2016年人教版九年级数学上《第21章一元二次方程》单元测试(三)含答案解析

第 1页（共 18页） 第 21章 一元二次方程 一、单项选择题：（本大题共 10个小题，每小题 3分，共 30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上） 1用配方法解一元二次方程 6x 4=0，下列变形正确的是（ ） A（ x 6） 2= 4+36 B（ x 6） 2=4+36 C（ x 3） 2= 4+9 D（ x 3） 2=4+9 2若一元二次方程 x+a=0 的有实数解，则 ） A a 1 B a 4 C a 1 D a 1 3将一块正方形铁皮的四角各剪去一 个边长为 3成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为 300原铁皮的边长为（ ） A 10 13 14 16若关于 2k 1） x+1=0有实数根，则 ） A k B k C k D k 5已知关于 x2+mx+n=0的两个实数根分别为 2， ，则 m+ ） A 10 B 10 C 6 D 2 6如图，某小区有一块长为 18米，宽为 6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 60米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道若设人行道的宽度为 可以列出关于 ） A x 8=0 B 9x 8=0 C 9x+8=0 D 29x+8=0 7下列方程有两个相等的实数根的是（ ） A x2+x+1=0 B 4x+1=0 C 2x+36=0 D x2+x 2=0 8我省 2013年的快递业务量为 益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展， 2014年增速位居全国第一若 2015年的快递业务量达到 2014 年与 2013年这两年的平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ） A 1+x） = 1+2x） = 1+x） 2= 1+x） +1+x） 2=第 2页（共 18页） 9已知 2是关于 2m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 三角形 ） A 10 B 14 C 10或 14 D 8或 10 10用 10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6平方米若设它的一条边长为 根据题意可列出关于 ） A x（ 5+x） =6 B x（ 5 x） =6 C x（ 10 x） =6 D x（ 10 2x） =6 二、填空题：（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30分把答 案写在题中的横线上 11设 2x 3=0的两根，则 12若 x=1是一元二次方程 x+m=0的一个根，则 13若实数 a、 4a+4b）（ 4a+4b 2） 8=0，则 a+b= 14将 x+3配方成（ x+m） 2+ m= 15若 x2+x+m=（ x 3）（ x+n）对 n= 16若关于 3x+m=0有两个相等的实数根，则 m= 17一个容器盛满纯药液 40L，第一次 倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液 10L，则每次倒出的液体是 L 18一元二次方程（ a+1） ax+1=0的一个根为 0，则 a= 19关于 4x =0有实数根，则 20已知若分式 的值为 0，则 三、解答题 21某地区 2013年投入教育经费 2500万元， 2015年投入教育经费 3025万 元 （ 1）求 2013年至 2015年该地区投入教育经费的年平均增长率； （ 2）根据（ 1）所得的年平均增长率，预计 2016年该地区将投入教育经费多少万元 22已知关于 x+a 2=0 （ 1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 （ 2）当该方程的一个根为 1 时，求 23白溪镇 2012年有绿地面积 镇近几年不断增加绿地面积， 2014年达到 （ 1）求该镇 2012至 2014年绿地面积的年平均增长率； 第 3页（共 18页） （ 2）若年增长率保持不变， 2015年该镇绿地面积能否达到 100公顷？ 24为落实国务院房地产调控政策，使 “ 居者有其屋 ” ，某市加快了廉租房的建设力度 2013年市政府共投资 3亿元人民币建设了廉租房 12万平方米， 2015年投资 在这两年内每年投资的增长率相同 （ 1）求每年市政府投资的增长率； （ 2）若这两年内的建设成本不变，问 2015年建设了多少万平方米廉租房？ 25某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长 69 米的不锈钢栅栏围成，与 墙平行的一边留一个宽为 3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境： 请根据上面的信息，解决问题： （ 1）设 AB=x 0），试用含 （ 2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 26先化简，再求值：（ + ） ，其中 4a 1=0 27已知关于 m+2） x+2=0 （ 1）证明：不论 程总有实数根； （ 2） 程有两个不相等的正整数根 28某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300件市场调查反映：每降价 1元，每星期可多卖出 20件已知商品的进价为每件 40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 6080 元的利润，应将销售单价定位多少元？ 29已知关于 x2+x+2m=0有一个实数根为 1，求 第 4页（共 18页） 第 21章 一元二次 方程 参考答案与试题解析 一、单项选择题：（本大题共 10个小题，每小题 3分，共 30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上） 1用配方法解一元二次方程 6x 4=0，下列变形正确的是（ ） A（ x 6） 2= 4+36 B（ x 6） 2=4+36 C（ x 3） 2= 4+9 D（ x 3） 2=4+9 【考点】解一元二次方程 【分析】根据配方法，可得方程的解 【解答】解： 6x 4=0， 移项，得 6x=4， 配方，得（ x 3） 2=4+9 故选： D 【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为 1，配方，开方 2若一元二次方程 x+a=0 的有实数解，则 ） A a 1 B a 4 C a 1 D a 1 【考点】根的判别式 【分析】若一元二次方程 x+a=0的有实数解，则根的判别式 0，据此可以列出关于 过解不等式即可求得 【解答】解：因为关于 所以 =4 4a 0， 解之得 a 1 故选 C 【点评 】本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0， a， b， 的判别式当 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 第 5页（共 18页） 3将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为 300原铁皮的边长为（ ） A 10 13 14 16考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】设正方形铁皮的边长应是 做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（ x 3 2）厘米，高为 3厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可 【解答】解：正方形铁皮的边长应是 没有盖的长方体盒子的长、宽为（ x 3 2）厘米，高为 3厘米，根据题意列方程得， （ x 3 2）（ x 3 2） 3=300， 解得 6， 4（不合题意，舍去）； 答：正方形铁皮的边长应是 16厘米 故选： D 【点评】此题主要考查长方体的体积计算公式：长方体的体积 =长 宽 高，以及平面图形折成立体图形后各部分之间的关系 4若关于 2k 1） x+1=0有实数 根，则 ） A k B k C k D k 【考点】根的判别式 【专题】计算题 【分析】先根据判别式的意义得到 =（ 2k 1） 2 4（ 1） 0，然后解关于 【解答】解：根据题意得 =（ 2k 1） 2 4（ 1） 0， 解得 k 故选 D 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与 =4如下关系：当 0时，方程有两个不相等的两个实数根；当 =0时，方程有两个相等的两个实数根；当 0时，方程无实数根 5已知关于 x2+mx+n=0的两个实数根分别为 2， ，则 m+ ） A 10 B 10 C 6 D 2 第 6页（共 18页） 【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系得出 2+4= m， 2 4=n，求出即可 【解答】解： 关于 x2+mx+n=0的两个实数根分别为 2， ， 2+4= m， 2 4=n， 解得： m= 2， n= 8， m+n= 10， 故选 A 【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出 2+4= m， 2 4= 6如图，某小区有一块长为 18米，宽为 6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 60米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道若设人行道的宽度为 可以 列出关于 ） A x 8=0 B 9x 8=0 C 9x+8=0 D 29x+8=0 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】几何图形问题 【分析】设人行道的宽度为 据矩形绿地的面积之和为 60米 2，列出一元二次方程 【解答】解：设人行道的宽度为 据题意得， （ 18 3x）（ 6 2x） =60， 化简整理得， 9x+8=0 故选 C 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用 两块相同的矩形绿地面积之和为 60米 2得出等式是解题关键 7下列方程有两个相等的实数根的是（ ） A x2+x+1=0 B 4x+1=0 C 2x+36=0 D x2+x 2=0 【考点】根的判别式 第 7页（共 18页） 【分析】由方程有两个相等的实数根，得到 =0，于是根据 =0判定即可 【解答】解： A、方程 x2+x+1=0， =1 4 0，方程无实数根； B、方程 4x+1=0， =4 16 0，方程无实数根； C、方程 2x+36=0， =144 144=0，方程有两个相等的实 数根； D、方程 x2+x 2=0， =1+8 0，方程有两个不相等的实数根； 故选 C 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 8我省 2013年的快递业务量为 益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展， 2014年增速位居全国第一若 2015年的快递业务量达到 2014 年与 2013年这两年的平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ） A 1+x） = 1+2x） = 1+x） 2= 1+x） +1+x） 2=考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】根据题意可得等量关系： 2013年的快递业务量 （ 1+增长率） 2=2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可 【解答】解：设 2014年与 2013 年这两年的平均增长率为 x，由题意得： 1+x） 2= 故选： C 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均 变化率的方法，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（ 1 x） 2=b 9已知 2是关于 2m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 三角形 ） A 10 B 14 C 10或 14 D 8或 10 【考点】解一元二次方程 元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质 第 8页（共 18页） 【专题】压轴题 【分析】先将 x=2代入 2m=0，求出 m=4，则方程即为 8x+12=0，利 用因式分解法求出方程的根， ，分两种情况： 当 6是腰时， 2是等边； 当 6是底边时， 2是腰进行讨论注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验 【解答】解： 2是关于 2m=0的一个根， 22 4m+3m=0， m=4， 8x+12=0， 解得 ， 当 6是腰时， 2是底边，此时周长 =6+6+2=14； 当 6是底边时， 2是腰， 2+2 6，不能构成三角形 所以它的周长是 14 故选 B 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程因式分 解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验 10用 10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6平方米若设它的一条边长为 根据题意可列出关于 ） A x（ 5+x） =6 B x（ 5 x） =6 C x（ 10 x） =6 D x（ 10 2x） =6 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】几何图形问题 【分析】一边长为 另外一边长为： 5 x，根据它的面积为 6平方米，即可列出方程式 【解答】解：一边长为 另外一边长为： 5 x， 由题意得： x（ 5 x） =6， 故选： B 【点评】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式 二、填空题：（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30分把答案写在题中的横线上 11设 2x 3=0的两根，则 10 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题；实数 第 9页（共 18页） 【分析】利用根与系数的关系确定出原式的值即可 【解答】解： 2x 3=0的两根， x1+， 3， 则原式 =（ x1+2 2+6=10， 故答案为： 10 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键 12若 x=1是一元二次方程 x+m=0的一个根，则 3 【考点】一元二次方程的解 【分析】将 x=1代入方程得到关于 而可求得 【解答】解：将 x=1代入得： 1+2+m=0， 解得： m= 3 故答案为： 3 【点评】本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于 13若实数 a、 4a+4b）（ 4a+4b 2） 8=0，则 a+b= 或 1 【考点】换元法解一元二次方程 【分析】设 a+b=x，则原方程转化为关于 过解该一元二次方程来求 a+b）的值 【解答】解：设 a+b=x，则由原方程，得 4x（ 4x 2） 8=0， 整理，得 168x 8=0，即 2x 1=0， 分解得：（ 2x+1）（ x 1） =0， 解得： ， 则 a+或 1 故答案是： 或 1 【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换 14将 x+3配方成（ x+m） 2+ m= 3 第 10页（共 18页） 【考点】配方法的应用 【专题】计算题 【分析】原式配方得到结果，即可求出 【解答】解： x+3=x+9 6=（ x+3） 2 6=（ x+m） 2+n， 则 m=3， 故答案为： 3 【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 15若 x2+x+m=（ x 3）（ x+n）对 n= 4 【考点】因式分解 【分析】利用多项式乘法去括号，得出关于 【解答】解： x2+x+m=（ x 3）（ x+n）， x2+x+m= n 3） x 3n， 故 n 3=1， 解得： n=4 故答案为： 4 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确去括号得出是解题关键 16若关于 3x+m=0有两个相等的实数根，则 m= 【考点】根的判别式 【分析】根据题意可得 =0，据此求解即可 【解答】解： 方程 3x+m=0有两个相等的实数根， =9 4m=0， 解得： m= 故答案为： 【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当 =0时，方程有两个相等的两个实数根 17一个容器盛满纯药液 40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液 10L，则每次倒出的液体是 20 L 第 11页（共 18页） 【考点】一元二次方程的应用 【分析】设每次倒出液体 一次倒出后还有纯药液（ 40 x），药液的浓度为 ，再倒出 ，倒出纯药液 x，利用 40 x 0L，进而可得方程 【解答】解：设每次倒 出液体 题意得： 40 x x=10， 解得： x=60（舍去）或 x=20 答：每次倒出 20 升 故答案为： 20 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程 18一元二次方程（ a+1） ax+1=0的一个根为 0，则 a= 1 【考点】一元二次方程的定义 【专题】计算题；待定系数法 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到 a+1 0且 1=0，然后解 不等式和方程即可得到 【解答】解： 一元二次方程（ a+1） ax+1=0的一个根为 0， a+1 0且 1=0， a=1 故答案为： 1 【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为 2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为 bx+c=0（ a 0）也考查了一元二次方程的解的定义 19关于 4x =0有实数根，则 k 6 【考点】根的判别式；一元一次方程 的解 【分析】由于 应分 k=0（此时方程化简为一元一次方程）和 k 0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答 【解答】解：当 k=0时， 4x =0，解得 x= ， 当 k 0时，方程 4x =0是一元二次方程， 第 12页（共 18页） 根据题意可得： =16 4k （ ） 0， 解得 k 6， k 0， 综上 k 6， 故答案为 k 6 【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与 =4 当 0时，方程有两个不相等的两个实数根； 当 =0时，方程有两个相等的两个实数根； 当 0时，方程无实数根同时解答此题时要注意分 k=0和 k 0两种情况进行讨论 20已知若分式 的值为 0，则 3 【考点】分式的值为零的条件；解一元二次方程 【分析】首 先根据分式值为零的条件，可得 ；然后根据因式分解法解一元二次方程的步骤，求出 【解答】解： 分式 的值为 0， 解得 x=3， 即 故答案为： 3 【点评】（ 1）此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意： “ 分母不为零 ” 这个条件不能少 （ 2） 此题还考查了因式分解法解一元二次方程问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项，使方程的右边化为零； 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解 三、解答题 21某地区 2013年投入教育经费 2500万元， 2015年投入教育经费 3025万元 （ 1）求 2013年至 2015年该地区投入教育经费的年平均增长率； 第 13页（共 18页） （ 2）根据（ 1）所得的年平均增长率，预计 2016年该地区将投入教育经 费多少万元 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】（ 1）一般用增长后的量 =增长前的量 （ 1+增长率）， 2014年要投入教育经费是 2500（ 1+x）万元，在 2014年的基础上再增长 x，就是 2015年的教育经费数额，即可列出方程求解 （ 2）利用（ 1）中求得的增长率来求 2016年该地区将投入教育经费 【解答】解：设增长率为 x，根据题意 2014年为 2500（ 1+x）万元， 2015年为 2500（ 1+x） 2万元 则 2500（ 1+x） 2=3025， 解得 x=0%，或 x= 合题意舍去） 答：这两年投入教育经费的平均增长率为 10% （ 2） 3025 （ 1+10%） =元） 故根据（ 1）所得的年平均增长率，预计 2016年该地区将投入教育经费 【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量 （ 1+年平均增长率） 年数 =增长后的量 22已知关于 x+a 2=0 （ 1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 （ 2）当该方程的一个根为 1 时，求 【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与 系数的关系 【分析】（ 1）关于 2x+a 2=0有两个不相等的实数根，即判别式 =40即可得到关于 而求得 （ 2）设方程的另一根为 据根与系数的关系列出方程组，求出 【解答】解：（ 1） 4 2） 2 4 1 （ a 2） =12 4a 0， 解得： a 3 a 3； （ 2）设方程的另一根为 根与系数的关系得： ， 第 14页（共 18页） 解得： ， 则 1，该方程的另一根为 3 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 23白溪镇 2012年有绿地面积 镇近几年不断增加绿地面积， 2014年达到 （ 1）求该镇 2012至 2014年绿地面积的年平均增长率； （ 2）若年增长率保持不变， 2015年该镇绿地面积能否达到 100公顷？ 【考点 】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】（ 1）设每绿地面积的年平均增长率为 x，就可以表示出 2014年的绿地面积，根据 2014年的绿地面积达到 （ 2）根据（ 1）求出的年增长率就可以求出结论 【解答】解：（ 1）设绿地面积的年平均增长率为 x，根据意，得 1+x） 2= 解得： 合题意，舍去） 答：增长率为 20%； （ 2）由题意，得 1+= 答： 2015年该镇绿地面积不能 达到 100公顷 【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键 24为落实国务院房地产调控政策，使 “ 居者有其屋 ” ，某市加快了廉租房的建设力度 2013年市政府共投资 3亿元人民币建设了廉租房 12万平方米， 2015年投资 在这两年内每年投资的增长率相同 第 15页（共 18页） （ 1）求每年市政府投资的增长率； （ 2）若这两年内的建设成本不变，问 2015年建设了多少万平方米廉租房？ 【考点】一元二次方 程的应用 【专题】增长率问题 【分析】（ 1）设每年市政府投资的增长率为 x，由 3（ 1+x） 2=2015年的投资，列出方程，解方程即可； （ 2） 2015年的廉租房 =12（ 1+50%） 2，即可得出结果 【解答】解：（ 1）设每年市政府投资的增长率为 x，根据题意得： 3（ 1+x） 2= 解得： x= x= 合题意，舍去）， x=0%， 即每年市政府投资的增长率为 50%； （ 2） 12（ 1+50%） 2=27， 2015年建设了 27万平方米廉租房 【点评】本题考查了一元一次方 程的应用；熟练掌握列一元一次方程解应用题的方法，根据题意找出等量关系列出方程是解决问题的关键 25某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长 69 米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为 3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境： 请根据上面的信息，解决问题： （ 1）设 AB=x 0），试用含 （ 2）请 你判断谁的说法正确，为什么？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（ 1）设 AB=据等式 x+x+9+3，可以求出 （ 2）得出面积关系式，根据所求关系式进行判断即可 第 16页（共 18页） 【解答】解：（ 1）设 AB=得 9+3 2x=72 2x； （ 2）小英说法正确； 矩形面积 S=x（ 72 2x） = 2（ x 18） 2+648， 72 2x 0， x 36， 0 x 36， 当 x=18时， 此时 x 72 2x， 面积最大的不是正方形 【点评】本题主要考查二次函数的应用， 借助二次函数解决实际问题其中在确定自变量取值范围时要结合题目中的图形和长 宽的原则，找到关于 26先化简，再求值：（ + ） ，其中 4a 1=0 【考点】分式的化简求值 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据 4a 1=0得出（ a 2） 2=5，再代入原式进行计算即可 【