华师大版九年级数学下26.3.4二次函数综合题（二）课文练习含答案解析

次函数综合 2 农安县合隆中学 徐亚惠 一选择题（共 8 小题） 1 已知二次函数 y=bx+c（ a0）的图象如图所示，给出以下结论： a+b+c 0； a b+c 0； b+2a 0；0其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 2 已知反比例函数 y= 的图象如图，则二次函数 y=24x+图象大致为（ ） A B C D 3若二次函数 y=2x+4（ a 为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（ ） A 直线 x= 1 B 直线 x=1 C 直线 x= D 直线 x= 4抛物线 y=bx+c 如图，考查下述结论： b 0； a b+c 0； 42a+b 0正确的有（ ） A B C D 5将抛物线 y=2 平移到抛物线 y=x 2 的位置，以下描述正确的是（ ） A 向左平移 1 单位，向上平移 1 个单位 B 向右平移 1 单位，向上平移 1 个单位 C 向左平移 1 单位，向下平移 1 个单位 D 向右平移 1 单位，向下平移 1 个单位 6如图， 顶点 A（ 2， 4）在抛物线 y= 点 O 顺时针旋转 90，得到 该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为（ ） A （ ， ） B （ 2， 2） C （ ， 2） D （ 2， ） 7关于 x 的二次函数 y= 1 m） x m，其图象的对称轴在 y 轴的右侧，则实数 m 的取值范围是（ ） A m 1 B 1 m 0 C 0 m 1 D m 1 8已知二次函数 y=1 的图象开口向下，则直线 y=1 经过的象限是（ ） A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限 C 第一、三、四象限 D 第二、三、四象限 二填空题（共 6 小题） 9已知抛物线 y=bx+c（ a0）与 x 轴交于 A， B 两点，若点 A 的坐标为（ 2， 0），抛物线的对称轴为直线 x=2，则线段 长为 _ 10如图，二次函数 y=的图象经过点 A（ 1， 0）， B（ 3， 0），那么一元二次方程 的根是 _ 11如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水面下降 1米时，水面的宽度为 _ 米 12已知二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，则下列 7 个代数式 4a+b+c， a b+c， 2a+值为正的式子的个数为 _ 个 13已知二次函数 y=bx+c 中，其函数 y 与自变 量 x 之间的部分对应值如下表所示： x 0 1 2 3 y 5 2 1 2 点 A（ B（ 函数的图象上，则当 0 1， 2 3 时， 大小关系是 _ 14某种工艺品利润为 60 元 /件，现降价销售，该种工艺品销售总利润 w（元）与降价 x（元）的函数关系如图这种工艺品的销售量为 _ 件（用含 x 的代数式表示） 三解答题（共 7 小题） 15我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓我市某电器商场根据民众健康需 要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 200 元 /台经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是 400 元 /台时，可售出 200 台，且售价每降低 10 元，就可多售出 50 台若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元 /台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售任务 （ 1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元 /台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围； （ 2）当售价 x（元 /台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ 16如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出把球看成点，其运行的高度 y（米）与运行的水平距离 x（米）满足关系式 y=a（ x 6） 2+h，已知球网与点 O 的水平距离为 9 米，高度为 场的边界距点 O 的水平距离为 18 米 （ 1）当 h=，求 y 与 x 的函数关系式 （ 2）当 h=，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由 （ 3）若球一定能越过球网，又不出边界则 h 的取值范围是多少？ 17如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A、 D 两点，并经过 B 点，已知 A 点坐标是（ 2， 0）， B 点的坐标是（ 8， 6） （ 1）求二次函数的解析式 （ 2）求函数图象的顶点坐标及 D 点的坐标 （ 3）该二次函数的对称轴交 x 轴于 C 点连接 延长 抛物线于 E 点，连接 面积 （ 4）抛物线上有一个动点 P，与 A， D 两点构成 否存在 S S 存在，请求出 P 点的坐标；若不存在请说明理由 18如图，抛物线 y=bx+c（ a0）与 x 轴交于点 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）两点，与 y 轴交于点 C（ 0， 3） （ 1）求该抛 物线的解析式及顶点 M 坐标； （ 2）求 积与 积的比； （ 3）若 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作射线 抛物线于点 Q，随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在这样的点 Q，使以 A， P， Q， C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 19如图，以矩形 顶点 O 为原点， 在的直线为 x 轴， 在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系已知 ， ，点 E 是 中点，在 取一点 D，将 折，使点 A 落在 上的点 F 处 （ 1）直接写出点 E、 F 的坐标； （ 2） 设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴 于点 P，且 F，求该抛物线的解析式； （ 3）在 x 轴、 y 轴上是否分别存在点 M、 N，使得四边形 周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由 20如图，已知二次函数 y=4x+c 的图象与坐标轴交于点 A（ 1， 0）和点 C（ 0， 5） （ 1）求该二次函数的解析式和它与 x 轴的另一个交点 B 的坐标 （ 2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点 P（ 2， 2），连接 出 x 轴上所有点 M 的坐标，使得 21如图，一块直角三角形木板 中 C=90， m， m，现在要把 它们加工成一个面积最大的矩形，甲、乙两位木工师 傅的加工方法分别如图 1、图 2 所示，请用学过的知识说明哪位师傅的加工方法符合要求 次函数综合 2 参考答案与试题解析 一选择题（共 8 小题） 1已知二次函数 y=bx+c（ a0）的图象如图所示，给出以下结论： a+b+c 0； a b+c 0； b+2a 0；0其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 考点： 二次函数图象与系数的 关系 专题： 数形结合 分析： 由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 而对所得结论进行判断 解答： 解： 当 x=1 时， y=a+b+c=0，故 错误； 当 x= 1 时，图象与 x 轴交点负半轴明显大于 1， y=a b+c 0， 故 正确； 由抛物线的开口向下知 a 0， 对称轴为 0 x= 1， 2a+b 0， 故 正确； 对称轴为 x= 0， a 0 a、 b 异号，即 b 0， 由图知抛物线与 y 轴交于正半轴， c 0 0， 故 错误； 正确结论的序号为 故选： B 点评： 二次函数 y=bx+c 系数符号的确定： （ 1） a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a 0；否则 a 0； （ 2） b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 x= 判断符号； （ 3） c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c 0；否则 c 0； （ 4）当 x=1 时，可以确定 y=a+b+c 的值；当 x= 1 时，可以确定 y=a b+c 的值 2已知反比例函数 y= 的图象如图，则二次函数 y=24x+ ） A B C D 考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象 分析： 本题可先由反比例函数的图象得到字母系数 k 1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案 解答： 解： 函数 y= 的图象 经过二、四象限， k 0， 由图知当 x= 1 时， y= k 1， k 1， 抛物线 y=24x+ 对称为 x= = ， 1 0， 对称轴在 1 与 0 之间， 故选： D 点评： 此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用， 正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键属于基础题 3若二次函数 y=2x+4（ a 为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（ ） A 直线 x= 1 B 直线 x=1 C 直线 x= D 直线 x= 考点： 二次函数的性质 分析： 根据图象可以知道图象经过点（ 0， 0），因而把这个点代入记得到一个关于 a 的方程，就可以求出 a 的值，从而根据对称轴方程求得对称轴即可 解答： 解：把原点（ 0， 0）代入抛物线解析式，得 4=0， 解得 a=2， 函数开口向上， a 0， a=2， 对称轴为： x= = = ， 故选 D 点评： 本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键 y=bx+c 如图，考查下述结论： b 0； a b+c 0； 42a+b 0正确的有（ ） A B C D 考点： 二次函数图象与系数的关系 分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况 进行推理，进而对所得结论进行判断 解答： 解： 图象开口向上，与 y 轴交于负半轴，对称轴在 y 轴右侧，能得到： a 0， c 0， 0， b 0，正确； 由图象知当 x= 1 时， y=a b+c 0，正确； 图象与 x 轴有两个交点，所以 40，即 4确； 由图象知 ，即 2a+b=0，本项错误 故选 B 点评： 二次函数 y=bx+c 系数符号的确定： （ 1） a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a 0；否则 a 0； （ 2） b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 x= 判断符号； （ 3） c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c 0；否则 c 0； （ 4） 4抛物线与 x 轴交点的个数确定： 2 个交点， 40； 1 个交点， 4； 没有交点， 40 （ 5）当 x=1 时，可以确定 y=a+b+c 的值；当 x= 1 时，可以确定 y=a b+c 的值 5将抛物线 y=2 平移到抛物线 y=x 2 的位置，以下描述正确的是（ ） A 向左平移 1 单位，向上平移 1 个单位 B 向右平移 1 单位，向上平移 1 个单位 C 向左平移 1 单位，向下平移 1 个单 位 D 向右平移 1 单位 ，向下平移 1 个单位 考点： 二次函数图象与几何变换 分析： 先将抛物线 y=x+1 化为 y=（ x+2） 2 3 的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答 解答： 解： 抛物线 y=x 2 可化为 y=（ x+1） 2 3， 把抛物线 y=2 先向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位即可得到抛物线 y=（ x+1） 2 3 故选： C 点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知 “上加下减左加右减 ”的法则是解答此题的关键 6如图， 顶点 A（ 2， 4）在抛物 线 y= 点 O 顺时针旋转 90，得到 该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为（ ） A （ ， ） B （ 2， 2） C （ ， 2） D （ 2， ） 考点： 二次函数综合题 专题： 综合题 分析： 首先根据点 A 在抛物线 y=B 的长，从而求得点 D 的坐标，根据点 P 的纵坐标和点 D 的纵坐标相等得到点 P 的坐标即可； 解答： 解： 顶点 A（ 2， 4）在抛物线 y=， 4=a（ 2） 2， 解得： a=1 解析式为 y= 顶点 A（ 2， 4）， D=2， 点 O 顺时针旋转 90，得到 x 轴， 点 D 和点 P 的纵坐标均为 2， 令 y=2，得 2= 解得： x= ， 点 P 在第一象限， 点 P 的坐标为：（ ， 2） 故选： C 点评： 本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点 D 的纵坐标，利用点P 的纵坐标与点 D 的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可 7关于 x 的二次函数 y= 1 m） x m，其图象的对称轴在 y 轴的右侧，则实数 m 的取值范围是（ ） A m 1 B 1 m 0 C 0 m 1 D m 1 考点： 二次函数的性质 分析： 由于二次函数的对称轴在 y 轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于 m 的不等式，解不等式即可求解 解答： 解： 二次函数 y= 1 m） x m 的对称轴在 y 轴右侧， x= 0， 解得： m 1 故选 D 点评： 此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式解决问题 8已知二次函数 y=1 的图象开口向下，则直线 y=1 经过的象限是（ ） A 第一 、二、三象限 B 第一、二、四象限 C 第一、三、四象限 D 第二、三、四象限 考点： 一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系 分析： 二次函数图象的开口向下时，二次项系数 a 0；一次函数 y=kx+b（ k0）的一次项系数 k 0、 b 0 时，函数图象经过第二、三、四象限 解答： 解： 二次函数 y=图象开口向下， a 0； 又 直线 y=1 与 y 轴交于负半轴上的 1， y=1 经过的象限是第二、三、四象限 故选 D 点评： 本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的 关系二次函数图象的开口方向决定了二次项系数 a 的符号 二填空题（共 6 小题） 9已知抛物线 y=bx+c（ a0）与 x 轴交于 A， B 两点，若点 A 的坐标为（ 2， 0），抛物线的对称轴为直线 x=2，则线段 长为 8 考点： 抛物线与 x 轴的交点 分析： 由抛物线 y=bx+c 的对称轴为直线 x=2，交 x 轴于 A、 B 两点，其中 A 点的坐标为（ 2， 0），根据二次函数的对称性，求得 B 点的坐标，再求出 长度 解答： 解： 对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=bx+c（ a0）与 x 轴相交于 A、 B 两点， A、 B 两点关于直线 x=2 对称， 点 A 的坐标为（ 2， 0）， 点 B 的坐标为（ 6， 0）， （ 2） =8 故答案为： 8 点评： 此题考查了抛物线与 x 轴的交点此题难度不大，解题的关键是求出 B 点的坐标 10如图，二次函数 y= 的图象经过点 A（ 1， 0）， B（ 3， 0），那么一元二次方程 的根是 ， 考点： 抛物线与 x 轴的交点 专题： 计算题 分析： 把 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）代入 y= 求出 a， b 的值，再代 入 解方程即可 解答： 解：把 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）代入 y=3 得 ， 解得 ， 代入 得， x=0， 解得 ， 故答案为： ， 点评： 本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，解题的关键是求出 a， b 的值 11如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水面下降 1米时，水面的宽度为 米 考点： 二次函数的应用 专题： 函数思想 分析： 根据已知得出直角坐标 系，进而求出二次函数解析式，再通过把 y= 1 代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案 解答： 解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 轴 y 通过 点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 抛物线以 y 轴为对称轴，且经 过 A， B 两点， 求出为 一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（ 0， 2）， 通过以上条件可设顶点式 y=，其中 a 可通过代入 A 点坐标（ 2， 0）， 到抛物线解析式得出： a= 以抛物线解析式为 y= ， 当水面下降 1 米，通过抛物线在图上的观察可转化为 ： 当 y= 1 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y= 1 与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把 y= 1 代入抛物线解析式得出： 1= ， 解得： x= ， 所以水面宽度增加到 米， 故答案为： 米 点评： 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键 12已知二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，则下列 7 个代数式 4a+b+c， a b+c， 2a+值为正的式子的个数为 3 个 考点： 二次函数图象与系数的关系 分析： 由抛物线开口向上，得到 a 0，再由对称轴在 y 轴右侧，得到 a 与 b 异号，可得出 b 0，又抛物线与 y 轴交于正半轴，得到 c 大于 0，可得出 0， 0，由抛物线与 x 轴有 2 个交点，得到根的判别式 40，当x=1 时， y=a+b+c 0， x= 1 时， y=a b+c 0，由 =1 得 b+2a=0 解答： 解： 抛物线的开口向上， a 0， 0， b 0， 抛物线与 y 轴交于正半轴， c 0， 0， 0， 0 抛物线与 x 轴有 2 个交点， 40 x=1 时的函数值小于 0， y=a+b+c 0 又 x= 1 时的函数值大于 0 y=a b+c 0 对称轴为直线 x=1， =1，即 2a+b=0， 所以一共有 3 个式子的值为正 故答案为： 3 点评： 此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 y=bx+c（ a0）， a 的符号由抛物线开口方向决定； a 的符号决定； c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定；抛物线与 x 轴的交点个数，决定了 4符号，此外还要注意 x=1， 1 对应函数值的正负来判断其式子的正确与 否 13已知二次函数 y=bx+c 中，其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示： x 0 1 2 3 y 5 2 1 2 点 A（ B（ 函数的图象上，则当 0 1， 2 3 时， 大小关系是 考点： 二次函数图象上点的坐标特征 专题： 计算题；压轴题 分析： 由二次函数图象的对称性知，图表可以体现出二次函数 y=bx+c 的对称轴和开口方向，然后由二次函数的单调性填空 解答： 解：根据图表知， 当 x=1 和 x=3 时，所对应的 y 值都是 2， 抛物线的对称轴是直线 x=2， 又 当 x 2 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2 时， y 随 x 的增大而减小， 该二次函数的图象的开口方向是向上； 0 1， 2 3， 0 1 关于对称轴的对称点在 3 和 4 之间， 当 x 2 时， y 随 x 的增大而增大， 故答案是： 评： 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键 14某种工 艺品利润为 60 元 /件，现降价销售，该种工艺品销售总利润 w（元）与降价 x（元）的函数关系如图这种工艺品的销售量为 （ 60+x） 件（用含 x 的代数式表示） 考点： 二次函数的应用 分析： 由函数的图象可知点（ 30， 2700）和点（ 60， 0）满足解析式 w=n，设销售量为 a，代入函数的解析式，即可得到 a 和 x 的关系 解答： 解：由函数的图象可知点（ 30， 2700）和点（ 60， 0）满足解析式 w=n， ， 解得： ， w= 600， 设销售量为 a，则 a（ 60 x） =w， 即 a（ 60 x） = 600， 解得： a=（ 60+x ）， 故答案为：（ 60+x） 点评： 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，用的知识点为：因式分解，题目设计比较新颖，同时也考查了学生的逆向思维思考问题 三解答题（共 7 小题） 15我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 200 元 /台经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是 400 元 /台时，可售出 200 台，且售价每降低 10 元，就可多售出 50 台若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元 /台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售任务 （ 1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元 /台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围； （ 2）当售价 x（元 /台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ 考点： 二次函数的应用 专题： 销售问题 分析： （ 1）根据题中条件销售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 台，即可列出函数关系式； 根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元 /台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售即可求出 （ 2）用 x 表示 y，然后再用 x 来表示出 w，根据函数关系式，即可求出最大 w； 解答： 解：（ 1）根据题中条件销售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 台， 则月销售量 y（台）与售价 x（元 /台）之间的函数关系式： y=200+50 ，化简得： y= 5x+2200； 供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元 /台，代理销售商每月要完成不低于 450 台， 则 ， 解得： 300x350 y 与 x 之间的函数关系式为： y= 5x+2200（ 300x350）； （ 2） W=（ x 200）（ 5x+2200）， 整理得： W= 5（ x 320） 2+72000 x=320 在 300x350 内， 当 x=320 时，最大值为 72000， 即售价定为 320 元 /台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w 最大，最大利润是 72000 元 点评： 本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识 16如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出把球看成点，其运行的高度 y（米）与运行的水平距离 x（米）满足 关系式 y=a（ x 6） 2+h，已知球网与点 O 的水平距离为 9 米，高度为 场的边界距点 O 的水平距离为 18 米 （ 1）当 h=，求 y 与 x 的函数关系式 （ 2）当 h=，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由 （ 3）若球一定能越过球网，又不出边界 则 h 的取值范围是多少？ 考点： 二次函数的应用 专题： 代数综合题；待定系数法 分析： （ 1）利用 h=从 O 点正上方 2m 的 A 处发出，将点（ 0， 2）代入解析式求出即可； （ 2）利用当 x=9 时， y= （ x 6） 2+ y=0 时， （ x 6） 2+，分别得出即可； （ 3）根据当球正好过点（ 18， 0）时，抛物线 y=a（ x 6） 2+h 还过点（ 0， 2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（ 9， 抛物线 y=a（ x 6） 2+h 还过点（ 0， 2）时分别得出 h 的取值范围，即可得出答案 解答： 解：（ 1） h=从 O 点正上方 2m 的 A 处发出， 抛物线 y=a（ x 6） 2+h 过点（ 0， 2）， 2=a（ 0 6） 2+ 解得： a= ， 故 y 与 x 的关系式为： y= （ x 6） 2+ （ 2）当 x=9 时 ， y= （ x 6） 2+ 所以球能过球网； 当 y=0 时， （ x 6） 2+， 解得： + 18， （舍去） 故会出界； （ 3）当球正好过点（ 18， 0）时，抛物线 y=a（ x 6） 2+h 还过点（ 0， 2），代入解析式得： ， 解得 ， 此时二次函数解析式为： y= （ x 6） 2+ ， 此时球若不出边界 h ， 当球刚能过网，此时函数解析式过（ 9， 抛物线 y=a（ x 6） 2+h 还过点（ 0， 2），代入解析式得：， 解得 ， 此时球要过网 h ， 故若 球一定能越过球网，又不出边界， h 的取值范围是： h 点评： 此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围 17如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A、 D 两点，并经过 B 点，已知 A 点坐标是（ 2， 0）， B 点的坐标是（ 8， 6） （ 1）求二次函数的解析式 （ 2）求函数图象的顶点坐标及 D 点的坐标 （ 3）该二次函数的对称轴交 x 轴于 C 点连接 延长 抛物线于 E 点，连接 面积 （ 4）抛物线上有一个动点 P，与 A， D 两点构成 否存在 S S 存在，请求出 P 点的坐标；若不存在请说明理由 考点： 二次函数综合题 专题： 几何综合题；压轴题 分析： （ 1）利用待定系数法求出 b， c 即可求出二次函数解析式， （ 2）把二次函数 式转化可直接求出顶点坐标 ，由 A 对称关系可求出点 D 的坐标 （ 3）由待定系数法可求出 在的直线解析式，与抛物线组成方程求出点 E 的坐标，利用 面积 = 面积求出 面积 （ 4）设点 P 到 x 轴的距离为 h，由 S S h 的值，根据 h 的正，负值求出点 P 的横坐标即可求出点P 的坐标 解答： 解：（ 1） 二次函数 y= x2+bx+c 的图象过 A（ 2， 0）， B（ 8， 6） ，解得 二次函数解析式为： y= 4x+6， （ 2）由 y= 4x+6，得 y= （ x 4） 2 2， 函数图象的顶点坐标为（ 4， 2）， 点 A， D 是 y= x2+bx+c 与 x 轴的两个交点， 又 点 A（ 2， 0），对称轴为 x=4， 点 D 的坐标为（ 6， 0） （ 3） 二次函数的对称轴交 x 轴于 C 点 C 点的坐标为（ 4， 0） B（ 8， 6）， 设 在的直线解析式为 y=kx+b， 解得 在的直线解析式为 y= x 6， E 点是 y= x 6 与 y= 4x+6 的交点， x 6= 4x+6 解得 ， （舍去）， 当 x=3 时， y= ， E（ 3， ）， 面积 = 面积 + 面积 = 26+ 2 = （ 4）存在， 设点 P 到 x 轴的距离为 h， S 26=6， S 4h=2h S S 2h=6 ，解得 h= ， 当 P 在 x 轴上方时 ， = 4x+6，解得 + ， ， 当当 P 在 x 轴下方时， = 4x+6，解得 ， ， 4+ ， ）， 4 ， ）， 3， ）， 5， ） 点评： 本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是利用待定系数的方法求出函数解析式以及三角形面积的转化 18如图，抛物线 y=bx+c（ a0）与 x 轴交于点 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）两点，与 y 轴交于点 C（ 0， 3） （ 1）求该抛物线的解析式及顶点 M 坐标； （ 2）求 积 与 积的比； （ 3）若 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作射线 抛物线于点 Q，随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在这样的点 Q，使以 A， P， Q， C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 考点： 二次函数综合题；平行四边形的性质 专题： 综合题 分析： （ 1）有抛物线与 x 轴交于点 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）两点，则可设抛物线解析式为 y=a（ x+1）（ x 3）由与 y 轴交于点 C（ 0， 3），则代入易得解析式，顶点易知 （ 2）求 积与 积的比，由两三 角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可因为 S 梯形 S S C，则结论易得 （ 3）由四边形为平行四边形，则对边 行且相等，过 Q 点作 x 轴的垂线易得 Q 到 x 轴的距离 =，又（ 1）得抛物线解析式，代入即得 Q 点横坐标，则 Q 点可求 解答： 解：（ 1）设抛物线解析式为 y=a（ x+1）（ x 3）， 抛物线过点（ 0， 3）， 3=a（ 0+1）（ 0 3）， a=1， 抛物线解析式为 y=（ x+1）（ x 3） =2x 3， y=2x 3=（ x 1） 2 4， M（ 1， 4） （ 2）如图 1，连接 x 轴于 D， S 梯形 S （ 3+4） 1+ 2 4 33 = + =3 S C= 43=6， S S ： 6=1： 2 （ 3）存在，理由如下： 如图 2，当 Q 在 x 轴下方时，作 x 轴于 E， 四边形 平行四边形， 行且相等 C=3， 3=2x 3， 解得 x=2 或 x=0（与 C 点重合，舍去）， Q（ 2， 3） 如图 3，当 Q 在 x 轴上方时，作 x 轴于 F， 四边形 平行四边形， 行且相等 C=3， 3=2x 3， 解得 x=1+ 或 x=1 ， Q（ 1+ ， 3）或（ 1 ， 3） 综上所述， Q 点为（ 2， 3）或（ 1+ ， 3）或（ 1 ， 3） 点评： 本题考查了二次函数图象与性质、平行四边形及坐标系中求不规则图形面积等基础考点，难度适中，适合学生练习 19如图，以矩形 顶点 O 为原点， 在的直线为 x 轴， 在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系已知 ， ，点 E 是 中点，在 取一点 D，将 折，使点 A 落在 上的点 F 处 （ 1）直接写出 点 E、 F 的坐标； （ 2）设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴于点 P，且 F，求该抛物线的解析式； （ 3）在 x 轴、 y 轴上是否分别存在点 M、 N，使得四边形 周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由 考点： 二次函数综合题 分析： （ 1） E 为 点，则横坐标、纵坐标分别为 3， 1，故坐标为（ 3， 1）；由 A 落在 F 处，则 B=3，所以横坐标、纵坐标分别为 1， 2，故坐标为（ 1， 2） （ 2）因为 F 且图中并无已知位置，所以画圆是找全所有情况的最好办法，发现 y 轴上存在两点 P，使得 F，进一步根据三角形性质可得到坐标，但要考虑题目中对 P 点的要求对最后结果进行取舍求抛物线解析式通常采用的方法为待定系数法，注意题中已知 F 为顶点，故利用顶点式设抛物线解析式求解过程会简单很多 （ 3）四边形周长最小我们基本没有接触过，但是周长中其中 定， 那么周长最小就转化为三段折现最短，恰起止两点已经固定，这是我们在学对称轴时常见的画图找最短路径题目，即利用两次对称点性质将问题转化为两个点间路径最短的问题 ，则 N、 M 两点易找到，进而最短周长易求 解答： 解： （ 1） E（ 3， 1）， F（ 1， 2） （ 2） 如图 1，以点 C 为圆心， 半径画弧交 y 轴于 P， P，连接 P F 在 垂直平分线上， P 在 ， ， F， F， P=P=， P（ 0， 4）， P（ 0， 0）（此点不在 y 的正半轴上，舍去）， F（ 1， 2）为抛物线顶点， 设抛物线解析式 y=a（ x 1） 2+2， 代入 P（ 0， 4），解得 a=2， y=2（ x 1） 2+2=24x+4 （ 3