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长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练泰勒公式及其解题应用系（部）信息与计算科学专业数学与应用数学泰勒公式及其应用摘要文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆，本文针对泰勒公式的应用讨论了三个问题，即应用泰勒公式求极限，判断级数的求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算关键词泰勒公式极限展开式近似计算1泰勒公式定义111若函数在存在阶导数,则有F0XN（X）XF001F0X02F20X（X10NF0NO0N这里为佩亚诺型余项,称1为函数在点的泰勒公式OX0N0X当0时,（1）式变为0XFX01F20FX0NFXNO称此式为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，定义22若函数在某邻域内为存在直至N1阶的连续导数,则F0XFX0F0FX002FX220NF0NR这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称NRX110NNNFRXXX0（2）为在的泰勒公式F0当0时,（2）式变成0X2000NNFFFXFXXR称此式为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式常见函数的展开式211NXXNEE3522SINNXO24622CO11NNX23LNX1NO21MX1NMXO2NXO2泰勒公式的应用21利用泰勒公式求极限例11求极限1SIN2LIMSCOXXE0分析此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和SINX,分0COSXXE别用泰勒展开式代替,则可简化此比式解由1SIN2XXE2331626XOO1,34323233SINCOS16XXOXO3于是1SIN2LIMSCOXXE033162O22利用泰勒公式求非初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过泰勒展开式20000FXFXFX00NNFX可以求得。例22用间接法求非初等函数DTEXFX02的泰勒展开式解以代替展开式中的的，得2XXEX,13212642NXXX在逐项求积就得到在上的展开式XF,DTEX0212731531NXXX23在近似计算方面的应用必须要注意的是，泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似运算时，不X能远离否则效果会比较差0X例33计算，使其误差不超过E610解由泰勒公式展开，有210,21221NNNEE,1111NNNNER当N7时，68705692于是48721217117E参考文献1康元泰勒公式及其应用D山西数学科学学院，20102华东师范大学数学系
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