2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)专题23_二次函数的应用(实际问题)

2012年全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题）专题23二次函数的应用（实际问题）一、选择题1（2012四川资阳3分）如图是二次函数2YAXBC的部分图象，由图象可知不等式2AXBC5CX5D15【答案】D。【考点】二次函数与不等式（组），二次函数的性质。【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与X轴的另一个交点坐标，结合图象可得出2AXBC。12ST。其实际意义是刹车后到T2时间内的平均速到T1时间内的度小于刹车后平均速度。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析】（1）描点作图即可。（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。（4）求出1ST与2，用差值法比较大小。5（2012江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价X元（X为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元每天最大销售毛利润为多少（注每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）【答案】解根据题意，商场每天的销售毛利润Z（6040X）（203X）3X240X400当B402X6A3时，函数Z取得最大值。X为正整数，且7且且且为数为数为数。（3）由Y10X2700X可知抛物线开口向下，当703521时，利润Y有最大值，此时，销售单价为300010（X10）2750元，答公司应将最低销售单价调整为2750元。【考点】二次函数的应用。【分析】（1）设件数为X，则销售单价为300010（X10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。（2）由利润Y销售单价件数，及销售单价均不低于2600元，按0X10，10X50，X50三种情况列出函数关系式。（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时X的值，确定销售单价。12（2012湖南岳阳10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6DM，锅深3DM，锅盖高1DM（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2（1）求C1和C2的解析式；（2）如图，过点B作直线BEY3X1交C1于点E（2，53），连接OE、BC，在X轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的PBC与BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得EBQ的面积最大若存在，求出Q的坐标和EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由【答案】解（1）抛物线C1、C2都过点A（3，0）、B（3，0），设它们的解析式为YA（X3）（X3）。抛物线C1还经过D（0，3），3A（03）（03），解得A13。抛物线C1Y3（X3）（X3），即Y13X23（3X3）。抛物线C2还经过A（0，1），1A（03）（03），A19抛物线C2Y9（X3）（X3），即Y19X21（3X3）。（2）直线BEY3X1必过（0，1），CBOEBO（TANCBOTANEBO1）。由E点坐标可知TANAOE13，即AOECBO，它们的补角EOBCBX。若以点P、B、C为顶点的PBC与BOE相似，只需考虑两种情况CBP1EBO，且OBBEBP1BC，由已知和勾股定理，得OB3，BE503，BC10。35103BP1，得BP19，OP1OBBP165。P1（，0）P2BCEBO，且BCBP2OBBE，即0BP2303，得BP2509，OP2BP2OB9。P2（9，0）综上所述，符合条件的P点有P1（65，0）、P2（39，0）。（3）如图，作直线L直线BE，设直线LY3XB。当直线L与抛物线C1只有一个交点时13XBX23，即X2X（3B9）0。由（1）24（3B9）0。得37B12。此时，35XY1且。该交点Q2（）。过点Q2作Q2FBE于点F，则由BEY13X1可用相似得Q2F的斜率为3，设Q2FY3XM。将Q2（5且）代入，可得17M。Q2FY3X17。联立BE和Q2F，解得15XY824且。F（12584且）。Q2到直线BEY3X1的距离Q2F3108。当直线L与抛物线C2只有一个交点时13XB9X21，即X23X9B90。由324（9B9）0。得B4。此时，3XY且。该交点Q1（2且）。同上方法可得Q1到直线BEY3X1的距离7104。502750784420，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值提出新问题若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值若有，最大（小）值是多少分析问题若设该矩形的一边长为X，周长为Y，则Y与X的函数关系式为1Y2X0，问题就转化为研究该函数的最大（小）值了解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数1Y2X0的最大（小）值（1）实践操作填写下表，并用描点法画出函数X的图象X143121234Y（2）观察猜想观察该函数的图象，猜想当X时，函数1YX0有最值（填“大”或“小”），是（3）推理论证问题背景中提到，通过配方可求二次函数21SX0的最大值，请你尝试通过配方求函数1Y2X0的最大（小）值，以证明你的猜想提示当X0时，【答案】解（1）填表如下X143121234Y8265456182（2）1，小，4。（3）证明2222111YXXX4，当0时，Y的最小值是4，即X1时，Y的最小值是4。【考点】二次函数的最值，配方法的应用。【分析】（1）分别把表中X的值代入所得函数关系式求出Y的对应值填入表中，并画出函数图象即可。（2）根据（1）中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可。（3）利用配方法把原式化为平方的形式，再求出其最值即可。14（2012四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨X元（X为整数），每个月的销售利润为Y元，（1）求Y与X的函数关系式，并直接写出X的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大月利润是多少元【答案】解（1）设每件商品的售价上涨X元（X为正整数），则每件商品的利润为（6050X）元，总销量为（20010X）件，商品利润为Y（6050X）（20010X）10X2100X2000。原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，0X12。（2）Y10X2100X200010（X5）22250，当X5时，最大月利润Y2250。答每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出Y与X的函数关系式。（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当X5时得出Y的最大值。15（2012辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元设每件玩具的销售单价上涨了X元时（X为正整数），月销售利润为Y元（1）求Y与X的函数关系式并直接写出自变量X的取值范围（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大最大的月利润是多少【答案】解（1）依题意得2Y30X2301X130X自变量X的取值范围是0X10且X为正整数。（2）当Y2520时，得21X30250，解得X12,X211（不合题意，舍去）。当X2时，30X32。每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。（3）22Y10X301X657A100当X65时，Y有最大值为27225。0X10且X为正整数，当X6时，30X36,Y2720，当X7时，30X37,Y2720。每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润。最大的月利润是2720元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。【分析】（1）根据销售利润销售量销售单价即可得Y与X的函数关系式。因为X为正整数，所以X0；因为每件玩具售价不能高于40元，所以X403010。故自变量X的取值范围是0X10且X为正整数。（2）求出函数值等于2520时自变量X的值即可。（3）将函数式化为顶点式即可求。16（2012河北省9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位CM）在550之间每张薄板的成本价（单位元）与它的面积（单位CM2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据薄板的边长（CM）2030出厂价（元/张）5070（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40CM的薄板，获得的利润为26元（利润出厂价成本价），求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大最大利润是多少参考公式抛物线YAX2BXC（A0）的顶点坐标为2B4AC且【答案】解（1）设一张薄板的边长为XCM，它的出厂价为Y元，基础价为N元，浮动价为KX元，则YKXN。由表格中的数据，得502KN73，解得K210。一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式为Y2X10。（2）设一张薄板的利润为P元，它的成本价为MX2元，由题意，得PYMX22X10MX2，将X40，P26代入P2X10MX2中，得2624010M402，解得M125。一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式为21PX05。A1250，当XB21A5（在550之间）时，P最大值2240ACB315。出厂一张边长为25CM的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案。（2）首先假设一张薄板的利润为P元，它的成本价为MX2元，由题意，得PYMX2，进而得出M的值，求出函数解析式即可。利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可。17（2012黑龙江大庆6分）将一根长为16厘米的细铁丝剪成两段并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为1R和2（1）求R与2的关系式，并写出R的取值范围；（2）将两圆的面积和S表示成1R的函数关系式，求S的最小值【答案】解（1）由题意，有2R12R216，则R1R28。R10，R20，0R18。R1与R2的关系式为R1R28，R1的取值范围是0R18厘米。（2）R1R28，R28R1。又222211111SRR8R6R4R3，当R14厘米时，S有最小值32平方厘米。【考点】二次函数的应用。119281【分析】（1）由圆的周长公式表示出半径分别为R1和R2的圆的周长