华师大九年级下第26章《二次函数》章末测试(三)含答案解析

第二十六章二次函数章末测试（三） 总分 120 分 120 分钟 农安县合隆中学 徐亚惠 一选择题（共 8 小题 ，每题 3 分 ） 1如图，抛物线 y=bx+c（ a0）过点（ 1， 0）和点（ 0， 2），且顶点在第三象限，设 P=a b+c，则 P 的取值范围是（ ） A 4 P 0 B 4 P 2 C 2 P 0 D 1 P 0 2若一次函数 y=ax+b（ a0） 的图象与 x 轴的交点坐标为（ 2， 0），则抛物线 y=对称轴为（ ） A 直线 x=1 B 直线 x= 2 C 直线 x= 1 D 直线 x= 4 3二次函数 y=4x+5 的最小值是（ ） A 1 B 1 C 3 D 5 4已知二次函数 y=bx+c（ a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A a 0 B 3 是方程 bx+c=0 的一个根 C a+b+c=0 D 当 x 1 时， y 随 x 的增大 而减小 5二次函数 y=bx+c（ a0）的 图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A a 0 B 40 C 当 1 x 3 时， y 0 D 6若正比例函数 y=m0）， y 随 x 的增大而减小，则它和二次函数 y=m 的图象大致是（ ） A B C D 7将抛物线 y=3 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线为（ ） A y=3（ x 2） 2 1 B y=3（ x 2） 2+1 C y=3（ x+2） 2 1 D y=3（ x+2） 2+1 8如图是二次函数 y=bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x= 1，且过点（ 3， 0）下列说法： 0； 2a b=0； 4a+2b+c 0； 若（ 5， （ ， 抛物线上两点，则 中说法正确的是（ ） A B C D 二填空题（共 8 小题 ，每题 3 分 ） 9在平面直角坐标系中，把抛物线 y= 向上平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，则所得抛物线的解析式是 _ 10已知 y=（ a+1） x2+二次函数，那么 a 的取值范围是 _ 11把抛物线 y=x+5 改写成 y=（ x+h） 2+k 的形式为 _ ，其顶点坐标为 _ 12二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，给出下列结论： 2a+b 0； b a c； 若 1 m n 1，则 m+n ； 3|a|+|c| 2|b| 其中正确的结论是 _ （写出你认为正确的所有结论序号） 13如图，抛物线的顶点为 P（ 2， 2），与 y 轴交于点 A（ 0， 3）若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P（ 2， 2），点 A 的 对应点为 A，则抛物线上 扫过的区域（阴影部分）的面积为 _ 14已知二次函数的 y=bx+c（ a0）图象如图所示，有下列 5 个结论： 0； b a+c； 4a+2b+c 0；2c 3b； a+b m（ am+b）（ m1 的实数），其中正确结论的番号有 _ 三解答题（共 10 小题） 15（ 6 分） 已知 是 x 的二次函数，求出它的解析式 16 （ 6 分） 如果函数 y=（ m 3） + 是二次函数，求 m 的值 17 （ 6 分） 已知二次函数 y= （ 1）用配方法求出该函数图象的顶点坐标和对称轴； （ 2）在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象 18 （ 8 分） 已知 （ 1）把它配方成 y=a（ x h） 2+k 形式，写出它的开口方向、顶点 M 的坐标； （ 2）作出函数图象；（填表描出五个关键点） （ 3）结合图象回答：当 x 取何值， y 0， y=0， y 0 19 （ 8 分） 已知二次函数 y=x2+bx+c 中函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示，点 A（ B（ x2，函数图象上，当 0 1， 2 3 时，则 _ “ ”或 “ ”） x 0 1 2 3 y 1 2 3 2 20如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1， 0）和 B（ 3， 0）两点，交 y 轴于点 E （ 1）求此抛物线的解析式 （ 2）若直线 y=x+1 与抛物线交于 A、 D 两点，与 y 轴交于点 F，连接 面积 20（ 8 分） 如图，二次函数 y=4x+c 的图象经过坐标原点，与 x 轴交于点 A（ 4， 0） （ 1）求二次函数的解析式； （ 2）在抛物线上存在点 P，满足 S ，请直接写出点 P 的坐标 21 （ 8 分） 在矩形 ， ， ， P 是 的任意一点（ P 与 B、 C 不重合），过点 P 作 足为 P， 点 E （ 1）连接 等时，求 长； （ 2）若设 x， y，试确定 y 与 x 的函数关系式当 x 取何值时， y 的值最大？最大值是多少？ （ 3）若 求出此时 长 22 （ 8 分） 如图，在 ， C=90， 0： 3，点 P 从点 A 出发沿 向向点 B 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发 沿 BCA 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动 （ 1）求 长； （ 2）设点 P 的运动时间为 x（秒）， 面积为 y（ 当 在时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 3）当点 Q 在 运动，使 ，以点 B、 P、 Q 为定点的三角形与 否相似，请说明理由； （ 4）当 x=5 秒时 ，在直线 是否存在一点 M，使 周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由 23 （ 10 分） 如 图，抛物线 y=x2+bx+c 过点 A（ 4， 3），与 y 轴交于点 B，对称轴是 x= 3，请解答下列问题： （ 1）求抛物线的解析式 （ 2）若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C， D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 ，求 面积 注：抛物线 y=bx+c（ a0）的对称轴是 x= 24 （ 10 分） 如图 ，已知抛物线 y=bx+c 经过点 A（ 0， 3）， B（ 3， 0）， C（ 4， 3） （ 1）求抛物线的函数表达式； （ 2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （ 3）把抛物线向上平移，使得顶点落在 x 轴上 ，直接写出两条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积 S（图 中阴影部分） 第二十六章二次函数章末测试（三） 参考答案与试题解析 一选择题（共 8 小题） 1如图，抛物线 y=bx+c（ a0）过点（ 1， 0）和点（ 0， 2），且顶点在第三象限，设 P=a b+c，则 P 的取值范围是（ ） A 4 P 0 B 4 P 2 C 2 P 0 D 1 P 0 考点： 二次函数图象与系数的关系 专题： 压轴题 分析： 求出 a 0， b 0，把 x=1 代入求出 a=2 b， b=2 a，把 x= 1 代入得出 y=a b+c=2a 4，求出 2a 4 的范围即可 解答： 解： 二次函数的图象开口向上， a 0， 对称轴在 y 轴的左边， 0， b 0， 图象与 y 轴的交点坐标是（ 0， 2），过（ 1， 0）点， 代入得： a+b 2=0， a=2 b， b=2 a， y= 2 a） x 2， 把 x= 1 代入得： y=a（ 2 a） 2=2a 4， b 0， b=2 a 0， a 2， a 0， 0 a 2， 0 2a 4， 4 2a 4 0， 即 4 P 0， 故选 A 点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=bx+c（ a0）的图象为抛物线，当 a 0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x= ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（ 0， c） 2若一次函数 y=ax+b（ a0）的图象与 x 轴的交点坐标为（ 2， 0），则抛物线 y=对称轴为（ ） A 直线 x=1 B 直线 x= 2 C 直线 x= 1 D 直线 x= 4 考点： 二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征 分析： 先将（ 2， 0）代入一次函数解析式 y=ax+b，得到 2a+b=0，即 b=2a，再根据抛物线 y=对称轴为直线 x= 即可求解 解答： 解： 一次函数 y= ax+b（ a0）的图象与 x 轴的交点坐标为（ 2， 0）， 2a+b=0，即 b=2a， 抛物线 y=对称轴为直线 x= = 1 故选 C 点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中用到的知识点： 点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式； 二次函数 y=bx+c 的对称轴为直线 x= 3二 次函数 y=4x+5 的最小值 是（ ） A 1 B 1 C 3 D 5 考点： 二次函数的最值 分析： 先利用配方法将二次函数的一般式 y=4x+5 变形为顶点式，再根据二次函数的性质即可求出其最小值 解答： 解：配方得： y=4x+5=4x+22+1=（ x 2） 2+1， 当 x=2 时，二次函数 y=4x+5 取得最小值为 1 故选 B 点评： 本题考查了二次函数最值的求法，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法 4已知二次函数 y=bx+c（ a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A a 0 B 3 是方程 bx+c=0 的一个根 C a+b+c=0 D 当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小 考点： 二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质 专题： 压轴题 分析： 根据抛物线的开口方向可得 a 0，根据抛物线对称轴可得方程 bx+c=0 的根为 x= 1， x=3；根据图象可得 x=1 时， y 0；根据抛物线可直接得到 x 1 时， y 随 x 的增大而增大 解答： 解： A、因为抛物线开口向下，因此 a 0，故此选项错误； B、根据对 称轴为 x=1，一个交点坐标为（ 1， 0）可得另一个与 x 轴的交点坐标为（ 3， 0）因此 3 是方程 bx+c=0的一个根，故此选项正确； C、把 x=1 代入二次函数 y=bx+c（ a0）中得： y=a+b+c，由图象可得， y 0，故此选项错误； D、当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大，故此选项错误； 故选： B 点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口； 可以决定 开口大小， 大开口就越小 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时（即 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异） 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（ 0， c） 抛物线与 x 轴交点个数 =40 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； =4 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =40 时，抛物线与 x 轴没有交点 5二次函数 y=bx+c（ a0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A a 0 B 40 C 当 1 x 3 时， y 0 D 考点： 二次函数图象与系数的关系 专题： 压轴题；存在型 分析： 根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可 解答： 解： A、 抛物线的开口向上， a 0，故本选项错误； B、 抛物线与 x 轴有两个不同的交点， =40，故本选项错误； C、由函数图象可知，当 1 x 3 时， y 0，故本选项错误； D、 抛物线与 x 轴的两个交点分别是（ 1， 0），（ 3， 0）， 对称轴 x= = =1，故 本选项正确 故选 D 点评： 本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键 6若正比例函数 y=m0）， y 随 x 的增大而减小，则它和二次函数 y=m 的图象大致是（ ） A B C D 考点： 二次函数的图象；正比例函数的图象 专题： 压轴题 分析： 根据正比例函数图 象的性质确定 m 0，则二次函数 y=m 的图象开口方向向下，且与 y 轴交于负半轴 解答： 解： 正比例函数 y=m0）， y 随 x 的增大而减小， 该正比例 函数图象经过第二、四象限，且 m 0 二次函数 y=m 的图象开口方向向下，且与 y 轴交于负半轴 综上所述，符合题意的只有 A 选项 故选 A 点评： 本题考查了二次函数图象、正比例函数图象利用正比例函数的性质，推知 m 0 是解题的突破口 7将抛物线 y=3 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线为（ ） A y=3（ x 2） 2 1 B y=3（ x 2） 2+1 C y=3（ x+2） 2 1 D y=3（ x+2） 2+1 考点： 二次函数图象与几何变换 专题： 压轴题 分析： 先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可 解答： 解：抛物线 y=3左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位后的抛物线顶点坐标为（ 2， 1）， 所得抛物线为 y=3（ x+2） 2 1 故选 C 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键 8如图是二次函数 y=bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x= 1，且过点（ 3， 0）下列说法： 0； 2a b=0； 4a+2b+c 0； 若（ 5， （ ， 抛物线上两点，则 中说法正确的是（ ） A B C D 考点： 二次函数图象与系数的关系 专题： 压轴题 分析： 根据图象得出 a 0， b=2a 0， c 0，即可判断 ；把 x=2 代入抛物线的解析式即可判断 ，求出点（5， 于对称轴的对称点的坐标是（ 3， 根据当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大即可判断 解答： 解： 二次函数的图象的开口向上， a 0， 二次函数的图象 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上， c 0， 二次函数图象的对称轴是直线 x= 1， = 1， b=2a 0， 0， 正确； 2a b=2a 2a=0， 正确； 二次函数 y=bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x= 1，且过点（ 3， 0） 与 x 轴的另一个交点的坐标是（ 1， 0）， 把 x=2 代入 y=bx+c 得： y=4a+2b+c 0， 错误； 二次函数 y=bx+c 图象的对称轴为 x= 1， 点 （ 5， 于对称轴的对称点的坐标是（ 3， y 1）， 根据当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大， 3， 正确； 故选 C 点 评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力 二填空题（共 8 小题） 9在平面直角坐标系中，把抛物线 y= 向上平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，则所得抛物线的解析式是 y= （ x+1） 2+4 考点： 二次函数图象与几何变换 分析： 先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出抛物线解析式即可 解答： 解： 抛物线 y= 的顶点坐标为（ 0， 1）， 向上平移 3 个 单位，再向左平移 1 个单位后的抛物线的顶点坐标为（ 1， 4）， 所得抛物线的解析式为 y= （ x+1） 2+4 故答案为 y= （ x+1） 2+4 点评： 本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律 “左加右减，上加下减 ” 10已知 y=（ a+1） x2+二次函数，那么 a 的取值范围是 a 1 考点： 二次函数的定义 分析： 根据二次函数的定义条件列出不等式求解即可 解答： 解：根据二次函数的定义可得 a+10， 即 a 1 故 a 的取值范围是 a 1 点评： 本题考查二次函数的定义 11把抛物线 y=x+5 改写成 y=（ x+h） 2+k 的形式为 顶点式 ，其顶点坐标为 （ h， k） 考点： 二次函数的三种形式 专题： 数形结合 分析： 从抛物线的一般式到顶点式 ，则顶点为相应为括号内常数项的相反数为横坐标，最后的常数项即为坐标的纵坐标 解答： 解：由题意知顶点式体现顶点坐标， 所以填：顶点式， 由题意知：坐标为（ h， k） 故答案为顶点式，（ h， k） 点评： 本题考查了二次函数的顶点式，从抛物线的一般式开始 ，则顶点式即为括号内横坐标的相反数，纵坐标即为函数的常数项 12二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，给出下列结论： 2a+b 0； b a c； 若 1 m n 1，则 m+n ； 3|a|+|c| 2|b| 其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号） 考点： 二次函数图象与系数的关系 专题： 压轴题 分析： 分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与 y 轴交点得出 a， b， c 的符号，再利用特殊值法分析得出各选项 解答： 解： 抛物线开口向下， a 0， 2a 0， 对称轴 x= 1， b 2a， 2a+b 0，故选项 正确 ； b 2a， b 2a 0 a， 令抛物线解析式为 y= x2+， 此时 a=c，欲使抛物线与 x 轴交点的横坐标分别为 和 2， 则 = ， 解得： b= ， 抛物线 y= x ，符合 “开口向下，与 x 轴的一个交点的横坐标在 0与 1 之间， 对称轴在直线 x=1 右侧 ”的特点，而此时 a=c，（其实 a c， a c， a=c 都有可能）， 故 选项错误； 1 m n 1， 2 m+n 2， 抛物线对称轴为： x= 1， 2， m+n ，故选项 正确； 当 x=1 时， a+b+c 0， 2a+b 0， 3a+2b+c 0， 3a+c 2b， 3a c 2b， a 0， b 0， c 0， 3|a|+|c|= 3a c 2b=2|b|，故 选项正确 故答案为： 点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出 m+n 的取值范围是解题关键 13如图，抛物线的顶点为 P（ 2， 2），与 y 轴交于点 A（ 0， 3）若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P（ 2， 2），点 A 的对应点为 A，则抛物线上 扫过的区 域（阴影部分）的面积为 12 考点： 二次函数图象与几何变换 专题： 压轴题 分析： 根据平移的性质得出四边形 是平行四边形，进而得出 长，求出面积即可 解答： 解：连接 AP，过点 A 作 点 D， 由题意可得出： AP， P， 四边形 是平行四边形， 抛物线的顶点为 P（ 2， 2），与 y 轴交于点 A（ 0， 3），平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P（ 2， 2）， =2 ， 5， 2 2=4 ， O= 3= ， 抛物线上 扫过的区域（阴影部分）的面积为： 4 =12 故答案为： 12 点评： 此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出 P是解题关键 14已知二次函数的 y=bx+c（ a0）图象如图所示，有下列 5 个结论： 0； b a+c； 4a+2b+c 0；2c 3b； a+b m（ am+b）（ m1 的实数），其中正确结论的番号有 考点： 二次函数图象与系数的关系 专 题： 压轴题 分析： 由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 而对所得结论进行判断 解答： 解： 由图象可知： a 0， b 0， c 0， 0，故此选项正确； 当 x= 1 时， y=a b+c 0，即 b a+c，错误； 由对称知，当 x=2 时，函数值大于 0，即 y=4a+2b+c 0，故此选项正确； 当 x=3 时函数值小于 0， y=9a+3b+c 0，且 x= =1， 即 a= ，代入得 9（ ） +3b+c 0，得 2c 3b，故此选项 正确； 当 x=1 时， y 的值最大此时， y=a+b+c， 而当 x=m 时， y=bm+c， 所以 a+b+c bm+c， 故 a+b a+b m（ am+b），故此选项错误 故 正确 故答案为： 点评： 此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 y=bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定 三解答题（共 11 小题） 15已知 是 x 的二次函数，求出它的解析式 考点： 二次函数的定义 分析： 根据二 次函数的定义列出不等式求解即可 解答： 解：根据二次函数的定义可得： 2m 1=2，且 m0， 解得， m=3 或 m= 1； 当 m=3 时， y=6； 当 m= 1 时， y=24x+1； 综上所述，该二次函数的解析式为： y=6 或 y=24x+1 点评： 本题考查二次函数的定义一般地，形如 y=bx+c（ a、 b、 c 是常数， a0）的函数，叫做二次函数其中 x、 y 是变量， a、 b、 c 是常量， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项 y=bx+c（ a、 b、 c 是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式 16如果函数 y=（ m 3） + 是二次函数，求 m 的值 考点： 二次函数的定义 专题： 计算题 分析： 根据二次函数的定义：一般地，形如 y=bx+c（ a、 b、 c 是常数， a0）的函数，即可答题 解答： 解：根据二次函数的定义： 3m+2=2，且 m 30， 解得： m=0 点评： 本题考查了二次函数的定义，属于基础题，比较简单，关键是对二次函数定义的掌握 17已知二次函数 y= （ 1）用配方法求出该函数图象的顶点坐标和对称轴； （ 2）在平 面直角坐标系中画出该函数的大致图象 考点： 二次函数的图象；二次函数的三种形式 分析： （ 1）利用配方法求出二次函数的对称轴和顶点坐标即可； （ 2）把握抛物线与 x 轴， y 轴的交点，顶点坐标，开口方向等画出图象即可 解答： 解：（ 1） y= = （ 6x） = （ 6x+9 9） = （ x 3） 2+2， 故顶点坐标为（ 3， 2）和对称轴为直线 x=3； （ 2）当 y=0，则 0= （ x 3） 2+2，解得： x=1 或 x=5，则图象与 x 轴的交点坐标为：（ 1， 0），（ 5， 0）， 当 x=0，则 y= ，则图象与 y 轴的交点坐标为：（ 0， ），如图所示： 点评： 此题主要考查了配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标，此题是二次函数的基本性质也是考查重点，同学们应熟练掌握 18已知 （ 1）把它配方成 y=a（ x h） 2+k 形式，写出它的开口方向、顶点 M 的坐标； （ 2）作出函数图象；（填表描出五个关键点） （ 3）结合图象回答：当 x 取何值， y 0， y=0， y 0 考点： 二次函数的三种形式；二次函数的图象 分析： （ 1）根据配方法求出二次函 数的对称轴、顶点坐标即可； （ 2）由坐 标轴上点的坐标特点求出函数图象与坐标轴的交点以及（ 1）中抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标描出各点，画出函数图象； （ 3）根据（ 2）中函数图象直接得出结论 解答： 解：（ 1） y= x+6= （ 4x） +6= （ x 2） 2+8， 对称轴是直线 x=2， 抛物线的顶点坐标 M 为（ 2， 8）； （ 2）令 x=0，则 y=6； 令 y=0，则 x 3=0， 抛物线与坐标轴的交点是（ 0， 6），（ 2， 0），（ 6， 0）； 函数图象如图所示； （ 3）由函数图象可知，当 2 x 6 时， y 0；当 x= 2 或 6 时， y=0， 当 2 x 或 x 6 时， y 0 点评： 本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数与不等式，在解答此题时要注意利用数形结合求不等式的解集 19已知二次函数 y=x2+bx+c 中函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示，点 A（ B（ 函数图象上，当 0 1， 2 3 时，则 “ ”或 “ ”） x 0 1 2 3 y 1 2 3 2 考点： 二次函数图象上点的坐标特征 分析： 由二次函数图象的对称性 知，图表可以体现出二次函数 y=bx+c 的对称轴和开口方向，然后由二次函数的单调性解答 解答： 解：根据图表知， 当 x=1 和 x=3 时，所对应的 y 值都是 2， 抛物线的对称轴是直线 x=2， 又 当 x 2 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2 时， y 随 x 的增大而减小， 该二次函数的图象的开口方向是向上； 0 1， 2 3， 0 1 关于对称轴的对称点在 3 和 4 之间， 当 x 2 时， y 随 x 的增大而增大， 故答案是： 点评： 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次 函数的性质等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键 15如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1， 0）和 B（ 3， 0）两点，交 y 轴于点 E （ 1）求此抛物线的解析式 （ 2）若直线 y=x+1 与抛物线交于 A、 D 两点，与 y 轴交于点 F，连接 面积 考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 分析： （ 1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （ 2）首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出 E， F 点坐标，即可得出 面积 解答 ： 解：（ 1） 抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1， 0）和 B（ 3， 0）两点， ， 解得： ， 故抛物线解析式为 ： y=2x 3； （ 2）根据题意得： ， 解得： ， ， D（ 4， 5）， 对于直线 y=x+1，当 x=0 时， y=1， F（ 0， 1）， 对于 y=2x 3，当 x=0 时， y= 3， E（ 0， 3）， ， 过点 D 作 y 轴于点 M S M=8 点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，利用数形结合得出 D， E， F 点坐标是解题关键 20如图，二次函数 y=4x+c 的图象经过坐标原点，与 x 轴交于点 A（ 4， 0） （ 1）求二次函数的解析式； （ 2）在抛物线上存在点 P，满足 S ，请直接写出点 P 的坐标 考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征 分析： （ 1）把点 A 原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （ 2）根据三角形的面积公式求出点 P 到 距离，然后分点 P 在 x 轴的上方与下方两种情况解答即可 解答： 解：（ 1）由已知条件得 ， 解得 ， 所 以，此二次函数的解析式为 y= 4x； （ 2） 点 A 的坐标为（ 4， 0）， ， 设点 P 到 x 轴的距离为 h， 则 S 4h=8， 解得 h=4， 当点 P 在 x 轴上方时， 4x=4， 解得 x= 2， 所以，点 P 的坐标为（ 2， 4）， 当点 P 在 x 轴下方时， 4x= 4， 解得 2+2 ， 2 2 ， 所以，点 P 的坐标为（ 2+2 ， 4）或（ 2 2 ， 4）， 综上所述，点 P 的坐标是：（ 2， 4）、（ 2+2 ， 4）、（ 2 2 ， 4） 点评： 本题考查了 待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（ 2）要注意分点 P 在 x 轴的上 方与下方两种情况讨论求解 21在矩形 ， ， ， P 是 的任意一点（ P 与 B、 C 不重合），过点 P 作 足为 P， 点 E （ 1）连接 等时，求 长； （ 2）若设 x， y，试确定 y 与 x 的函数关系式当 x 取何值时， y 的值最大？最大值是多少？ （ 3）若 求出此时 长 考点： 相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二 次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质 专题： 代数几何综合题；压轴题 分析： （ 1）根据全等三角形的对应边相等知 D=3；然后在 利用勾股定理可以求得 长度； （ 2）根据相似三角形 对应边成比例列出关于 x、 y 的方程，通过二次函数的最值的求法来求y 的最大值； （ 3）如图，连接 用（ 2）中的函数关系式设 BP=x，则 ，然后根据相似三角形 x 的一元二次方程，通过解该方程即可求得此时 长度 解答： 解：（ 1） 知）， （已知）， D=3（全等三角形的对应边相等 ）； 在 ， = = （勾股定理）； （ 2） 知）， 0， 又 B= C=90， 即 （相似三角形的对应边成比例）， = 当 x= 时， y 有最大值，最大值是 ； （ 3）如图，连接 BP=x， （ 相似三角形的对应边成比例）， 即 化简得， 313x+12=0 解得， ， （不合题意，舍去）， 当 时， 点评： 本题综合考查了矩形的性质、勾股定理、二次函数的最值等知识点本题中求二次函数的最值时，采用了配方法 22如图，在 ， C=90， 0： 3，点 P 从点 A 出发沿 向向点 B 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发沿 BCA 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动 （ 1）求 长； （ 2）设点 P 的运动时间为 x（秒）， 面积为 y（ 当 在时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 3）当点 Q 在 C A 上运动，使 ，以点 B、 P、 Q 为定点的三角形与 否相似，请说明理由； （ 4）当 x=5 秒时，在直线 是否存在一点 M，使 周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由 考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理 专题： 压轴题；动点型 分析： （ 1）由在 ， C=90， 0： 3，设 y， y，由勾股定理即可求得长； （ 2）分别从当点 Q 在边 运动时，过点 Q 作 H 与当点 Q 在边 运动时，过点 Q 作 去分析，首先过点 Q 作 垂线，利用相似三角形的性质即可求得 底与高，则可求得 y 与 x 的函数关系式； （ 3）由 得 相似三角形的对应边成比例，求得 边的长，根据相似三角形的判定，即可得以点 B、 P、 Q 为定点的三角形与 相似； （ 4）由 x=5 秒 ，求得 长，可得 中位线，即可得 垂直平分线，可得当 重合时 周长最小，则可求得最小周长的值 解答： 解：（ 1）设 在 ， 即：（ 4y） 2+（ 3y） 2=102， 解得： y=2， （ 2） 当点 Q 在边 运动时，过点 Q 作 H， AP= 10 x） ， y= H= （ 10 x） x= x（ 0 x3）， 当点 Q 在边 运动时，过点 Q 作 H， AP= 10 x） 14 2x） ， 即： = ， 解得： （ 14 2x） y= H= （ 10 x） （ 14 2x） = x+42（ 3 x 7）； y 与 x 的函数关系式为： y= ； （ 3） AP= 14 2x） = ， 即： = ， 解得： x= ， ， 0 x= = = ， 当点 Q 在 运动，使 ，以点 B、 P、 Q 为定点的三角形与 相似； （ 4）存在 理由： 4 2x=14 10=4