导数知识点各种题型归纳方法总结 .doc

导数的基础知识一导数的定义00000|LIMLIXXFXFXYFXFYF1函数在处的导数2函数的导数2利用定义求导数的步骤求函数的增量；求平均变化率；00YFXF00FXFXY取极限得导数LIMXY（下面内容必记）二、导数的运算（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式；0C为常数1NX1NNNX1MMNNXX；SINCOSXCSIEL0,AA且；1LLG0,LAAX且法则1；口诀和与差的导数等于导数的和与差FXF法则2口诀前导后不导相乘，后导前不导相乘，间是正号FGX法则320GG口诀分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，间是负号（2）复合函数的导数求法YFX换元，令，则分别求导再相乘回代UFUYGXFUGX题型一、导数定义的理解题型二导数运算1、已知，则2SINFX0F2、若，则SIEFX3AX33X22，则A（）F41319360DCBA三导数的物理意义1求瞬时速度物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，0T0VSFT0T0FT即有。00VFT2VS/T表示即时速度。AV/T表示加速度。四导数的几何意义函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切FX0YFX0,PFX0KFX线方程是。00YFX题型三用导数求曲线的切线注意两种情况（1）曲线在点处切线性质。相应的切线方程是F0,PF0KFX切线00YX（2）曲线过点处切线先设切点，切点为,则斜率K，切点在曲线XYQABFA,QB上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于A,B的方程组，解方F,QAB00FAX程组确定切点，最后求斜率K，确定切线方程。F例题在曲线YX33X26X10的切线，求斜率最小的切线方程；解析（1）当X01时，K有最小值3，3136X|YK200X0此时P的坐标为（1，14）故所求切线的方程为3XY110五函数的单调性设函数在某个区间内可导，YFX（1）该区间内为增函数；0FXFX（2）该区间内为减函数；注意当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）FX的。（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；FX0FX（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数FX在某一区间上单调性步骤（1）求导数Y2判断导函数在区间上的符号X3下结论该区间内为增函数；0FXF该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为FY（1）分析的定义域；（2）求导数XXFY（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间0（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间F题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；X0FX（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；F思路二先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意若函数F（X）在（A，C）上为减函数，在（C，B）上为增函数，则XC两侧使函数（X）变号，即XC为函F数的一个极值点，所以0F例题若函数，若则FLN5,4,3FCFBFAA0,EXA0,EXA,XLNAFX的单调递增区间为LNA,（2）F（X）在R内单调递增，F0在R上恒成立EXA0，即AEX在R上恒成立A（EX）MIN，又EX0，A0（3）由题意知，X0为FX的极小值点0F0,即E0A0,A1例2已知函数FXX3AX2BXC,曲线YFX）在点X1处的切线为L3XY10，若X32时，YFX）有极值（1）求A,B,C的值；（2）求YFX）在3，1上的最大值和最小值解（1）由FXX3AX2BXC,得XF3X22AXB,当X1时，切线L的斜率为3，可得2AB0当X32时，YFX有极值，则F0,可得4A3B40由解得A2,B4由于切点的横坐标为X1,F141ABC4C5（2）由（1）可得FXX32X24X5,XF3X24X4,令XF0,得X2,X32当X变化时，Y,Y的取值及变化如下表X33,2232,1,321Y00Y8单调递增13单调递减2795单调递增4YF（X）在3，1上的最大值为13，最小值为例3当0，证明不等式XX1LN证明XFLN，G，则21XF，当0X时。XF在,0内是增函数，0FXF，即01LNX，又G1，当时，0XG，G在,内是减函数，G，即01LNX，因此，当X时，不等式1LN成立点评由题意构造出两个函数XXF，X1LN利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键七定积分求值1定积分的概念设函数在区间上连续，则FX,AB1LIMNBIABAFDXF2用定义求定积分的一般方法是分割等分区间；近似代替取点；求和N,1,IIIX；取极限1NIIBAF1LIMBIAFDFN3曲边图形面积；0,FXSX0,BASFXD在轴上方的面积取正，下方的面积取负变速运动路程；变力做功21TVDBAWFR4定积分的性质性质1（其K是不为0的常数）BABAXFKDXF性质21212BADFX性质3（定积分对积分区间的可加性）BCBAACFFFC其中5定理函数是上的一个原函数，即则FX,XFXF|BBAAFXDF导数各种题型方法总结（一）关于二次函数的不等式恒成立的主要解法1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在（二）分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。（三）同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决第一步令得到两个根；0XF第二步画两图或列表；第三步由图表可知；其不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种第一种分离变量求最值用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,0,0）第二种变更主元（即关于某字母的一次函数）（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒YFXFXFGX0GX成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数M是常数，43216MF（1）若在区间上为“凸函数”，求M的取值范围；YFX0,3（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值2MFX,ABBA解由函数得4216XF32F23GX（1）在区间上为“凸函数”，YF0,则在区间0,3上恒成立2X解法一从二次函数的区间最值入手等价于MAX0G0329G解法二分离变量法当时,恒成立,0X20X当时,恒成立33GM等价于的最大值（）恒成立，2X而（）是增函数，则HX0XMA32H2M2当时在区间上都为“凸函数”F,AB则等价于当时恒成立230GX变更主元法再等价于在恒成立（视为关于M的一次函数最值问题）2FM223010FXXBA例2设函数,1032312RBAXAXF（）求函数F（X）的单调区间和极值；（）若对任意的不等式恒成立，求A的取值范围,F（二次函数区间最值的例子）解（）2243FAXA01A令得的单调递增区间为（A,3A）,0XFXF令得的单调递减区间为（，A）和（3A，）当XA时，极小值当X3A时，极大值BF43BXF（）由|A，得对任意的恒成立X,2,1X2243A223AAFA3A则等价于这个二次函数的对称轴GXMAXING2243GXA2XA01,A（放缩法）12A即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题单调增函数的最值问题。上是增函数22431,GXA、（9分）MAXIN4于是，对任意，不等式恒成立，等价于2,1A24115GA、又,0点评重视二次函数区间最值求法对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种构造函数求最值题型特征恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型XGF0XGFXH例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，32A1,PB32610TGXTT（）求的值；,AB（）当时，求的值域；4FX（）当时，不等式恒成立，求实数T的取值范围。,XG解（），解得/23FA/13FBA32AB（）由（）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减FX,00,4又14,0,46FF的值域是X16（）令2131,4THFXGXX思路1要使恒成立，只需，即分离变量0H26T思路2二次函数区间最值二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型0XFF或解法2利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（M,N）上是减函数”与“函数的单调减区间是（A,B）”，要弄清楚两句话的区别前者是后者的子集例4已知，函数RAXAXXF14213（）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；GF（）如果函数是上的单调函数，求的取值范围F,2XA1,2解14412AXXF（）是偶函数，此时，XXF3123412XF令，解得0XF3X列表如下,222,222,F00X递增极大值递减极小值递增可知的极大值为，的极小值为F34FFX34F（）函数是上的单调函数，,，在给定区间R上恒成立判别式法21104FXAX则解得24A，02A综上，的取值范围是例5、已知函数32110FXAXA（I）求的单调区间；（II）若在0，1上单调递增，求A的取值范围。子集思想F（I）21XXX1、20,0,A当时恒成立当且仅当时取“”号，单调递增。F在2、1212,FAX当时由得且单调增区间单调增区间,（II）当则是上述增区间的子集0,FX在上单调递增0,11、时，单调递增符合题意A,在2、，0,1,1AA综上，A的取值范围是0，1。三、根的个数问题提型一函数FX与GX（或与X轴）的交点即方程根的个数问题解题步骤第一步画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步解不等式（组）即可；例6、已知函数，且在区间上为增函数231XKXFKXG31F,2（1）求实数的取值范围；K（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围FG解（1）由题意在区间上为增函数，XKX12F,2在区间上恒成立（分离变量法）02F,即恒成立，又，故的取值范围为K1K1KA11X（2）设，3123KXXGXFH112KKX令得或由（1）知，0当时，在R上递增，显然不合题意02XXH当时，随的变化情况如下表H,KK1,K,100X极大值3263极小值2由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需021KFG0XH，即，解得363021KK212K31K综上，所求的取值范围为K3根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数321FXAXC（1）若是的极值点且F的图像过原点，求FX的极值；（2）若2GBD，在（1）的条件下，是否存在实数B，使得函数GX的图像与函数FX的图像恒有含X的三个不同交点若存在，求出实数B的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网解（1）FX的图像过原点，则，0FC3FA又是的极值点，则312AA0XXFF、237FXF、（2）设函数G的图像与函数的图像恒存在含1X的三个不同交点，等价于有含的三个根，即FX1X12FGDB整理得3221B即恒有含的三个不等实根3210XBXBX（计算难点了）有含的根，32110H1X则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，H1、3X220BB11X220XBB十字相乘法分解11X1FX21102XBX恒有含的三个不等实根32110XBXB等价于有两个不等于1的不等实根。2221410B,1,3,B题型二切线的条数问题以切点为未知数的方程的根的个数0X例7、已知函数在点处取得极小值4，使其导数的的取值范围为，求32FXACX0FX1,3（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围F1,PMYFM（1）由题意得3,FBAA在上；在上；在上,0,0F因此在处取得极小值FX014，4ABC2FC2760FBC由联立得，69A3269FXX（2）设切点Q，,TF,YFTT2321969YTXTT过223131TXT21,M26MTT令，90GTM260GTT求得，方程有三个根。,需102312641M故；因此所求实数的范围为,6题型三已知在给定区间上的极值点个数则有导函数0的根的个数FX解法根分布或判别式法例8、解函数的定义域为（）当M4时，FXX3X210X，R1372X27X10，令，解得或F0FX5,令，解得5可知函数FX的单调递增区间为和（5，），单调递减区间为,22,5（）X2M3XM6,要使函数YFX在（1，）有两个极值点,X2M3XM60F的根在（1，）根分布问题1则，解得M3234601MF例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令X4F（X）231XAXF0,ARXFG1（XR）有且仅有3个极值点，求A的取值范围解（1）2F当时，令解得，令解得，0A0XF01X、0XF01XA所以的递增区间为，递减区间为XF,A,当时，同理可得的递增区间为，递减区间为0AXF10A、,10,A（2）有且仅有3个极值点4321GX0有3个根，则或，231AX2X2方程有两个非零实根，所以20A240,A或而当或时可证函数有且仅有3个极值点YGX其它例题（一）最值问题与主元变更法的例子已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是11R32FXAXB）（0A2,1（）求函数的解析式；（）若时，恒成立，求实数的取值范围1,TTF）X解（）322,434FF令0,得X140,1X因为，所以可得下表A2,00,1FX0极大因此必为最大值,因此，0F50）（FB2165,12FAFF即，162AA23X）（），等价于，XXF4320TXF）04T令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，TGG,TX为此只需，即，01（52解得，所以所求实数的取值范围是0，10XX（二）根分布与线性规划例子例已知函数32FABC若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析X10,130XYXF式；当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,F0,2X2,1MBA经过原点的直线L将S分为面积比为13的两部分,求直线L的方程解由,函数在时有极值,2FXAXBF10B1F1C又在处的切线与直线平行,X,30XY故03FB2A7分21FXX解法一由及在取得极大值且在取得极小值,ABFX0,112X即令,则012FF0248MXYBYA故点所在平面区域S为如图ABC,12AYBX2046XYM易得,0A1B2,C0,1D30,2E2ABCS同时DE为ABC的位线,3DEABES四边形所求一条直线L的方程为0X另一种情况设不垂直于X轴的直线L也将S分为面积比为13的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分YKX别交于F、G,则,K1S四边形DEGF由得点F的横坐标为20YX21FXK由得点G的横坐标为46KY64G即OEFDSS四边形DEGF131221KK2650K解得或舍去故这时直线方程为12K58KYX综上,所求直线方程为或12分0X12YX解法二由及在取得极大值且在取得极小值,2FABF0,112X即令,则012F48MXYBYA故点所在平面区域S为如图ABC,AYBX026XY易得,20A1B,C0,1D30,2E2ABCS同时DE为ABC的位线,所求一条直线L的方程为3DEABES四边形0X另一种情况由于直线BO方程为,设直线BO与AC交于H,12YX由得直线L与AC交点为120YX1,2,ABCS12DECS122HABOHSS所求直线方程为或0X12YX（三）根的个数问题例已知函数的图象如图所示。32FABC3ABDA0（）求