华师大版九年级数学下26.3.4二次函数综合题（四）课文练习含答案解析

次函数 综合 4 农安县合隆中学 徐亚惠 一选择题（共 12 小题 ） 1下列函数中，不是二次函数的是（ ） A y=1 y=2（ x 1） 2+4 C y= （ x 1）（ x+4） D y=（ x 2） 2 如图，直角梯形 ， A=90， B=45，底边 ，高 ，点 E 由 B 沿折线 点 D 移动， M， N，设 BM=x，矩形 面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 3如图，二次函数 y=bx+c（ a0）的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标（ 1， 0），下面的四个结论： ； a+b+c 0； 0； 40其中正确的结论是（ ） A B C D 4如图，已知点 A（ 4， 0）， O 为坐标原点， P 是线段 任意一点（不含端点 O， A），过 P、 O 两点的二次函数 过 P、 A 两 点的二次函数 图象开口均向下，它们的顶点分别为 B、 C，射线 交于点 D当D=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ） A B C 3 D 4 5如图，点 A（ a， b）是抛物线 上一动点， 抛物线于点 B（ c， d）当点 A 在抛物线上运动的过程中（点 A 不与坐标原点 O 重合），以下结论： 定值； 面积为定值； 直线过一定点正确的有（ ） （ 5 题） （ 6 题） （ 9 题） （ 18 题） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6如图，抛物线 m： y=b（ a 0， b 0）与 x 轴于点 A、 B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C将抛物线 m 绕点 B 旋转 180，得到新的抛物线 n，它的顶点为 x 轴的另一个交点为 四边形 矩形，则 a， b 应满足的关系式为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 7对于二次函数 y=bx+c（ a0），我们把使函 数值等于 0 的实数 x 叫做这个函数的零点，则二次函数 y=mx+m 2（ m 为实数）的零点的个数是（ ） A 1 B 2 C 0 D 不能确定 8用 60m 的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为（ ） A 450 300 225 60已知二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，则 a， b， c 满足（ ） A a 0， b 0， c 0， 40 B a 0， b 0， c 0， 40 C a 0， b 0， c 0， 40 D a 0， b 0， c 0， 40 10已知二次函数 y=c，且当 x=1 时， 4y 1，当 x=2 时， 1y5，则当 x=3 时， y 的取值范围是（ ） A 1y20 B 4y15 C 7y26 D y 11已知一次函数 y=ax+c 与 y=bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ） A B C D 12下列函数 ， y=3， y=x（ x 2）， y=（ x 1） 2 ，二次函数的个数为（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 二填空题（共 8 小题） 13已知 是二次函数，则 a= _ 14在同一直角坐标系内直线 y=x 1，双曲线 ，抛物线 y= 22x 15 这三个图象共有 _ 个交点 15如果函数 y=b 的图象与函数 y=3|x 1| 4x 3 的图象恰有三个交点，则 b 的可能值是 _ 16抛物线 y=2 x+y=2 上，则 a= _ 17将进货单价为 50 元的某种商品 按零售价每个 80 元出售，每天能卖出 20 个，若这种商品的零售价在一定范围内每降 1 元，其销售量就增加 1 个，则为了获得最大利润，应降价 _ 元 18如图，矩形 长 O 是 中点， 半圆的直径分别为 物线的顶点是 O，关于 称且经过 C、 D 两点，则图中阴影部分的面积是 _ 19二次函数 y= 2+k） x+2k 与 x 轴交于 A， B 两点，其中点 A 是个定点， A， B 分别在原点的两侧，且 B=6，则直线 y= 与 x 轴的交点坐标为 _ 20若函数 y=3 9+a） x+6+2a（ x 是自变量且 x 为整数），在 x=6 或 x=7 时取得最小值，则 a 的取值范围是 _ 三解答题（共 6 小题） 21如图，一次函数 y= 2x+b 的图象与二次函数 y= x+c 的图象都经过原点， （ 1） b= _ ， c= _ ； （ 2）一般地，当直线 y=y=行时， k1=b1直线 y=kx+m 与直线 y= 2x+b 平行，与轴交 于点 A，且经过直线 y= x+c 的顶点 P，则直线 y=kx+m 的表达式为 _ ； （ 3）在满足（ 2）的条件下，求 面积 22已知一个二次函数的图象经过 A（ 4， 3）， B（ 2， 1）和 C（ 1， 8）三点 （ 1）求这个二次函数的解析式以及它的图象与 x 轴的交点 M， N（ M 在 N 的左边）的坐标 （ 2）若以线段 直径作 G，过坐标原点 O 作 G 的切线 点为 D，求 长 （ 3）求直线 解析式 （ 4）在直线 是否存在点 P，使得 直角三角形？如果存在，求出 点 P 的坐标（只需写出结果，不必写出解答过程）；如果不存在，请说明理由 23如图，抛物线 y=3 交 y 轴于点 C，直线 l 为抛物线的对称轴，点 P 在第三象限且为抛物线的顶点 P到 x 轴的距离为 ，到 y 轴的距离为 1点 C 关于直线 l 的对称点为 A，连接 直线 l 于 B （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）直线 y= x+m 与抛物线在第一象限内交于点 D，与 y 轴交于点 F，连接 y 轴于点 E，且 ： 1求直线 y= x+m 的表达式； （ 3）若 N 为平面直角坐标系内的点，在直线 y= x+m 上是否存在点 M，使得以 点 O、 F、 M、 N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 24如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形 边 在直线为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系（ O、 C、 F 三点在 x 轴正半轴上）若 P 过 A、 B、 E 三点（圆心在 x 轴上），抛物线 y= 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为 G， M 是 中点，正方形 面积为 1 （ 1）求 B 点坐标； （ 2）求证： P 的切线； （ 3）设直线 抛物线对称轴交于 N， Q 点是此对称轴上不与 N 点重合的一动点， 求 长的最小值； 若 FQ=t， S ，直接写出 S 与 t 之间的函数关系式 25如图，抛物线 y=x 3 的顶点为 M，与 x 轴相交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 D；抛物线 抛物 线于 y 轴对称，顶点为 N，与 x 轴相交于 E、 F 两点 （ 1）抛物线 _ ； （ 2）点 A、 D、 N 是否在同一条直线上？说明你的理由； （ 3）点 P 是 的动点，点 P是 的动点，若以 一边、 其对边的四边形 （或 是平行四边形，试求所有满足条件的 点 P 的坐标； （ 4）在 是否存在点 Q，使 以 斜边且有一个角为 30的直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 次函数 综合 4 参考答案与试题解析 一选择题（共 12 小题） 1下列函数中，不是二次函数的是（ ） A y=1 y=2（ x 1） 2+4 C y= （ x 1）（ x+4） D y=（ x 2） 2 点： 二次函数的定义 分析： 利用二次函数的定义，整理成一般形式就可 以解答 解答： 解： A、 y=1 ，是二次函数，正确； B、 y=2（ x 1） 2+4=24x+6，是二次函数，正确； C、 y= （ x 1）（ x+4） = x 2，是二次函数，正确； D、 y=（ x 2） 2 4x+4，是一次函数，错误 故选 D 点评： 本题考查二次函数的定义 2如图，直角梯形 ， A=90， B=45，底边 ，高 ，点 E 由 B 沿折线 点 D 移动， M， N，设 BM=x，矩形 面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 考点： 动点问题的函数图象；二次函数的图象 专题： 压轴题；动点型 分析： 利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案 解答： 解：根据已知可得：点 E 在未到达 C 之前， y=x（ 5 x） =5x x3，当 x 从 0 变化到 ， y 逐渐变大， 当 x=， y 有最大值，当 x 从 化到 3 时， y 逐渐变小， 到达 C 之后， y=3（ 5 x） =15 3x， x 3， 根据二次函数和一次函数的性质 故选： A 点评： 利用一次函数和二次函数的性质，结合实际问 题于图象解决问题 3如图，二次函数 y=bx+c（ a0）的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标（ 1， 0），下面的四个结论： ； a+b+c 0； 0； 40其中正确的结论是（ ） A B C D 考点： 二次函数图象与系数的关系 专题： 压轴题；推理填空题 分析： 根据点 B 坐标和对称轴求出 A 的坐标，即可判断 ；由图象可知：当 x=1 时， y 0，把 x=1 代入二次函数的解析式，即可判断 ；抛物线的开口向下，与 y 轴 的交点在 y 轴的正半轴上，得出 a 0， c 0，即可判断 ；根据抛物线与 x 轴有两个交点，即可判断 解答： 解： 点 B 坐标（ 1， 0），对称轴是直线 x=1， A 的坐标是（ 3， 0）， ， 正确； 由图象可知：当 x=1 时， y 0， 把 x=1 代入二次函数的解析式得： y=a+b+c 0， 错误； 抛物线的开口向下，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， a 0， c 0， 0， 错误； 抛物线与 x 轴有两个交点， 40， 正确； 故选 A 点评： 本题考查了二次函数图象与系数的 关系的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力，是一道比较容易出错的题目，但题型比较好 4如图，已知点 A（ 4， 0）， O 为坐标原点， P 是线段 任意一点（不含端点 O， A），过 P、 O 两点的二次函数 过 P、 A 两点的二次函数 图象开口均向下，它们的顶点分别为 B、 C，射线 交于点 D当D=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ） A B C 3 D 4 考点： 二次函数的最值；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 专题： 计算题；压轴题 分析： 过 B 作 F，过 D 作 E，过 C 作 M，则 M 是这两个二次函数的最大值之和， 出 E=2， ，设 P（ 2x， 0），根据二次函数的对称性得出 F=x，推出 出 = ， = ，代入求出 加即可求出答案 解答： 解： 过 B 作 F，过 D 作 E，过 C 作 M， D=3， A= ， 由勾股定理得： ， 设 P（ 2x， 0），根据二次函数的对称性得出 F=x， = ， = ， M= （ = （ 4 2x） =2 x， 即 = ， = ， 解得 ： x， x， M= 故选 A 点评： 本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度 5如图，点 A（ a， b）是抛物线 上一动点， 抛物线于点 B（ c， d）当点 A 在抛物线上运动的过程中（点 A 不与坐标原点 O 重合），以下结论： 定值； 面积为定值； 直线过一定点正确的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点： 二次函数综合题 专题： 计算题；代数几何综合题 分析： 过点 A、 B 分别作 x 轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断 是否正确 面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角 形的面积得出，根据得出的式子判断这个面积是否为定值利用待定系数法求出直线 解析式，即可判断 是否正确 解答： 解：过 A、 B 分别作 x 轴于 C、 x 轴于 D，则： AC=b， a， OD=c， BD=d； （ 1）由于 知 ： = ，即 = 论 正确） （ 2）将点 A、 B 的坐标代入抛物线的解析式中，有： b= 、 d= ； ，得： 4（结论 正确） （ 3） S 梯形 S S （ b+d）（ c a） （ a） b （ ） = （ ） 由此可看出， 面积不为定值（结论 错误） （ 4）设直线 解析式为： y=kx+h，代入 A、 B 的坐标，得： ak+h=b 、 ck+h=d c a，得： h= = = ； 直线 y 轴的交点为（ 0， 2）（结论 正确） 综上，共有三个结论是正确的，它们是 ，故选 C 点评： 题目涉及的考点并不复杂，主要有：利用待 定系数法确定函数 解析式、相似三角形的判定和性质以及图形面积的解法，难就难在式子的变形，可以将已知的条件列出，通过比较式子间的联系来找出答案 6如图，抛物线 m： y=b（ a 0， b 0）与 x 轴于点 A、 B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C将抛物线 m 绕点 B 旋转 180，得到新的抛物线 n，它的顶点为 x 轴的另一个交点为 四边形 矩形，则 a， b 应满足的关系式为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 考点： 二次函数综合题 专题： 综合题；压轴题 分析： 假设 a= 1， b=1 得出抛物线 m 的解析式，再利用 C 与 中心对称，得出二次函数的顶点坐标，利用矩形性质得出要使平行四边形 矩形，必须满足 C，即可求出 解答： 解：假设 a= 1， b=1 时，抛物线 m 的解析式为： y= 令 x=0，得： y=1 C（ 0， 1） 令 y=0，得： x=1 A（ 1， 0）， B（ 1， 0）， C 与 中心对称， 抛物线 n 的解析式为： y=（ x 2） 2 1=4x+3； 令 x=0，得： y=b C（ 0， b） 令 y=0，得： b=0， x= ， A（ ， 0）， B（ ， 0）， ， = 要使平行四边形 矩形，必须满足 C， 2 = 4（ ） =， 3 a， b 应满足关系式 3 故选 B 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键 7对于二次函数 y=bx+c（ a0），我们把使函数值等于 0 的实数 x 叫做这个函数的零点，则二次函数 y=mx+m 2（ m 为实数）的零点的个数是（ ） A 1 B 2 C 0 D 不能确定 考点： 抛物线与 x 轴的交点 专题： 压轴题；新定义 分析： 由题意可知：函数的零点也就是二次函数 y=bx+c 与 x 轴的交点，判断二次函数 y=mx+m 2 的零点的个数，也就是判断二次函数 y=mx+m 2 与 x 轴交点的个数；根据 与 0 的关系即可作出判断 解答： 解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数 y=bx+c 与 x 轴的交点 =（ m） 2 41（ m 2） =4m+8=（ m 2） 2+4 （ m 2） 2一定为非负数 （ m 2） 2+4 0 二次函数 y=mx+m 2（ m 为实数）的零点的个数是 2 故选 B 点评： 考查二次函数 y=bx+c 的图象与 x 轴交点的个数 8用 60m 的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为（ ） A 450 300 225 60点： 二次函数的最值 分析： 设矩形的宽为 示出长为 60 3x，根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题解答 解答： 解：设矩形的宽为 长为 60 3x， 养鸡场的面积 =（ 60 3x） x= 30x= 3（ x 10） 2+300， 3 0， 当养鸡场的宽为 10m 时，养鸡场的最大面积为 300 故选 B 点评： 本题考查了二次函数的最值，要注意分隔成两个矩形有三条宽 9已知二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，则 a， b， c 满足（ ） A a 0， b 0， c 0， 40 B a 0， b 0， c 0， 40 C a 0， b 0， c 0， 40 D a 0， b 0， c 0， 40 考点： 二次函数图象与系数的关系 专题： 压轴题 分析： 根据抛物线的开口方向判定 a 的符号，根据对称轴的位置来确定 b 的符号，根据抛物线与 y 轴的交点位置来判断 c 的符号，根据抛物线与 x 轴交点的个数可确定根的判别式 解答： 解：由图知： 抛物线的开口向下，则 a 0；对称轴在 y 轴左侧，则 x= 0，即 b 0； 抛物线交 y 轴于正半轴，则 c 0；与 x 轴有两个不同的交点，则 40； 故选 A 点评： 考查二次函数 y=bx+c 系数符号的确定 10已知二次函数 y=c，且当 x=1 时， 4y 1，当 x=2 时， 1y5，则当 x=3 时， y 的取值范围是（ ） A 1y20 B 4y15 C 7y26 D y 考点： 二次函数的性质 分析： 由当 x=1 时， 4y 1，当 x=2 时， 1y5，将 y=c 代入得到关于 a、 c 的两个不等式组，再设 x=3时 y=9a+c=m（ a+c） +n（ 4a+c），求出 m、 n 的值，代入计算即可 解答： 解：由 x=1 时， 4y 1 得， 4a+c 1 由 x=2 时， 1y5 得， 14a+c5 x=3 时， y=9a+c=m（ a+c） +n（ 4a+c） 得 ，解得 ， 故 （ a+c） ， （ 4a+c） ， 1y20 选 A 点评： 本题考查了二次函数性质的运用，熟练解不等式组是解答本题的关键 11已知一次函数 y=ax+c 与 y=bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ） A B C D 考点： 二次函数的图象；一次函数的图象 专题： 压轴题 分析： 本题可先由一次函数 y=ax+c 的图象得到字母系数的正负，再与二次 函数 y=bx+c 的图象相比较看是否一致 解答： 解： A、 D 中，由二次函数图象可知 a 的符号，与由一次函数的图象可 知 a 的符号，两者相矛盾，排除 A、D； 一次函数 y=ax+c 与 y=bx+c 的图象都过点（ 0， c），排除 B C 正确，故选 C 点评： 解决此类问题步骤一般为：（ 1）先根据图象的特点判断 a 取值是否矛盾；（ 2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求 12下列函数 ， y=3， y=x（ x 2）， y=（ x 1） 2 ，二次函数的个数为（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 考点： 二次函数的定义 分析： 整理成一般形式后，根据二次函数的定义条件判定即可 解答： 解： y=3， y=x（ x 2）都符合二次函数定义的条件，是二次函数； ， y=（ x 1） 2 理后，都是一次函数二次函数有三个 故选 B 点评： 本题考查二次函数的定义 二填空题（共 8 小题） 13已知 是二次函数，则 a= 1 考点： 二次函数的定义 分析： 由二次函数的定义，列出方程与不等式解答即可 解答： 解：根据题意可得 2a 1=2 解得 a=3 或 1 又 a 30 a3， a= 1 点评： 此题考查二次函数的定义 14在同一直角坐标系内直线 y=x 1，双曲线 ，抛物线 y= 22x 15 这三个图象共有 5 个交点 考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比 例函数的图象 专题： 数形结合 分析： 建立网格结构平面直角坐标系，然后作出三个函数的函数图象，根据图象即可得解 解答： 解：如图所示，三个图象在第一象限有 3 个交点， 在第三象限，直线与双曲线有一个交点，抛物线与双曲线也一定有一个交点， 所以共有 5 个交点 故答案 为： 5 点评： 本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，本题易错点在于在第一象限，三个函数图象都经过点（ 2， 1），在第三象限抛物线与双曲线必有一交点 15如果函数 y=b 的图象与函数 y=3|x 1| 4x 3 的图象恰有三个交点，则 b 的可能值是 6、 考点： 二次函数的性质 专题： 计算题；压轴题 分析： 按 x1 和 x 1 分别去绝对值，得到分段函数，确定两函数图象的交点坐标，顶点坐标，结合分段函数的自变量取值范围求出符合条件的 b 的值 解答： 解：当 x1 时，函数 y=3|x 1| 4x 3=7x， 图象的一个端点为（ 1， 6），顶点坐标为（ ， ）， 当 x 1 时，函数 y=3|x 1| 4x 3=x 6， 顶点坐标为（ ， ）， 当 b= 6 或 b= 时，两图象恰有三个交点 故本题答案为： 6， 点评： 本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键 16抛物线 y=2 x+y=2 上，则 a= 2 考点： 待定系数法求二次函数解析式 专题： 压轴题 分析 ： 根据抛物线顶点的纵坐标等于 2，列出方程，求出 a 的值，注意 要有意义 解答： 解：因为抛物线的顶点坐标为（ ， ） 所以 =2 解得： ， 1 又因为 要有意义 则 a0 所以 a=2 点评： 此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如： 中 a0 17将进货单价为 50 元的某种商品按零售价每个 80 元出售，每天能卖出 20 个，若这种商品的零售价在一定范围内每降 1 元，其销售量就增加 1 个，则为了获得最大利润，应降价 5 元 考点： 二次函数的应用 专题 ： 探究型 分析： 设应降价 x 元，利润为 y 元，则每天售出的个数为 20+x，每个的利润为 80 50 x，由此列出关于 x、 y 的一元二次方程，再求出 y 最大时 x 的值即可 解答： 解：设应降价 x 元，利润为 y 元，则每天售出的个数为 20+x，每个的利润为 80 50 x， 故 y=（ 80 50 x）（ 20+x），即 y= 0x+600， 当 x= =5 元时， y 有最大值 故答案为： 5 点评： 本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于 x、 y 的函数解析式是解答此题的关键 18如图，矩形 长 O 是 中点， 半圆的直径分别为 物线的顶点是 O，关于 称且经过 C、 D 两点，则图中阴影部分的面积是 考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题 分析： 观察图形易得图中阴影部分的面积是半圆的面积，其半径为 ，根据面积公式即可解答 解答： 解：观察图形， 根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积， 其半径为 ，即半径为 1，易得其面积为 故答案为： 点评： 本题考查不规则图形的面积求法，要根据图形的对称性与相 互关系转化为规则的图形的面积，再进行求解 19二次函数 y= 2+k） x+2k 与 x 轴交于 A， B 两点，其中点 A 是个定点， A， B 分别在原点的两侧，且 B=6，则直线 y= 与 x 轴的交点坐标为 （ ， 0）或（ ， 0） 考点： 抛物线与 x 轴的交点 分析： 先根据 A， B 分别在原点的两侧，且 B=6 设出 A、 B 两点的坐标，再根据两根之和公式与两根之积公式求得 k 的值，让直线的 y 的值为 0 即可求得直线 y= 与 x 轴的交点坐标 解答： 解： A， B 分别在原点的两侧， A 点在左侧，且 B=6， 设 A（ a， 0），则 B（ 6+a， 0）， 函数 y= 2+k） x+2k 的图象与 x 轴的交点就是方程 2+k） x+2k=0 的根， a+6+a=（ 2+k）， a（ 6+a） =2k， 即 2a= k 8， 6a+k， 解得 a= 8，或 a= 2， 当 a= 2 时， k= 4， 直线 y = 为直线 y= 4x+1，与 x 轴交点坐标为（ ， 0）， 当 a= 8 时， k=8， 直线 y= 为直线 y=8x+1，与 x 轴交点为（ ， 0）（不合题意舍去） 故直线 y= 与 x 轴的交点坐标为（ ， 0） 点评： 当告诉二次函数与 x 轴的两个交点时，利用根与系数的关系求得相关未知数的值是解题关键 20若函数 y=3 9+a） x+6+2a（ x 是自变量且 x 为整数），在 x=6 或 x=7 时取得最小值，则 a 的取值范围是 24 a 36 考点： 二次函数的最值 分析： 根据 x 取整数，在 x=6 或 x=7 时取得最小值判断出对称轴的取值范围在 间，然后列出不等式组求解即可得到 a 的值 解答： 解：抛物线的对称轴为直线 x= = ， 在 x=6 或 x=7 时取得最小值， x 是整数， ， 解不等式 得， a 24， 解不等式 得， a 36， 所以，不等式组的解是 24 a 36， 即 a 的取值范围是 24 a 36 故答案为： 24 a 36 点评： 本题考查了二次函数的最值问题，根据取得最小值时的 x 的取值判断出对称轴的取值范围，列出不等式组是解题的关键 三解答题（共 6 小题） 21如图，一次函数 y= 2x+b 的图象与二次函数 y= x+c 的图象都经过原点， （ 1） b= 0 ， c= 0 ； （ 2）一般地，当直线 y=y=行时， k1=b1直线 y=kx+m 与直线 y= 2x+b 平行，与轴交于点 A，且经过直线 y= x+c 的顶点 P，则直线 y=kx+m 的表达式为 y= 2x+ ； （ 3）在满足（ 2）的条件下，求 面积 考点： 二次函数综合题 专题： 探究型 分析： （ 1）把（ 0， 0）分别代入一次函数 y= 2x+b 的图象与二次函数 y= x+c 的解析式及可求出 b、 c 的值； （ 2）先由（ 1）中 b、 c 的值得出一次函数与二次函数的解析式，再根据直线 y=kx+m 与直线 y= 2x+b 平行，且经过直线 y= x+c 的顶点 P 即可得出直线的 解析式； （ 3）根据直线 y=kx+m 的解析式求出 A 点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论 解答： 解：（ 1） 一次函数 y= 2x+b 的图象与二次函数 y= x+c 的图象都经过原点， b=0， c=0 （ 2） 由（ 1）知 b=0， c=0， 一次函数的解析式为 y= 2x，二次函数的解析式为 y= x， 顶点坐标为 P（ ， ）， 直线 y=kx+m 与直线 y= 2x+b 平行， k= 2， 经过直线 y= x+c 的顶点 P， =（ 2） +m， 解得 m= ， y= 2x+ ； （ 3） 直线的解析式为 y= 2x+ ， A（ 0， ）， P（ ， ）， S = 故答案为： 0， 0 点评： 本题考查的是二次函数综合题，熟知用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式是解答此题的关键 22已知一个二次函数的图象经过 A（ 4， 3）， B（ 2， 1）和 C（ 1， 8）三点 （ 1）求这个二次函数的解析式以及它的图象与 x 轴的交点 M， N（ M 在 N 的左边）的坐标 （ 2）若以线段 直径作 G，过坐标原点 O 作 G 的切线 点为 D，求 长 （ 3）求直线 解析式 （ 4）在直线 是否存在点 P，使得 直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标（只需写出结果，不必写出解答过程）；如果不存在，请说明理由 考点： 二次函数综合题 专题： 计算题；代数几何综合题；压轴题；数形结合；分类讨论 分析： （ 1）已知函数图象上三个不同点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；再令函数值为 0，就能求出点 M、 N 的坐标（注意它们的位置） （ 2）在（ 1）题中，已经求得了 M、 N 的坐标，则线段 长可知，直接利用切割线定理即可求出 长 （ 3）利用待定系数法求 直线 解析式，必须先求出点 D 的坐标；连接圆心和切点，过点 D 作 x 轴的垂线 足为 E），首先由半径长和 长求出 度数，然后在 ，通过解直角三角形求出 点 D 的坐标可知，由此得解（需要注意的是：点 D 可能在 可能在 x 轴下方，所以直线 解析式应该有两个） （ 4）在（ 3）中，已经知道共有两条直线 以要分两种大的情况讨论，它们的解答方法是一致的，以点 P 在x 轴上方为例进行说明： 当点 M 是直角顶点时， 在直线与 x 轴垂直，即 M、 P 的横坐标相同，直接将点 M 的横坐标代入直线 的坐标； 当点 P 是直角顶点时，由圆周角定理知：（ 2）题的切点 D 正好符合点 P 的条件； 当点 N 是直角顶点时，方法同 解答： 解：（ 1）设所求的二次函数的解析式为 y=bx+c， 抛物线经过 A（ 4， 3）， B（ 2， 1）和 C（ 1，8）三点， 解之，得 抛物线为 y= x 3， 令 y=0，得 x 3=0，解得 ， 抛物线与 x 轴的交点坐标为 M（ 1， 0）， N（ 3， 0） （ 2）过原点 O 作 G 的切线，切点为 D易知 ， 由切割线定理，得 M3 ，即所求的切线 为 （ 3）如右图，连接 0， ， 0 过 D 作 足为 E，则 D ， D 点 D 的坐标为 D（ ， ）或（ ， ）从而直线 解析式为 y= x （ 4） 、当点 P 在 x 轴上方时； 点 M 是直角顶点，此时 x 轴，即 M、 横坐标相同； 当 x=1 时， y= x= ； 即 1， ）； 当点 P 是直角顶点时，由（ 2）知， D 重合，即 ， ）； 当点 N 是直角顶点，同 可求得 3， ） 、当点 P 在 x 轴下方时，同 可知： 1， ）， ， ）， 3， ） 综上，在直线 存在点 P，使 直角三角形所求 P 点的坐标为（ 1， ），或（ 3， ），或（ ， ） 点评： 此题是几何与代数知识的综合运用，在考查常规知识的同时，结合圆的对称性等渗透了分类讨论思想解答（ 3）（ 4）问时，解题者常拘泥于习惯性思维，只考虑到在 x 轴上方的切线 以 P 为直角顶 点的 些常见情形，从而导致丢解作为压轴题，本题（ 4）问显示出了层次性，由易到难，逐步深入，体现了命题者的匠心 23如图，抛物线 y=3 交 y 轴于点 C，直线 l 为抛物线的对称轴，点 P 在第三象限且为抛物线的顶点 P到 x 轴的距离为 ，到 y 轴的距离为 1点 C 关于直线 l 的对称点为 A，连接 直线 l 于 B （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）直线 y= x+m 与抛物线在第一象限内交于点 D，与 y 轴交于点 F，连接 y 轴于点 E，且 ： 1求直线 y= x+m 的表达式； （ 3）若 N 为平面直 角坐标系内的点，在直线 y= x+m 上是否存在点 M，使得以点 O、 F、 M、 N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 考点： 二次函数综合题 专题： 计算题；压轴题；分类讨论 分析： （ 1）已知点 P 到坐标轴的距离以及点 P 所在的象限，先确定点 P 的坐标；而点 A、 C 关于抛物线对称轴对称，先求出点 A 的坐标，再由点 A、 P、 C 以及待定系数法确定二次函数的解析式 （ 2）过点 D 作 y 轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点 D 的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点 D 的坐标；再由待定系数法求 直线 解析式 （ 3）由（ 2）的结论可先求出点 F 的坐标，先设出点 M 的坐标，则 表达式可求，若以 O、 F、 M、N 为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况： 以 对角线，那么点 M 必 为线段 中垂线与直线 交点，此时点 M 的纵坐标为点 F 纵坐标的一半，代入直线 解析式后可得点 M 的坐标； 以 边，那么 由 M 或 F 列出等式可求出点 M 的坐标 解答： 解：（ 1） 抛物线 y=3 交 y 轴于点 C C（ 0， 3）则 ； P 到 x 轴的距离为 ， P 到 y 轴的距离 是 1，且在第三象限， P（ 1， ）； C 关于直线 l 的对称点为 A A（ 2， 3）； 将点 A（ 2， 3）， P（ 1， ）代入抛物线 y=3 中，有： ，解得 抛物线的表达式为 y= x 3 （ 2）过点 D 做 y 轴于 G，则 0 ： 1， ： 1； 已知 ，则 ，点 D 的横坐标为 4； 将 x=4 代入 y= x 3 中，得 y=5，则 D（ 4， 5） 直线 y= x+m 过点 D（ 4， 5） 5= 4+m，则 m=2； 所求直线的表达式 y= x+2 （ 3）由（ 2）的直线解析式知： F（ 0， 2）， ； 设点 M（ x， x+2），则： x+4、 （ ）当 菱形的对角线时，点 M 在线段 中垂线上，则点 M 的纵坐标为 1； x+2=1， x= ；即点 M 的坐标（ ， 1） （ ）当 菱形的边时，有： F=2，则： ， 、 代入 y= x+2 中，得： 、 ； 即点 M 的坐标（ ， ）或（ ， ）； F=2，则： x+4=4， （舍）、 代入 y= x+2