线性代数-02-03学年第二学期线性代数（b）期末考试试卷答案

北方交通大学20022003学年第二学期线性代数（B）期末考试试卷答案一填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中1已知是关于的一次多项式，该式中的系数为_132XX应填2已知矩阵，且的秩，则_K1AA3RK应填33已知线性方程组AYX2530有解，则_A应填14设是阶矩阵，是的伴随矩阵若有特征值，则必有一个特征值AN0AA12A是_应填25若二次型是正定二次型，则的取值范围是3212321321,XAXXFA_应填A二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1设，32311AA13123132AAB，101P02P则必有【】；ABP21BA12CBA21DBAP12应选C2设是4阶矩阵，且的行列式，则中【】0必有一列元素全为0；A必有两列元素成比例；B必有一列向量是其余列向量的线性组合；C任意列向量是其余列向量的线性组合D应选3设是矩阵，而且的行向量线性无关，则【】A65A的列向量线性无关；线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关；BBX线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；C线性方程组有唯一解DA应选B4设矩阵是三阶方阵，是的二重特征值，则下面各向量组中0，；T2,31T3,14T0,，；,1，；T,T,T6,，；0101,肯定不属于的特征向量共有【】01组；2组；3组；4组ABCD应选5设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵NN为【】；ABABC2ABD2AB应选三（本题满分10分）设阶矩阵和满足条件NABAB证明是可逆矩阵，其中是阶单位EEN已知矩阵，求矩阵2013解由等式，得，即ABEB因此矩阵可逆，而且EE1由知，即BE1A11003120102312013四（本题满分10分）当、为何值时，线性方程组AB12323041421AXXB有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解解将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵A010211230ABABA所以，当时，此时线性方程组有唯一解A4AR当，时，此时线性方程组无解B23R当，时，此时线性方程组有无穷多组解1R此时，原线性方程组化为024321XX因此，原线性方程组的通解为4432411XX或者写为01201321KX五（本题满分10分）设4阶矩阵，求4321A10A解由于，14324321A所以，A个10101432432143214321432432143219组由于，所以10432143211014320991A六（本题满分10分）已知，求，使得，线性无1,13,02,2341234关解由于与的对应分量不成比例，所以与线性无关1,13,02,212满足，线性无关的向量与有很多，例如我们可以取2344，0,1,31,0,4由于，所以，线性无关010211234七（本题满分10分）设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵），则称是阶幂零矩阵ANKOAKNAN如果是阶幂零矩阵，则矩阵的特征值全为0如果是阶幂零矩阵，则矩阵不与对角矩阵相似O解设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的特征向量，则有A0A所以，KKK11但是，所以，但，所以OK00反证法若矩阵与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵，使得ADPDPA1所以，DPPKKKK111111组但是，所以，所以，即因此这与相OKK1OO1A矛盾，因此矩阵不与对角矩阵相似A八（本题满分10分）若二次型经正交变换后可变为标准形，求，3231212321XXXF23Y并求出该正交变换解的矩阵及标准形的矩阵分别为F，1A201则有，即EA2011由此得而且矩阵的三个特征值分别为0A,31特征值对应的特征向量为1T0,2,1特征值对应的特征向量为2T,02特征值对应的特征向量为30,21,3因此令012,321P因此所作的正交变换为3213210YX九（本题满分10分）设有5个向量，5,21,312,1,23,10,3，0,47,45求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量解对由构成的矩阵，进行行变换54321，363012147132504432