全国自考线性代数历年试题(答案)

全国2010年1月自学考试线性代数试题课程代码02198说明本卷中，AT表示矩阵A的转置，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A1表示方阵A的逆矩阵，R（A）表示矩阵A的秩一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设行列式1034,1304ZYXZYX则行列式AB132C2D382设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）1AA1B1C1BC1B1A1CC1A1B1DA1C1B13设1，2，3，4是4维列向量，矩阵A（1，2，3，4），如果|A|2，则|2A|A32B4C4D324设方阵A满足A5E，则必有AAEBAEC|A|1D|A|15设1，2，3，4是三维实向量，则A1，2，3，4一定线性无关B1一定可由2，3，4线性表出C1，2，3，4一定线性相关D1，2，3一定线性无关6设A是46矩阵，R（A）2，则齐次线性方程组AX0的基础解系中所含向量的个数是A1B2C3D47设A，则以下向量中是A的特征向量的是4963752A（1，1，1）TB（1，1，3）TC（1，1，0）TD（1，0，3）T8设矩阵A的三个特征值分别为1，2，3，则12313A4B5C6D79三元二次型FX1，X2，X3的矩阵为23231219464XXXAB963421960CD96042191230410设矩阵A是正定矩阵，则A满足A321AA6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11行列式_1376954212设方阵A满足A32AE0，则（A22E）1_13设A，则A1_10214设（1，1，1），（2，1，0），（1，2，1），则35_15实数向量空间V（X1,X2,X3）|X1X2X30的维数是_16设线性方程组有无穷多个解，则A_3XA17设A是MN实矩阵，若R（ATA）5，则R（A）_18设N阶矩阵A有一个特征值3，则|3EA|_19设向量（1，2，2），（2，A，3），且与正交，则A_20二次型的秩为_3213844,XXXXF三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式D3152022设A，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A13752423设向量组1（1，2，3，6），2（1，1，2，4），3（1，1，2，8），4（1，2，3，2）（1）求该向量组的一个最大线性无关组；（2）将其余向量表示为该最大线性无关组的线性组合24求齐次线性方程组的基础解系及其结构解0343214X25设矩阵A，求可逆方阵P，使P1AP为对角矩阵24026已知二次型的秩为2，求参数C321232132165,XXCXXF四、证明题（本大题6分）27设方阵A与方阵B相似，证明对任意正整数M，AM与BM相似全国2009年10月自学考试线性代数试题课程代码02198说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，R（A）表示矩阵A的秩一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1已知行列式0，则数A5231A3B2C2D32下列矩阵中不是初等矩阵的为AB1010CD23已知2阶矩阵A的行列式|A|1，则（A）1DCBAABCAACBDCDBD4设N阶矩阵A、B、C满足ABCE，则C1AABBBACA1B1DB1A15设A为2阶矩阵，若|3A|3，则|2A|AB11CD2346向量组，（S2）的秩不为零的充分必要条件是12A，中没有线性相关的部分组12SB，中至少有一个非零向量C，全是非零向量12SD，全是零向量7设A为MN矩阵，则N元齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件是ARANBRAMCRA0CA的特征值之和大于0DA的特征值全部大于010设矩阵A正定，则（）42KAK0BK0CK1DK1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设A（1，3，1），B（2，1），则ATB_12若0，则K_1230K13若ADBC，A，则A1_DCBA14已知A22A8E0，则（AE）1_15向量组1（1，1，0，2），2（1，0，1，0），3（0，1，1，2）的秩为_16两个向量（A,1,1）和（B,2,2）线性相关的充要条件是_17方程组的基础解系为_321X18向量（3，2，T,1）T,1,2,1正交，则T_19若矩阵A与矩阵B相似，则X_401XAB320二次型FX1,X2,X3对应的对称矩阵是_3122三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算三阶行列式1422已知A，B，C，D，矩阵X满足方程AXBXDC，求X0132202110223设向量组为1（2，0，1，3）2（3，2，1，1）3（5，6，5，9）4（4，4，3，5）求向量组的秩，并给出一个最大线性无关组24求取何值时，齐次方程组054321XX有非零解并在有非零解时求出方程组的结构式通解25设矩阵A，求矩阵A的全部特征值和特征向量4603526用正交变换化二次型FX1,X2,X3为标准形，并求所用的正交矩阵P3221X四、证明题（本大题共1小题，6分）27若N阶方阵A的各列元素之和均为2，证明N维向量X1,1,1T为AT的特征向量，并且相应的特征值为22009年7月自考线性代数试题答案课程代码02198全国2009年4月自学考试线性代数试题课程代码02198说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，表示方阵A的行列式，RA表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。13阶行列式中元素A21的代数余子式A21（）01IJAA2B1C1D22设N阶可逆矩阵A、B、C满足ABCE，则B1（）AA1C1BC1A1CACDCA3设3阶矩阵A，则A2的秩为（）01A0B1C2D34设矩阵A，B，P1，P2，则必有（）21A1212A010AP1P2ABBP2P1ABCAP1P2BDAP2P1B5设向量组1,2,3,4线性相关，则向量组中（）A必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6设1,2,3,4是一个4维向量组，若已知4可以表为1,2,3,的线性组合，且表示法惟一，则向量组1,2,3,4的秩为（）A1B2C3D47设1,2,3是齐次线性方程组AX0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（）A1,2,12B1,2,12C12,23,31D12，23，318设A为3阶矩阵，且0，则A必有一个特征值为（）EAB3CD3229设实对称矩阵A，则3元二次型FX1,X2,X3XTAX的规范形为（）1204AB21Z2321Z3CD21Z21Z10设2元二次型FX1,X2XTAX正定，则矩阵A可取为（）AB121CD2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，2，3，对应的代数余子式分别为3，2，1，则D3_。12已知3阶行列式6，则_。3231964AA32311A13设A，则A22AE_。014设A为2阶矩阵，将A的第2列的（2）倍加到第1列得到矩阵B若B，则A_。432115设3阶矩阵A，则A1_。30116设向量组A1A,1,1,A21,2,1,A31,1,2,线性相关，则数A_。173元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数为_。01X18已知3阶矩阵A的特征值为0，2，3，且矩阵B与A相似，则_。EB19设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为11,1T，21,KT，则数K_。20二次型FX1,X2,X3X1X22X2X32的矩阵A_。三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算4阶行列式11AA22设2阶矩阵A，P，矩阵B满足关系式PBAP，计算行列式230B23求向量组11,1,1,3T，21,3,5,1T，33,2,1,4T，42,6,10,2T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表示24设3元齐次线性方程组0,321AX（1）确定当A为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解25设矩阵B，504312（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵P，使P1BP26设3元二次型FX1,X2,X32X1X22X2X3，求正交变换XPY，将二次型化为标准形123四、证明题（本大题6分）27设矩阵A，其中A1,A2,A3互不相同，证明与A可交换的矩阵只能为对角矩阵3210A全国2009年1月自考线性代数试题课程代码02198试卷说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A1表示矩阵A的逆矩阵，秩（A）表示矩阵A的秩一、单项选择题本大题共10小题，每小题2分，共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的。请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设A为N阶方阵，若A3O，则必有（）AAOBA2OCATOD|A|02设A，B都是N阶方阵，且|A|3，|B|1,则|ATB1|（）A3B31CD33设A为54矩阵，若秩A4，则秩5AT为（）A2B3C4D54设向量（4,1,2,2），则下列向量中是单位向量的是（）AB315CD91255二次型FX1,X25的规范形是（）213XAYYBYY212CYYDYY126设A为5阶方阵，若秩A3，则齐次线性方程组AX0的基础解系中包含的解向量的个数是（）A2B3C4D57向量空间W0,X,Y,Z|XY0的维数是（）A1B2C3D48设矩阵A，则矩阵A的伴随矩阵A（）3421AB131CD242439设矩阵A，则A的线性无关的特征向量的个数是（）301A1B2C3D410设A，B分别为MN和MK矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（II）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（）A若（I）线性无关，则（II）线性无关B若（I）线性无关，则（II）线性相关C若（II）线性无关，则（I）线性无关D若（II）线性无关，则（I）线性相关二、填空题本大题共10小题，每小题2分，共20分请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。11设A（3，1，0），B，则AB_5304112已知向量（3，5，7，9），（1，5，2，0），如果，则_13设A，B为6阶方阵，且秩（A）6，秩（B）4，则秩（AB）_14已知3阶方阵A的特征值为1，3，9，则_A3115二次型FX1,X2,X3,X4的正惯性指数为_2432XX16设A为3阶方阵，若|AT|2，则|3A|_17已知向量（1，2，1）与向量（0，1，Y）正交，则Y_18设非齐次线性方程组AXB的增广矩阵为，则该方程组的结构式通解为_6420119设B为方阵，且|B|3，则|B4|_20设矩阵A，则A1_10732三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式D5322求向量组1（1，4，3，2），2（2，5，4，1），3（3，9，7，3）的秩23求齐次线性方程组的一个基础解系03421XX24设AB，又AXB，求矩阵X,201025用配方法化二次型FX1,X2,X3为标准形，并判别其正定性312321645XXX26求方阵A的特征值和特征向量3021四、证明题（本大题共1小题，6分）27设向量组1，2，3线性无关，证明向量组123，23，122线性相关全国2008年10月自学考试线性代数试题课程代码02198说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，RA表示矩阵A的秩一、单项选择题本大题共10小题，每小题2分，共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1已知矩阵A，B，则ABBA100AB21CD1002设A为3阶方阵，且，则|A|31AA9B3C1D93设A、B为N阶方阵，满足A2B2，则必有AABBABC|A|B|D|A|2|B|24设A、B均为N阶可逆矩阵，且ABBA，则下列结论中，不正确的是AAB1B1ABB1AA1BCA1B1B1A1DA1BBA15设向量1（A1,B1,C1），2A2,B2,C2，1（A1,B1,C1,D1）,2A2,B2,C2,D2，下列命题中正确的是A若1，2线性相关，则必有1，2线性相关B若1，2线性无关，则必有1，2线性无关C若1，2线性相关，则必有1，2线性无关D若1，2线性无关，则必有1，2线性相关6设MN矩阵A的秩R（A）N3N3，,是齐次线性方程组AX0的三个线性无关的解向量，则方程组AX0的基础解系为A,B,，C,D,7已知是齐次线性方程组AX0的两个解，则矩阵A可为132,A（5，3，1）B1235CD712313528设A为N（N2）阶矩阵，且A2E，则必有AA的行列式等于1BA的逆矩阵等于ECA的秩等于NDA的特征值均为19设矩阵A，则A的特征值为01A1，1，0B1，1，1C1，1，1D1，1，110已知矩阵A与对角矩阵D相似，则A210AABDCEDE二、填空题本大题共10小题，每小题2分，共20分请在每小题的空格上填上正确答案。错填、不填均无分。11设矩阵A，则ATB_75340,102B12已知行列式0，则数A_1032A13已知向量组的秩为2，则数T_41,05,231T14设向量（2，1，1），则的长度为_15设向量组1（1，2，3），2（4，5，6），3（3，3，3）与向量组1，2，3等价，则向量组1，2，3的秩为_16设方程组有非零解，则数K_021KX17已知向量（1，2，3，4）与（3，A，5，7）正交，则数A_18设3阶实对称矩阵A的特征值为123，30，则RA_19已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A|_20矩阵A对应的二次型F_3142三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式D的值50213422已知A，矩阵X满足AXBC，求解X13,4CB23设矩阵A，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得P1AP402124设向量组1,2,3线性无关，令113，22223，3215233试确定向量组1，2，3的线性相关性25已知线性方程组，3221X（1）讨论为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）26设二次型FX1,X2,X3，确定常数A的最大取值范围使该二次型正3212321XXAX定四、证明题（本大题6分）27已知矩阵A，证明存在数K，使A2KA323121BABA全国自考2008年7月线性代数试卷课程代码02198试卷说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示A的伴随矩阵；秩（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。一、单项选择题本大题共10小题，每小题2分，共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设3阶方阵A1，2，3，其中I（I1，2，3）为A的列向量，且|A|2，则|B|132,2,3|A2B0C2D62若方程组有非零解，则K021XKA1B0C1D23设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是A|AB|A|B|B（AB）1B1A1C（AB）1A1B1D（AB）TBTAT4设A为三阶矩阵，且|A|2，则|（A）1|AB141C2D45已知向量组A1，2，3，4中2，3，4线性相关，那么A1，2，3，4线性无关B1，2，3，4线性相关C1可由2，3，4线性表示D3，4线性无关6向量组1，2，S的秩为R，且RS，则A1，2，S线性无关B1，2，S中任意R个向量线性无关C1，2，S中任意R1个向量线性相关D1，2，S中任意R1个向量线性无关7若A与B相似，则AA，B都和同一对角矩阵相似BA，B有相同的特征向量CAEBED|A|B|8设1，2是AXB的解，是对应齐次方程AX0的解，则A1是AX0的解B（12）是AX0的解C12是AXB的解D12是AXB的解9下列矩阵为正交矩阵的是AB21103CD313123110设A，则二次型FX1，X2XTAX是1A正定B负定C半正定D不定二、填空题本大题共10小题，每小题2分，共20分请在每小题的空格中填上正确安全。错填、不填均无分。11设A，B，则AB_123035412已知（1，2，3），则|T|_13设A，则A_014设A为45的矩阵，且秩（A）2，则齐次方程AX0的基础解系所含向量的个数是_15设有向量1（1，0，2），2（3，0，7），3（2，0，6）则1，2，3的秩是_16方程X1X2X30的结构解是_17设A满足3EAA20，则A1_18设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3则|AE|_19设与的内积（，）2，|2，则内积（2，）_20矩阵A所对应的二次型是_103三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算6阶行列式1020003222已知矩阵A，且ABA1BA12E，求B8032123求向量组1（1，2，1，3），2（4，1，5，6），3（1，3，4，7）的秩和其一个最大无关组24当A，B为何值时，方程组有无穷多解并求出其结构解3221BXAX25已知A，求其特征值与特征向量17326用正交变换化二次型FX1,X2,X3为标准型，并给出所用的正交变换32321XX四、证明题（本大题共1小题，6分）27已知向量组1，2，3线性无关，且112，221223，31223证明向量组1，2，3线性无关全国2008年4月自考线性代数试卷课程代码02198说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设A为MN矩阵，B为NM矩阵，MN,则下列矩阵中为N阶矩阵的是（）ABTATBATBTCABADBAB2设行列式D3，D1，则D1的值为（）32311A3231215AAA15B6C6D153设A为N阶方阵，N2，则|5A|（）A5N|A|B5|A|C5|A|D5N|A|4设A,则|A|（）4321A4B2C2D45向量组1，2，S（S2）线性无关的充分必要条件是（）A1，2，S均不为零向量B1，2，S中任意两个向量不成比例C1，2，S中任意S1个向量线性无关D1，2，S中任意一个向量均不能由其余S1个向量线性表示6设3元线性方程组AXB，A的秩为2，1，2，3为方程组的解，122,0,4T，13（1，2，1）T，则对任意常数K，方程组AXB的通解为（）A1,0,2TK1,2,1TB1,2,1TK2,0,4TC2,0,4TK1,2,1TD1,0,2TK1,2,3T7设3阶方阵A的特征值为1，1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）AEABEAC2EAD2EA8设2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵A21必有一个特征值等于（）AB411C2D49设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）AB0101CD0213210二次型FX1,X2,X3,X4,的秩为（）432321XXA1B2C3D4二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11行列式_323121BABA12设矩阵A，P，则APT_41013设A是43矩阵，秩（A）2，若B，则秩（AB）_302114已知向量组，的秩为2，则数T_21123T15设矩阵A，若齐次线性方程组AX0有非零解，则数T_543T16已知0为矩阵A的2重特征值，则A的另一特征值为_2017已知向量2，1，0，3T，1,2,1,KT,与的内积为2，则数K_18设向量T为单位向量，则数B_2,B19二次型FX1,X2,X3的矩阵为_32123145XX20已知二次型FX1,X2,X3K1K1K2正定，则数K的取值范围为_三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式D的值4013222已知矩阵A，B，210410（1）求A的逆矩阵A1；（2）解矩阵方程AXB23设向量1，1，1，1，（1，1，1）,求（1）矩阵AT（2）A2。24设向量组1（1，1，2，4）T，2（0，3，1，2）T，3（3，0，7，14）T，4（1，1，2，0）T，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示25求线性方程组的通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）32034321XX26用正交变换化二次型FX1,X2,X3为标准形，并写出所用的正交变换2314四、证明题（本大题6分）27设A，B，C为任意实数，证明向量组1（1，A，1，1）T，2（1，B，1，0）T,3（1，C，0，0）T线性无关2008年4月自考线性代数答案一、单项选择题CCBABDDDAD二、填空题11012（3，2），（7，4）130,1,1,1,1,0,1,0,0142152162/3170184191,2,0,2,2,1,0,1,520K2三计算题212四证明题27抱歉,答案没找到全国2007年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码02198说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设矩阵A，B，C为同阶方阵，则（ABC）T（）AATBTCTBCTBTATCCTATBTDATCTBT2设行列式1，2，则（）21BA21CA2211CBAA3B1C1D33设A为3阶方阵，且已知|2A|2，则|A|（）A1B41CD1414设A为2阶可逆矩阵，且已知（2A）1，则A（）4321A2B2311CD41435设向量组1，2，S线性相关，则必可推出（）A1，2，S中至少有一个向量为零向量B1，2，S中至少有两个向量成比例C1，2，S中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D1，2，S中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6设A为MN矩阵，则齐次线性方程组AX0仅有零解的充分必要条件是（）AA的列向量组线性无关BA的列向量组线性相关CA的行向量组线性无关DA的行向量组线性相关7设A为3阶矩阵，且已知|3A2E|0，则A必有一个特征值为（）AB232CD38设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3则|B1|（）AB1271C7D129二次型的矩阵为（）3123213214,XXXFAB040CD10212010设3阶实对称矩阵A与矩阵B合同，则二次型XTAX的规范形为（）201AB2321ZZ2321ZZCD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11行列式_1012设矩阵A，B，则A2B_102310213设2阶矩阵A，则AA_3214设3阶矩阵A，则（AT）1_025115设向量11，1，1T，21，1，0T，31，0，0T，0，1，1T，则由1，2，3线性表出的表示式为_16已知3元齐次线性方程组有非零解，则A_0321XXA17设1，2是非齐次线性方程组AXB的解，K1，K2为常数，若K11K22也是AXB的一个解，则K1K2_18设A为N阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则（2A）1必有一个特征值为_19二次型的秩为_2121,XXF20若实对称矩阵A为正定矩阵，则A的取值应满足_A03三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21求4阶行列式的值123422设2阶矩阵A可逆，且A1，对于矩阵P1，P2，令BP1AP2，求B121BA00123设向量（1，2，3，4），（1，1，2，0），求（1）矩阵T；（2）向量与的内积（，）24设向量组1（1，1，1，3）T，2（1，3，5，1）T，3（3，2，1，T2）T，4（2，6，10，T）T，试确定当T为何值时，向量组1，2，3，4线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组25设线性方程组2321AX（1）问A为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）26求3阶矩阵A的全部实特征值和对应的全部特征向量01四、证明题（本大题6分）27设1，2依次为N阶矩阵A的属于特征值1，2的特征向量，且12证明12不是A的特征向量全国2007年7月高等教育自学考试线性代数试题课程代码02198试卷说明AT表示矩阵A的转置矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，在A可逆时，A1表示A的逆矩阵，|表示向量的长度。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设ABC0，则三阶行列式的值是（）0DCBAAABBC0DABC2若三阶方阵A等价于矩阵，则A的秩是（）102A0B1C2D33设A为N阶方阵，且A3E，则以下结论一定正确的是（）AAEBA不可逆CA可逆，且A1ADA可逆，且A1A24设A为3阶矩阵，若|A|K，则|KA|是（）AK4B3KCKDK35设1，2，3线性相关，则以下结论正确的是（）A1，2一定线性相关B1，3一定线性相关C1，2一定线性无关D存在不全为零的数K1，K2，K3使K11K22K3306设U1,U2是非齐次线性方程组AXB的两个解，则以下结论正确的是（）AU1U2是AXB的解BU1U2是AXB的解CKU1是AXB的解（这里K1）DU1U2是AX0的解7设3阶矩阵A的特征值为1，3，5，则A的行列式|A|等于（）A3B4C9D158设矩阵A，则A是（）213A正交矩阵B正定矩阵C对称矩阵D反对称矩阵9二次型FX1,X2的矩阵是（）214X6AB4431CD0611510设1，2是矩阵A的属于特征值的特征向量，则以下结论正确的是（）A12是对应的特征向量B21是对应的特征向量C1,2一定线性相关D1，2一定线性无关二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11矩阵A的秩为_21054312排列12453的逆序数为_13设A，B为3阶方阵，且|A|9，|B|3，则|2AB1|_14矩阵A满足A30，则（EA）1_15已知向量13，5，8，8，21，5，2，0，则_5321216设A为MN矩阵，且A的N个列向量线性无关，则矩阵AT的秩为_17设A是秩为2的45矩阵，则齐次线性方程组AX0的解集合中线性无关的解向量个数为_18设P为N阶正交矩阵，X是一个N维列向量，且|X|3，则|PX|_19设A为3阶实对称矩阵，1，1，3T，4,5,AT分别是属于A的相异特征值1与2的特征向量,则A_20设二次型FX1,X2,X3的正惯性指数为P,负惯性指数为Q，则PQ_312321X三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21计算行列式4321022设A，B为3阶矩阵，且它们满足A1B6EB，求B714323求向量组12，1，1，24，2，1，35，2，1，41，0，1的一个最大线性无关组，并将其它向量用此最大线性无关组线性表示24求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并以此写出其结构式通解07938254321431XX25设3阶矩阵A的特征值为1，2，3，相应的特征向量为，求A21,26已知二次型的秩是233121232132165,XXAXXF（1）求参数A（2）将化为规范形,321F四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27设向量组1，2，3线性无关，证明2132，243，531线性无关28设A为N阶正定矩阵，B是与A合同的N阶矩阵，证明B也是正定矩阵全国2007年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码02198说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式一、单项选择题本大题共10小题，每小题2分，共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设矩阵A（1，2），B，C则下列矩阵运算中有意义的是（）43265321AACBBABCCBACDCBA2设A为3阶方阵，且|A|2，则|2A1|（）A4B1C1D43矩阵的逆矩阵是（）03AB1310CD13004设2阶矩阵A，则A（）DCBAABACDABCDCDB5设矩阵A，则A中（）504321A所有2阶子式都不为零B所有2阶子式都为零C所有3阶子式都不为零D存在一个3阶子式不为零6设A为任意N阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（）AAATBAATCAATDATA7设A为MN矩阵，齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件是（）AA的列向量组线性相关BA的列向量组线性无关CA的行向量组线性相关DA的行向量组线性无关8设3元非齐次线性方程组AXB的两个解为（1，0，2）T，（1，1，3）T，且系数矩阵A的秩RA2,则对于任意常数K,K1,K2,方程组的通解可表为（）AK1（1，0，2）TK2（1，1，3）TB（1，0，2）TK（1，1，3）TC（1，0，2）TK（0，1，1）TD（1，0，2）TK（2，1，5）T9矩阵A的非零特征值为（）A4B3C2D110矩阵A合同于（）321AB321321CD321321二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设矩阵A，则行列式|ATA|_432112若AIBI0，I1,2,3,则行列式_323121BABA13向量空间VXX1,X2,0|X1,X2为实数的维数为_14若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为_0XAXA3231115设矩阵A，矩阵BAE，则矩阵B的秩RB_02116设向量（1，2，3），（3，2，1），则向量，的内积（，）_17设A是43矩阵，若齐次线性方程组AX0只有零解，则矩阵A的秩RA_18已知某个3元非齐次线性方程组AXB的增广矩阵经初等行变换化为，若方程组无解，则A的取值为_1A202119实二次型FX1,X2,X33的矩阵为_232X520设矩阵A为正定矩阵，则A的取值范围是_A0三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算3阶行列式769423122设A，求A15230123求齐次线性方程组的基础解系及通解0XX54332124设向量1（1，1，2，1）T，2（2，2，4，2）T，3（3，0，6，1）T，4（0，3，0，4）T（1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合25设2阶矩阵A的特征值为1与2，对应的特征向量分别为1（1，1）T，2（1，1）T，求矩阵A26已知二次型FX1,X2,X32通过正交变换可化为标准形F32321XAXA,5Y231求四、证明题（本大题6分）27证明若向量组1（A11,A21）,2A12,A22线性无关，则任一向量（B1,B2）必可由1，2线性表出2007年4月自学考试线性代数试题答案全国2007年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码02198试卷说明AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，R（A）表示矩阵A的秩。一、单项选择题本大题共10小题，每小题2分，共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1二阶行列式0的充分必要条件是（）1K2AK1BK3CK1且K3DK1或32设A为三阶矩阵，|A|A0，则其伴随矩阵A的行列式|A|（）AABA2CA3DA43设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（）A|AB|BA|B|AB|A|B|C（AB）1A1B1D（AB）2A22ABB24设A可逆，则下列说法错误的是（）A存在B使ABEB|A|0CA相似于对角阵DA的N个列向量线性无关5矩阵A的逆矩阵的（）012AB21CD10206设11，2，1，20，5，3，32，4，2，则向量组1，2，3的秩是（）A0B1C2D37设1，2是非齐次方程组AXB的解，是对应的齐次方程组AX0的解，则AXB必有一个解是（）A12B12C12D28若A相似，则X（）102BX10与A1B0C1D29若A相似于，则|AE|（）10A1B0C1D210设有实二次型FX1,X2,X3，则F（）23XA正定B负定C不定D半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设A，B均为三阶可逆阵，|A|2，则|2B1A2B|_12在五阶行列式中，项A21A32A45A14A53的符号为_13设A，则A_DCBA14设三阶方阵A等价于，则R（A）_0115设11，2，X,22，4，1线性相关，则X_16矩阵111的秩为_117设0是可逆阵A的一个特征值，则A2必有一个特征值是_18已知齐次方程组A450的基础解系含有3个向量，则R（A）_19已知三阶矩阵A的三个特征值是1，1，2，则|A|_20二次型FX1,X2,X32X1X2X2X3的矩阵是_三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21求行列式321422设A10求（1）（A2E）1（A24E）（2）（A2E）1（A2E）23求向量组11，1，2，4，20，3，1，2，33，0，7，14,41，1，2，0的秩，并求出向量组的一个最大线性无关组。24设有非齐次线性方程组1X23XA421问A为何值时方程组无解有无穷解并在有解时求其通解25设A的特征值是122，343120X（1）求X（2）A是否相似于对角阵，为什么26设二次型FX1,X2,X32（其中A0）可通过正交变换化为标准型，求参32321XAX2321Y5数A及所用的正交变换四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27设向量组1，2，3线性无关，证明12，12，3也无关28设A为N阶正定矩阵，B为N阶半正定矩阵，证明AB为正定矩阵全国2006年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码02198试卷说明AT表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设A是4阶矩阵，则|A|（）A4|A|B|A|C|A|D4|A|2设A为N阶可逆矩阵，下列运算中正