上海大学理学院高等代数考研真题

2000中科院高等代数一计算行列式ACBA二把二次型用非退化线性替换化成平方413214321,XXXF和三分别为和矩阵,表示单位矩阵证明阶矩阵BA,MNNIMN可逆当且仅当可逆，可逆时求出的逆0IXBAX四设是维线性空间的一组基，对任意个向量，证明12,NENVN12,NAV存在唯一的线性变换，使得,12IIEA五设是维线性空间的线性变换，求证当且仅当若A10AV为的一组基则是的一组基12,RAV12,RA2六设为级实方阵，适合，求证相似于2010七已知均为线性空间上线性变换，满足试证,FGV22,FG（1）与有相同的值域,FGF（2）与有相同的核F2001中科院高等代数（一）计算行列式231123NXAAAX（二）设为阶非零方阵，且A30A（1）求证存在，123,A123,B12233AB（2）求方程组的基础解系0AX（三）用正交的线性替换化二次行为标准2212313123,4FXXX形（四）设为阶实矩阵，且若，求证NMRAMN2AAMAAE（五）设是（为奇数）维线性空间上线性变换，若求证存AV10,NN在，使为的一组基，并求在AV221,NNAAV此组基下的矩阵（六）设是欧式空间上的对称变换求证对任意，都有V0A,0AA的所有特征值都小于0A（七）设，其中为阶负定矩阵，为维列实向量，为实数求证ABANN正定的充分必要条件为10A（八）若是正交阵，且特征值为1的重数是，求证（为的AS1SAA行列式）2002中科院高等代数（一）计算行列式若，求123NXAAABAXAB（二）设是阶可逆方阵，N0A（1）计算（是整数），KBK（2）假设，为阶方阵，而且，求10AC62BCE（三）设，是阶矩阵（），11PPNNPPAN0P求的基础解系0AX（四）构造一个阶实对称方阵，使其特征值为1，1，1并且对应的特征值有特征向3A量，1,2,（五）设向量组的秩为（），则中任意个向量线性无关的123,NARNAR充分必要条件为对任意向量，若，则121,RIIA1210RIIIKAK或全为0或全不为0121,RK（六）设为阶正定矩阵，为秩为的实矩阵，求证（，为ANNMBBATE单位矩阵）为正定矩阵（七）设为欧式空间上的线性变换，且V2AE（1）求证是上的正交变换的充分必要条件为是上的对称变换V（2）设，求证是直和1,AAA12（八）设为阶实正交矩阵，为维列向量，且线性无关，若N123,NA线性无关，则12,NAEEA2003中科院高等代数（一）计算行列式（为阶矩阵），XAAAXAAAN2AB（1）求（2）求B（二）设为阶反对称矩阵，求A1NKA（三）设为阶整数方阵（中元素为整数），若,BEA（1）求证，（2）若，求2013BA（四）设为阶方阵，且12,NAA1RN121NNAA，求的解12X（五）设是阶可逆方阵，且每行元素之和为，求证的每行元素之和为AKA（为正整数）KA（六）设为阶正交矩阵，若证明存在正交矩阵使ANG1RSE（七）设，且为阶方阵，2RAR（1）求证（2）求证（3）若，求RERAEN1R的解0AX（八）构造一个阶实对称方阵，使其特征值为2，1，1，且有特征向量3,（九）设二次型22134121314232434FXXXXX（1）求对应的实对称矩阵FXA（2）求正交变换，将化为标准型PYFX（十）设是维线性空间上的线性变换，是对应的不同特征值ANV12,KA的特征向量若，而是的不变子空间，则有维12,K12KAWA（）W（十一）设为欧式空间上的变换，为欧式空间上的线性变换且有BV证明,AAV（1）为欧式空间上的线性变换（2）102004中科院高等代数（一）设阶可逆方阵中每一行元素之和为，证明NIJAA0A（1），其中为的代数余子式1,2IJJINIJAIJ（2）如果都是整数，则整除IJA,IA（二）设为实矩阵，且1212NNABB2RA（1）求行列式E（2）求的解（是维列向量）0XN（三）设为阶整数方阵，若,ABN2BEA（1）求证21（2）若，求02312（四）若为非零的半正定矩阵，为正定矩阵，求证AB（1）求证存在实矩阵，使T（2）1E（3）B（五）设为的特征值的最小者求证对任意的维列向量,有ANAAA六设为阶方阵的特征值,且分别为其123,A1,0101对应的特征向量,求N七是维欧氏空间,是维空间上的线性变换,如果是中VNV1231,NAV个线性无关的向量,且分别与正交不为0求证为的1N,1231NA特征向量八设，求证32036AB（1）（2）题型与钱吉林书习题类示。R（九）设为数域，为数域上阶方阵，且，FN10VXFA求证。20VXAEX2A2（十）设，为阶方阵，为阶正交方阵，求24AAANBN证2214NBA（十一）设求2212312NNNNNNXFXFXFXF证。1,2IF（十二）设为阶实可逆矩阵，则为正定矩阵充分必要条件为存在阶上三角实AA可逆矩阵，使。L（十三）设为秩为的阶矩阵，证明的充要条件是存在秩为的阶RN2RN矩阵和秩为的矩阵，使且。BCBCE（十四）设为数域上维线性空间，设是维线性空间上的线性变换，VFANV为的值域，为的核。A10A（1）求证维，12（2）求证维充分必要条件为，并举出这样NV10AV的线性变换。A2005中科院高等代数（一）已知，求在有理数域上的不可约多项式并说明理由。12NFXFX（二）已知，是阶方阵，。求和。0,1AABC62BCE（三）是方程组的一个解，是其导出组的一个基础解系。求证XB12,NRA（1），线性无关，12,NRA（2）也线性无关。2,NR（四）同2007年第一大题（五）是复矩阵，求证在复数域上相似于一个对角阵。A230AEA（六）是阶实对称方阵，是的特征值，是对应的特征向31,210,量，求矩阵。A（七）是反对称变换的不变子空间，求证也是的不变子空间。WWA（八）已知是阶实对称方阵，求证正定。N0KE（九）是矩阵的全体，已知，F1,NVXF求证的充分必要条件为。20,NVXAEXF2N2A（十）已知，求证。24A0,AAB214NAB（十一）设求证221231NNNNNNXFXFXFXF。1,2IF（十二）是阶实对称方阵，证明正定的充要条件是存在实阶上三角阵，使AAL。L（十三）是阶矩阵，是阵，。求证的充要条件NCNMRBCM2A是且。CBE（十四）是维线性空间的象，是的核。求证AVV10AV（1），12DIM0AVN（2）的充要条件是，举个例子。10AV2006中科院高等代数一设是有理数域上的多项式。FX（1）如果是二次多项式，求证不可约的充分必要条件是没有有理FXFX根；（2）试举例说明当的次数大于的时候，没有有理根只是不可约的F3FF必要条件。（3）试举例说明艾森斯坦判别法只是判别不可约的充分条件，而不是必要条件。FX（二）（1）设矩阵且12,NAAA12,NRA为维列向量，求证,2IAN1211,NIINIAA（2）用上面的公式计算行列式。23NXAAX（三）设，其中分别为阶可逆矩阵。0ACDB,M（1）求；1（2）设，如果，求和。20AADHEH（四）设为一组同型向量，求证12,NA12231,NAAA（1）若，则为奇数；12,NRR（2）若为极大无关组，且，如果12,RA12,NRR，求证。RRAKK1RRKK（五）设为实矩阵，已知，且IJNA0,I0,12IJAJNIJ。求证10,2NIJA（1）；1RAN（2）（六）已知（其中为不全为的实数且）如果10,2NIAN12,NA02N，求的所有特征值；进一步当是的特征值时，求212NNAAAA关于特征值为的所有特征向量0（七）设是阶实对称方阵且可逆，是维实列向量，是实数对12,TNXX于实二次型12,TNFXA（1）求证是正定二次型的充分必要条件是矩阵是正定矩阵；12,NFAE（2）当，是偶数时，求证是负定二次型的充分必要条件是为012,NFXA正定矩阵（八）设是阶复矩阵，如果AN30AE（1）求的最小多项式；（2）求证在复数域上与对角矩阵相似；（3）求证可逆E（九）设是维线性空间上的非零线性变换，且NV，AV100AVV（1）求证充分必要条件是；100（2）试举一个的例子V（十）设为欧式空间上的线性变换，记，A1,VAAV，显然，为的子空间，试分别就是上的对称变换和正交2VA12变换求证12V2007中科院高等代数（一）设求此向量组的极大无1,A21,03,2A43,A51,0关组，并将其它向量用此向量组的极大无关组表示出来（二）设，为阶方阵，且，求10A0ABC62BCE和C（三）设，且是阶矩阵，若。20ANRAR（1）求证与对角矩阵相似（2）求证RE（四）设是数域上维线性空间上的线性变换如果存在向量，使得FNV，但，证明10N（1）线性无关1,N（2）在某一组基下的矩阵为00100（五）设，其中为互不相同的整数，12NFXAXA12,NA求证如果为奇数，则在有理数域上不可约NF（六）设21NA（1）求行列式E（2）求的解（为维列向量）0XN（七）已知经过一个正交变换可以把二次型PY2213121323FXXABXX化为标准型234YY求，及正交矩阵ABP（八）设，而且，其中为数域上FGHGXHPXP多项式环假设是数域上维线性空间上的线性变换ANV（1）如果，求证，,1XKERFARGKERHA（2）利用上面结论求证（其中为32ERENE上的恒等变换）V（九）设是阶实对称矩阵，且矩阵方程有唯一矩阵解,ACNXCB（1）求证为实对称矩阵B（2）如果为正定矩阵，求证为正定矩阵,B2008中科院高等代数（一）设，其中为阶矩阵，且123123NNXAAAAX12ANCBN，求CB（二）设是阶可逆方阵，AN0AB（1）计算（是整数）KB（2）假设，为阶矩阵，且，求210AC632BCE（三）设是阶矩阵，如果的伴随矩阵不为零矩阵，且N（1）求线性方程组的通解。（2）进一步如果为阶对称矩阵，且每行只有两个非零元素，求3A四设,其中为互不相同的整数，求证存121NFXAXA12,NA在整系数多项式其在有理数域上不可约和整数使得GK2KFXG五设是阶实对称矩阵,而且正定ANA1求证存在正定矩阵使得,而且唯一B2B2如果,求的特征值和特征向量,由此求1中正定矩阵使得65B2A六设，为维空间的子空间,且,则且1V2NV12DIMV12DIV121V,或者而且121212七设为维欧式空间,为欧式空间上的线性变换,若对任意的,有A,A,则称为反对称变换,AA1求证为反对称变换的充要条件是在任意一组标准正交基下矩阵为反对称矩阵2若是反对称变换的不变子空间,求证也是的不变子空间WAWA八设为线性空间,上线性变换称为幂等变换,如果,现设为上的两VA2A12,V个幂等变换求证是幂等变换的充分必要条件是进一步证明12120也是是幂等变换的充分必要条件1210A2009中科院高等代数一填空（1）为上所有三阶矩阵组成的集合,令（其中且为3F3VAF0TRA上三角矩阵），则DIMV（2）为上多项式，且在复数域上无公共根，则，在上,FXGFXFGXF的首相系数为的最大公因式为1（3）设是阶矩阵，则AN23456789A（4）为阶对称矩阵,为其特征值，则的伴随矩阵与对角矩阵相似1,23A（二）不定项选择（三）计算或证明（16）求121NNAXXA（17）为上维线性空间，且为的子空间，证明VF,UWVDIMIDIMIWU（18）为实数域，为上的线性变换，且在基，R3R3R10E，下的矩阵是证明201E310E03（1）若，则是的不变子空间12,WL1（2）不存在的不变子空间，