数列求和的8种常用方法（最全）

1 求数列前 n 项和 的 8 种 常用 方法 一 定义法） ： 1 1() ( 1 )22nn n a a n a d 特别 地 ，当前 n 项的个数为奇数时， 2 1 1( 2 1 )k a ，即前 n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； （ 1） 1q ， 1nS ； （ 2） 1q ， 1 11，特别要注意对公比的讨论； 比数列的数列； （ 1）1 121 2 3 ( 1 )n n n L ； （ 2）21 2 2 2 2 1163 11 2 3 ( 1 ) ( 2 1 ) ( ) ( 1 )2n n n n n n n L ； （ 3）31 3 3 3 3 2( 1 )21 2 3 L ； （ 4）1(2 1) 21 3 5 ( 2 1 ) L . 例 1 已知33 x，求 23 nx x x x 的前 项和 . 解：由212l o gl o o g 1l o g 3323 23 x x x x L1 )1(211)211(21 n 1例 2 设 1 2 3 ， *n N ,求1)32()(n 解： 易知 )1(21 n， )2)(1(211 n 1)32()(n 4342 nn n50)8(12 当 88n ，即 8n 时， 501)( 二 如果一个数列 首末两端等 “ 距离 ” 的两项的和相等或等于同一常数 ，那 2 么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前 n 项和即是用此法推导的 ，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 )(1 . 例 3 求 89s 2222 的值 解：设 89s i i i i i n 22222 S 将式右边反序得 1s i i i i i n 22222 S （反序） 又因为 1c o ss 90c o s (s 2 +得 （反序相加） )89c o s i n)2c o s i n)1c o s i 22222 S 89 S 4 函数 1 x ，求 1 1 11 2 2 0 1 2 12 0 1 2 2 0 1 1 2f f f f f f f 的值 . 三 适用于差比数列（如果 么 做差比数列）即把每一项都乘以 q ，向后错一项，再对应同次项相减， 即可转化为等比数列求和 . 如：等比数列的前 n 项和就是用此法推导的 . 例 5 求和： 132 )12(7531 nn 解：由题可知， 1)12( 的通项是等差数列 21n 的通项与等比数列 1的通项之积 设 nn 12(7531 432 （设制错位） 得 12(222221)1( 1432 （错位相减） 即 ： 12(1121)1( 1 21)1()1()12()12( 变式 求数 列 ,22,26,24,22 32 n 项的和 . 解：由题可知， 22的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 的通项之积 设226242232 1432 2226242221 （设制错位） 得 ，1432 222 22 22 22 222)211( （错位相减） 11 222 12 3 124 2 四 即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解与组合思想 （分是为了更好地合） 在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 适用于1， 其中 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 其基本方法是 1na f n f n . 常见裂项公式 ： （ 1） 1 1 1( 1) 1n n n n， 1 1 1 1() ()n n k k n n k；111 1 1 1()n n n na a d a a （ 公差为 d ）； （ 2）1111 () .（根式 在分 母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和） ；（ 3） 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )n n n n n n n ； （ 4） 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1na n n n n ； )121121(211)12)(12()2( 2 （ 5）)1( 11,2)1( 1212 1)1( )1(22 1)1( 21 则； （ 6） t t )1co s (co ； （ 7） 11( 1 ) ! ! ( 1 ) !nn n n； （ 8）常见放缩公式： 2 1 211112 ( ) 2 ( )n n n nn n n n n . 例 6 求数列 ,11,321,211n 项和 . 解：设 n 111 （裂项） 则 11321211 n（裂项求和） )1()23()12( 11n 例 7 求和 1 1 1 11 3 3 5 5 7 ( 2 1 ) ( 2 1 )nS . 例 8 在数列 1211 n n，又12求数列 前 n 项的和 . 4 解： 211211 nn n )111(82122 n（裂项） 数列 n 项和 )111()4131()3121()211(8 n （裂项求和） )111(8 n 18 求证： 1s i o o o s 12c o o s 11c o o s 12解：设 89c 1c S t t )1co s (co （裂项） 89c 1c S （裂项求和 ） 88t a t a n)2t a t a n)1t a t a n)0t a ( t a i n 1 )0ta ta 1 1 原等式成立 变式 求 1 1 1 13 1 5 3 5 6 3 . 解：1 1 1 13 1 5 3 5 6 31 1 1 11 3 3 5 5 7 7 91 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 5 2 5 7 2 7 91 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 3 3 5 5 7 7 911(1 )2949 五 例 10 在等差数列 2 52 3 , 2 2 ，求：（ 1）数列 2）数列 n 项和 . 六 和 法 : 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列的每一项分成多个 5 项或把数列的项重新组合，使其转化成 常见的 数列，然后 分别 求和， 再将其合并即可 . 例 11 求数列的前 n 项和： 231,71,41,1112 n， 解 ：设 )231()71()41()11(12 )23741()1111( 12 （分组） 当 1a a 1 时，2 )13( n 2 )13( 分组求和） 当 1a 时，2)13(1111 2 )13(11 aa n . 例 12 求数 列 1 2 1n n n的前 n 项和 . 解：设 23 32)12)(1( 2)(1( )32( 231将其每一项拆开再重新组合得 321 1 123n n k kS k k k （分组） )21()21(3)21(2 222333 2 )1(2 )12)(1(2 )1(22 （分组求和） 2 )2()1(2 变式 求数列 1 1 1 11 , 2 , 3 , , ,2 4 8 2 的前 n 项和 . 解：231 1 1 11 2 3 ( )2 4 8 21 1 1 1(1 2 3 ) ( )2 2 2 211( 1 ) 122n 七 求和 法 ： 在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为 具有某种特殊的性质的 特殊数列 ，可将这些项放在一起先求和，最后 再将它们求和 ，则称之为并项求和 1 f n类型， 可采用两项合并求 例 13 求 + + + + + 的值 . 解 ： 设 + + + .+ + )180c o s (c o s （ 找特殊性质项 ） （ + +（ + + （ + +L +（ + + （ 合并求和 ） 0 6 例 14 数列 na： 12321 ,2,3,1，求2002S. 解：设2002S2002321 由 12321 ,2,3,1可得 ,2,3,1 654 ,2,3,1,2,3,1 121110987 2,3,1,2,3,1 665646362616 0665646362616 特殊性质项） 2002S2002321 （合并求和） )()()(66261612876321 ( 2002200120001999 46362616 5 例 15 在各项均为正数的等比数列中，若103231365 lo g,9 求的值 . 解：设1032313 lo g n 由等比数列的性质 （找特殊性质项） 和对数的运算性质 lo )l o g( l o g)l o g( l o g)l o g( l o g 6353932310313 n （合并求和） )( l o g)( l o g)( l o 9lo 10 变式 求和 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 9 9 1 0 0 . 八 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法 . 例 16 求11 1 1 1 1 1 1 1 1 1n 个之和 . 7 解：由于1 1111 1 1 1 9 9 9 9 ( 1 0 1 )99 kk k 个 个（找通项及特征） 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1n 个 )110(91)110(91)110(91)110(91 321 n（分组求和） 1 2 3111( 1 0 1 0 1 0 1 0 ) 1 1 1 199 n n 个9110 )110(1091 )91010(811 1 例 17 已知数列 1 1)(1(,)3)(1( 8n 的值 . 解： )4)(2( 1)3)(1( 1)1(8)(1( 1 通项及特征） )4)(3( 1)4)(2( 18 制分组） )4131(8)4121(4 项） 111 1)4131(8)4121(4)(1(nn （分组、裂项求和） 418)4131(4 313变式 求55 5 5 5 5 5 5 5 5 5n 个的前 n 项和 .