求点 A 到平面 距离 h，则点 M 到平面 距离是 等边三角形，且 ， 点 A 到平面 距离 d= . = =2 =2 = = = ， = ， h= = = 点 M 到平面 距离为 20已知两点 A（ 2， 0）， B（ 2， 0），直线 交于点 M，且这两条直线的斜率之积为 （ 1）求点 M 的轨迹方程； （ 2）记点 M 的轨迹为曲线 C，曲线 C 上在第一 象限的点 P 的横坐标为 1，过点 P 且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线 C 于 Q， R，求 面积的最大值（其中点 O 为坐标原点） 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 【分析】 （ 1）设点 M（ x， y），通过 ，即可求出所在的曲线 C 的方程 （ 2）求出 ，设直线 方程，与椭圆方程联立消去 y，通过 x=1 是方程的一个解，求出方程的另一解，求出直线 斜率，把直线 方程 代入椭圆方程，求出 |点 O 到直线 距离，表示出面积 S 解最值 【解答】 解：（ 1）设点 M（ x， y）， 第 18 页（共 23 页） ， ， 整理得点所在的曲线 C 的方程： （ 2）由题意可得点 ， 直线 直线 斜率互为相反数， 设直线 方程为 ， 与椭圆方程联立消去 y，得：（ 4） 12k 8x+（ 412k 3） =0， 由于 x=1 是方程的一个解， 所以方程的另一解为 ，同理 ， 故直线 斜率为， 把直线 方程 代入椭圆方程，消去 y 整理得 x2+bx+3=0， 所以 | = 原点 O 到直线 距离为 ， S = = 21已知函 数 f（ x） =x2+a R （ 1）若函数 f（ x）在其定义域上为增函数，求 a 的取值范围； （ 2）当 a=1 时，函数 g（ x） = x 在区间 t， +）（ t N*）上存在极值，求 t 的最大值 （参考数值：自然对数的底数 e 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）函数 f（ x）在其定义域上为增函数 f（ x） 0，即 对 x （ 0， +）都成立通过 分离参数 a，再利用基本不等式的性质即可得出 第 19 页（共 23 页） （ 2）当 a=1 时， g（ x） = . 由于函数 g（ x）在 t， +）（ t N*）上存在极值，可知：方程 g（ x） =0 在 t， +）（ t N*）上有解， 即方程 在 t， +）（ t N*）上有解再利用导数研究其单调性、函数的零点即可 【解答】 解：（ 1）：函数 f（ x）的定义域为（ 0， +）， f（ x） =x2+ 函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递增， f（ x） 0，即 对 x （ 0， +）都成立 对 x （ 0， +）都成立 当 x 0 时， ，当且仅当 ，即 时， 取等号 ，即 a 的取值范围为 （ 2）当 a=1 时， 函数 g（ x）在 t， +）（ t N*）上存在极值， 方程 g（ x） =0 在 t， +）（ t N*）上有解， 即方程 在 t， +）（ t N*）上有解 令 （ x 0）， 由于 x 0，则 ， 函数 （ x）在（ 0， +）上单调递减 ， ， 函数 （ x）的零点 （ 3， 4） 方程 （ x） =0 在 t， +）（ t N*）上有解， t N* t 3 t N*， t 的最大值为 3 选修 4何证明选讲 第 20 页（共 23 页） 22几何证明选讲如图，已知 圆 O 的直径，直线 圆 O 相切于点 A，直线 C 垂直并相交于点 G，与弧 相交于 M，连接 0， 2 （ 1）求证： C=D； （ 2）求 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）根据 圆 O 的直径，得到 似，从而得到 ，又 G，所以 ，从而得到证明； （ 2）根据直角三角形中的边角关系求得 根据直角三角形的相似及切割线定理求解即可 【解答】 （ 1）证明：因为 以 0 又