高微习题答案

1高微一CH1习题参考答案（1067）证明如图图中实线部分是一条无差异曲线，它由一个粗实线的“线性部分”和曲实线的凸向原点部分组成，整条曲线所表示的偏好集满足公理1、2、3、。（）证明满足公理在曲线上任取两点X1与X2，它们是无差异集上两个不同点，皆与X0无差异，显然会有X1X2，XT是这两点的凸组合，且它位于X0的东北方向，所以XTX2。得证。（）证明破坏了公理在“线性部分”任选取两点X1和X3，其凸组给为XP，与X1和X3位于同一条直线，所以XPX3,并不能得出XPX3的结论。故而破坏了公理。111如果NULLNULL是连续的，那么，定理11证明中定义的A与B集是的闭子集。参考公理3。112设,1XU2,X与,1X2X是效用函数。（A）证明如果,1XU2,X与,1X2X均为R次齐次的，那么，,1XS2X）,1XU2,X,1X2X也为R次齐次的。（B）证明如果,1XU2,X与,1X2X是拟凹的，那么，XXM,12X）MIN,1XU2,X,1X2X也是拟凹的。证明（A）,1XU2,X与,1X2X是R次齐次的。X1X2X2X1XTX0XPX3OSEASONINTHESUN淘宝店2RK,1XU2,X1KXU，2KX），RK1XV，2X）1KXV，2KX）1KXS，2KX）1KXU，2KX）1KXV，2KX）RK,1XU2,XRK1XV，2X）RK,1XS2X）得证。（B）113（A）对于两异点1112221212,XXXXXX，总有12121122,XXXX或，则必有1221XXXXNULLNULLNULLNULL或，但绝无1221XXXXNULLNULLNULLNULL和同时成立，故其无差异曲线退化为单个点。（B）不能，因为偏好本身就不连续。例如，1111,111,11122MMMMNMXXXNULLNULL1故，而，2114证明设U（）可表示NULLNULL。则121212,UUXXXXXXNULLNULL（1）1212,XUURXXXX。故总有1221UUUUXXXX或那么，1221XXXXNULLNULLNULLNULL或成立，完备性得证SEASONINTHESUN淘宝店3（2）123,XXXX，并且假定1223,XXXXNULLNULLNULLNULL所以，由题意知1223,UUUUXXXX成立。那么，1313UUXXXXNULLNULL。传递性得证（3）设01,MMMXYXYXMXXXNULLNULL且并且当时下面证0XX1LIMMMMMMMXUUXUUXXXX，即，0LIMMMUUUXXX所以，0XXNULLNULL。则0XX，即X是闭集。连续性得证。115证明（1）当000,NYBXPXR时，显然是紧凸集当0Y时，设12,BXX，则有12,YPYPXX令121TTTXXX则，1212111TPTTTPTPTYTYYPXXXXX所以，,TBBX故是凸集（2）设0LIM,MMMMBPYXXXX且则由于PX是连续函数，则LIMMMPYX，即0PYX。所以，B是闭集。由于0,01IPINPNULL则令12MAX,0NYYYRPPP则,XBRRRXBNULLNULL有即是有界集。综上，由NBR，并且为有界闭集，所以可得B是NR上的紧集。116证明由115题证明可知，预算集B为凸紧集。SEASONINTHESUN淘宝店4由WEIERSTRASS定理（即定理A110）该定理保证在非空凸紧集B上的连续实值效用函数UX存在极值。根据假设12，效用函数UX为严格拟凹，且严格递减，因此，该函数存在极大值。假设极大值不唯一，即存在X1,X2,XNB，对于所有XB，XI（I1,2,N）均为最优选择，由题，BXXRN，PXY，由于偏好关系严格单调，N个极大值X1,X2,XN必满足等式预算条件，即PX1YPX2YPXNY则X1X2XNXY/P也就是说，XB,且对于所有XB,XX亦即X为唯一极大值，且满足YPX的条件。117若偏好关系是严格凸的假设存在,UPHX，,UPHX，XX，且UXUXU取（0，1），令1“XXX则11“PXPXPXXPXXPPX又偏好关系是严格凸的，所以“XX；“XUXU，这与,UPHX相矛盾故,UPH是单值，即唯一解。若偏好关系是凸的设,UPHX，,UPHX则PXPX，UXU，UXU取（0，1），令1“XXX则同上11“PXPXPXXPXXPPX偏好关系是凸的UUUXUXUXXUXU111“即,“UPHX亦即,UPH是凸集，不必是唯一解。118解根据要求，UX是严格拟凹的，因此两物品的12MRS递减，无差异曲线凸向原点，这时，X和Y具有一定的替代关系。但当X和Y趋于完全替代时，无差异曲线和预算线无切点，而只能得到角解。SEASONINTHESUN淘宝店5当无差异曲线的斜率大于预算约束线的斜率时，即1122/UXXPUXXP，即1122PMRSP时，如图所示，消费者问题的解X位于横轴上，这时，10X并且20X，它表示此时的最优解是一个边角解，此时消费者将全部收入都购买1X，并由此达到最大的效用水平。119定理12效用函数对正单调变换的不变性证明已知NULLNULL是NR上得一个偏好关系，XU是一个代表此偏好关系的效用函数。在NR中取两点21,XX，令1XNULLNULL2X，21XUXU。又RF在U所确定的值集上是严格递增的，,21XUFXVXUFXUF，21XVXVXV也代表偏好关系NULLNULL。120假定偏好可以由COBBDOUGLAS效用函数11112,UXXAXX表示，其中010A和，假定一个内点解可以解决效用极大化问题，求出MARSHALL需求。解111122,LUXXYPXPX1121122AXXYPXPXFOCL/X1AX11X21P101L/X2A1X1X2P202L/YP1X1P2X203X1/P1YX2Y1/P21212X1XOSEASONINTHESUN淘宝店6解拉格朗日函数为LN1LNLN,22112121XPXPYXXAXXL因为只有一个内点解，库恩塔克条件正好和普通的拉格朗日一阶条件一致，所以得到以下方程0111PXXL（1）01222PXXL（2）02211XPXPYL（3）由（2）除以（1），得12211PPXX（4）2211XPXPY（5）将（4）代入（5），得221PYX（6）将（6）代入（5），得11PYX（7）马歇尔需求函数为11PYX，221PYX由于效用函数对于正的单调转换不变，所求得的结果与第20题的结果相同。122MAX,00NXIIIUXPXYXUXYPXUXPXXYPXNULLIII受约束于LNULLLSEASONINTHESUN淘宝店7MAX,00NXIIIIIVXFUXVXPXYXVXYPXVXUXPFUXPXXXYPXXNULLIII如果取受约束于显然，这只会影响的取值，不会影响的取值。LNULLL123证明如果NURR可以表示偏好关系NULLNULL，则有（1）U是严格递增的，当且仅当NULLNULL是严格单调的。（2）U是拟凹的，当且仅当NULLNULL是凸的。（3）U是严格拟凹的，当且仅当NULLNULL是严格凸的。证（1）必要性如果12XX，依据U是严格单调的，则有12UXUX，又NURR可以表示偏好关系NULLNULL，则12XXNULLNULL；如果12XXNULL，则有12UXUX，有12XXNULLNULL且21XXNULLNULL（若21XXNULLNULL，则12UXUX矛盾），因此可推出NULLNULL是严格单调的。充分性如果21XX，则由NULLNULL是严格单调的可得12XXNULLNULL，从而12UXUX；如果12XXNULL，则由NULLNULL的严格单调可知12XXNULLNULL，但21XXNULLNULL，故12UXUX，但12UXUX，知12UXUX，故U是严格单调的。得证。2必要性121212,1,0,1TXXXXXXTXTXTNULLNULL设由12XXNULLNULL知，12UXUX，再由U是拟凹的，122MIN,TUXUXUXUX故2TXXNULLNULL。充分性1212,1,0,1TXXXXTXTXT由“NULLNULL”的完备性，1221,XXXXNULLNULLNULLNULL两者中必有一个成立。不失一般性，设12XXNULLNULL，得2TUXUX，又由于NULLNULL的凸性，可得出212MIN,TUXUXUXUX。所以U是拟凹的。得证。（3）SEASONINTHESUN淘宝店8必要性121212,1,0,1TXXXXXTXTXTNULLNULL，因为U是严格拟凹的，故122MIN,TUXUXUXUX，故2TXXNULL。充分性12XX，下证12MIN,0,1TUXUXUXT12XX，令12XXNULLNULL，则2212MIN,TTXXUXUXUXUXNULL。得证。125一个具有凸的、单调偏好的消费者非负数量的1X和2X。（A）如果121212,UXXXX代表其偏好，那么，对参数值的取值有什么限制请解释。（B）给定那些约束，计算马歇尔需求函数。（A）SEASONINTHESUN淘宝店9（B）TOCALCULATETHEMARSHALLIANDEMANDFUNCTIONSX1,X2WEUSETHELAGRANGEMULTIPLIERLX1X21/21X12X2FIRSTORDERCONDITIONFOCL/X1X11X21/2103L/X21/2X1X21/2204YP1X1P2X205SEASONINTHESUN淘宝店10DIVIDING3BY4WEOBTAIN,X2/1/2X1P1/P2X21/2/1/2X16SUBSTITUTING6INTO5,WEOBTAIN,X12/1X212/2126121,0YXXPFIVEDIFFERENTCASESX1X2U0U1SEASONINTHESUN淘宝店11SEASONINTHESUN淘宝店121291记00201212,FYVPPRVPPYV任取0012,PPFYV，设在012,0,PPYNULL的条件下，,XPY解决了上述效用极大化的问题。对于012,VPPYV，两边关于12,PP全微分1212,0PPVPYVPYDDPP211112220PPVVDVPPYXROYVVDVPXPY，P,YTP,TY，但TP,TYMAXUX,TPXTY受约束于，这等价于MAXUX,PXY受约束于。由于在不影响满足它的消费束集合的条件下，我们用0T去除约束条件两边，故得到TP,TYMAXUX,PXYP,Y受约束于。因此，可以得到性质2与UX是否严格递增没有关系。SEASONINTHESUN淘宝店15性质3的命题会发生改变。在性质3的证明中，当UX严格递增时，,MAXPXYNXRVPYUX受约束于P1对于P1式的拉格朗日函数是,PXLXUXYP2。现在，对于P,Y0，令X,XPY为P1的解。依附加的假设X0，因此，可应用拉格朗日定理得出存在一个R，使得如下式子成立的结论,0,1,IILXUXIXXPIN由于根据UX是严格递增的，可以得到IP与/IUXX是正的，故0。依据包络定理，定理A221，即最大值函数,VPY关于Y的偏导数等于拉格朗日函数关于Y的偏导数，即它在,X处取值，,0VPYLXYY，因此，,VPY关于0Y是递增的，由于V是连续的，因此，它关于0Y是严格递增的。但是当取消UX严格递增的条件时，/IUXX的符号可能为正，也可能为负，因此的符号也不确定，故不能判断,VPY关于0Y是递增还是递减的。性质4的命题会发生变化。与性质3的证明类似，对于P1式的拉格朗日函数是,PXLXUXYP2。现在，对于P,Y0，令X,XPY为P1的解。依附加的假设X0，因此，可应用拉格朗日定理得出存在一个R，使得如下式子成立的结论,0,1,IILXUXIXXPIN由于根据UX是严格递增的，可以得到IP与/IUXX是正的，故0。依据包络定理，定理A221，即最大值函数,VPY关于P的偏导数等于拉格朗日函数关于P的偏导数，即它在,X处取值，,VPYLXPPX，因此，当取消UX严格递增的条件时，/IUXX的符号可能为正，也可能为负，因此的符号也不确定，故不能判断,VPY关于P是否为递SEASONINTHESUN淘宝店16减的。性质5的命题不会变化。设12TBBB与是价格与收入分别为11,PY、22,PY与,TTPY时的可利用预算集。这里121TPTPTP与121TYYTY。那么111BXPXY222BXPXYTTTBXPXY我们假设消费者在TB上获得的效用水平将不会大于在12BB和两种效用水平中最大的一个。即,VPY关于,PY是拟凸的。现在假设这些情况不存在。那么，我们可发现存在0,1T及一些TXB，使得1XB与2XB。如果1XB与2XB，则11PXY并且22PXY，由于0,1T，我们能给第一个不等式乘T，给第二个不等式乘1T，并保护这些不等式以便获得11TPXTY和2211TPXTY，将它们相加，我们得到121211TPTPXTYTY或者TTPXY最后一个不等式表明TXB，这同我们先前的假设相矛盾。因此，我们得到如果,/,112,/,/,IVPYPLXOOIIIIVPYYPXXXXRVPYUXPVPYPXXPYXNULLNULL，那么，对于所有0,1T，12XBXB或。依照我们先前的讨论，我们能得到，,VPY关于,PY是拟凸的。从证明过程中可以看到，性质5命题与UX严格递增的条件没有关系，因此当取消UX严格递增的要求时，性质5不会发生改变。性质6不会发生改变。罗伊等式说明消费者对物品I的马歇尔需求只是间接效用函数关于IP的偏导数与其关于Y的偏导数的比率只不过改变了符号。我们可以设X,XPY是P1的严格为正的解，此时必存在满足P3的。应用包络定理去估算,/IVPYP，从而给出,VPYLXPPX，因此可变换为,/,/,IVPYPIIVPYYXXPY，因此可以得到性质6的得出与UX是否严格递增没有关系，因此该命题不会发生变化。下面用两物品情形说明我的论断。在原公理4下，如果1OXX，那么1OXXNULLNULL。若不要SEASONINTHESUN淘宝店17求，则说当1OXX，有1OXXNULLNULL存在。考虑两种物品的极端条件，在2R中对所有组合的偏好是一致的，则此时无论Y与P如何变化，,VPY总是不变的。132设,VXY是一些行为者的间接效用函数。表明，需求行为对,VXY的任意的、正单调转换不变。计算这种间接效用的任何转换本身可当作行为者的间接效用函数。证明根据定理12，效用函数对正单调转换具有不变性，即对于每个X，当且仅当VXFUX，在由U所确定的值集上是严格递增的，那么，VX也代表偏好关系NULLNULL。设,VXYFUXY，那么因为效用函数,UXY是单调、严格拟凹的，所以存在反函数，即1,UXYFVXY，即可视1,FVXY为,VXY的转换，设,WXYFUXY，则，,WXY为效用函数,UXY的正单调转换，也可以表示偏好关系，则1,WXYFFVXYVXY，可得间接转化本身可当作行为者的间接效用函数。133参考课上讲的反证法。134由证明性质5完成定理17的证明。证明因为,HEPUPXPU，则,HETPUTPXTPU考虑HICKS需求,HXTPU为满足效用U条件下支出函数最小化问题的解。而12,PP是同比例（T）变动的，所以预算线束的斜率未变，为12/PP，根据图115，可得,HXTPU,HXPU，所以,HHETPUTPXTPUTPXPUTEPU。135（A）0,MAXNXRVPPXUX，受约束于0PXPX，因此0X也在可行集内0000MAX,NXRUXUXVPPX即0000,VPPXVPPX（B）因为0PNULL，0000,VPPXVPPX，所以FP在0PP处最小化。（C）其梯度值必定为0。（D）FP在0PP处梯度值为0，即SEASONINTHESUN淘宝店1800000000000000,0,/,1,/IIVPPXVPPXXPPVPYPXPYINVPYYIIIINULL罗伊等式136完成下列步骤，提供对谢泼得引理的另一种证明。（A）利用E的定义，证明如果00PNULL，并且000,HXXPU，那么，对于所有的00PNULL，00,EPUPX，并且当0PP时，该不等式以等式成立。（B）得出这样的结论，即在0PP时，0,FPEPUPX在NNULL上实现了最小化。（C）假设在0P处F是可微的，在0P处，其梯度取什么值（D）设,EPU关于P是可微的，利用（A）至（C）部分证明谢泼德引理。证明（A）根据E的定义，有,MINNXREPUPX，约束条件为UXU，如果,HXPU为该问题的解，那么在价格为P时获得效用U的最小支出为,HEPUPXPU。由题目条件可知，如果00PNULL，并且000,HXXPU，因为0X为效用为0U时可得到最小支出，所以有00,EPUPX。当0PP时，0000,EPUPX。得证。（B）由（A）的结论可知，当0PP时，0000,EPUPX，所以00000,0FPEPUPX因此在NNULL上实现了最小化。（C）因为F在0P处可微，其梯度为0000,FPEPUXPP（D）由（A）、（B）、（C）可知，因为,EPU关于P是可微的，所以有,HEPUXPUP，即谢泼德引理得证。137证明支出函数R/1R2R1UU,PEPP，1/R当U取最小值，即U0时，显然有EP，00。对定义域上任意一点00U,P，由于SEASONINTHESUN淘宝店19U,PELIMU,PUP,00U,PEPPUPPULIM00R/1R20R100R/1R2R1U,PUP,00因此EP，U在定义域上连续。UUPE,0PPR/1R2R1因此，0P，EP，U严格递增且关于U无上界。RUUPEPI1,1R/121PPRRPRIR1U1R/121PPRRPRI1,0I1，2。因此EP，U关于P是递增的。对于任一正数,UP,EPPUPP,ER/1R2R1R/1R2R1UUP因此EP，U关于P是一次齐次的。设PP21,为任意两个正价格向量，T0，1，且121PPPTTT且设XI最小化了价格为PI时获得效用U的支出I1，2，X最小化了价格为PT时获得U的支出。这样，对于任何其他可获得效用U的消费束X，由支出函数的定义，必有,222111XXPXPPXP同理有,222111XPXPXPXP由此T1,2221111XPXPTXPXPTTT12122111XPXPXPXPTXPTTT即有TE1,0,1,21TUEUETUPPPT由PIUPE,U1R121PPRRPRI1，I1，2刚好是与该效用函数对应的希克斯需求函数。138在NULLNULL是完备、传递、连续、严格递增、严格凸的情形下，证明,HXPUXPEPU证明记HX,HXPU解决了在价格P下，达到效用U的最小支出问题，令,YEPU，下面证明HX还解决了在,PY约束下效用极大化问题。依以上假设有HUXU，HYPX，且有,VPYU，倘若,HVPYUUX，根据,VPY关于Y连续，且严格递增，0，SEASONINTHESUN淘宝店20使得,VPYU，这说明，只要Y的钱就足以达到效用水平U，这与,YEPU相矛盾，故只有,VPYU，因此HX解决了P,Y约束下消费者效用最大化的问题，而NULLNULL是严格凸的，即U是严格拟凹的，解决效用最大化问题的解只有一个，那么,HXPUXPEPU。139利用罗伊等式与定理A26给出另一个证明，即XI（P，Y）的关于价格与收入是零次齐次的。证明要证,IXPY关于价格与收入是零次齐次的，即要证明,IIXTPTYXPY由罗伊等式,/,/IIVPYPXPYVPYY则,/,/IIVTPTYPXTPTYVTPTYY由定理A26有11KFTXFXTXX（其中FX为K次齐次）又根据定理16知，,VPY是0次齐次的，故有1,IIVTPTYVPYTPP1,VTPTYVPYTYY所以,/,/IIVTPTYPXTPTYVTPTYY11,/,/ITVTPTYPTVTPTYY,/,/IVPYPVPYY,IXPY证毕。140参考定理17和定理A26141根据定理19可得关系式,HIIXPUXPEPU，对该式的两边求关于IP的微分得SEASONINTHESUN淘宝店21,HIIIIXPYXPUXPYXPYPPYI,J1,2,N根据定理112,0HIIXPUPI1,2N命题1“一种正常品其自身价格的下降将会引致其需求量的增加”证明若商品是正常品，则,0IXPYY由可得,0IIXPYP由及,0IXPY可得,0IXPYY0故商品2是正常品144X0XP0,Y0，XSP,X0XP,PX0，U0UX000000000000000,0,SIIIHHIIHIIHIXPXXPYYXPYPYPPXPUYXPUYPPYXPUPPXPUPIII145证明10,1,2,3NIJIJINNULL证明根据,XPY的零次齐次性有,0XTPTYXPYT进而,1,2,3XTPTYXPYINNULL由定理A27，0IIXXPY即10IIJJJXXPYPY两边再同除以IX有10JIIJJIIPXXYPXYX即10,1,2,3NIJIJINNULLSEASONINTHESUN淘宝店23高微一CH1习题参考答案4667146证明（1）由于UI是线性齐次效用函数，则0UTXTUXT00,MINEPUPXSTUXU当00U时，000000001,MIN1MIN11,1,1XXXEPUPSTUUUPXSTUXEPUEPUEPUUEP即当00U时，0,00,1EPUEP，综上，,1EPUUEP（2）,MAX1,MAX1,MAX1,MAX1,1,1XXXXVPYUXSTPXYXVPYYUXSTPYYXXVPYYUSTPYYVPYYUXSTPXVPYYVPVPYVPY改写为即即即偏导数只与P有关，与Y无关。147SEASONINTHESUN淘宝店24,110,0IIIIEPUKUGPEPVPYKVPYGPYDKVPYVPYGPDKDUYYGPDUGPKVPYDKVPYGPVPYGPKVPYDKDUGPDUPPP根据罗伊等式,IIGPPYKVPYXP得,IIIPYDKVPYGPYDUYDKVPYYDUYKVPYXP将,1DKVPYDUYGP代入，得1I148（A）根据古诺加总公式NIJIJINISS1,1,NULL1111212SSS经计算得221（B）成立，因为与价格无关。149证明1）根据罗伊恒等式知YYPVPYPVYPX/,/,，而,/,YPXGPAGPYPV；YYGYYGYYPV1/,1故，1,YPYYPPYYPXYYYPXYYGYPXGYPX0GG是正得单调函数，因此由于其收入弹性为111/,YPYYYPYYPXYYYPXX命题得证。SEASONINTHESUN淘宝店252）由于G是正的单调函数，因此具有相同的偏好关系，与1,1YYPAYPV令00,11,0,LNLN0PPPPPYYYYXPPPPAPAPAPAPXYDXYDXYDYXYDDYPP的价格由变为且则消费者效用的变动可表示为由于此结果说明消费者效用满足预算约束的最大化效用随着消费品的价格升高而减小。150考虑效用函数21221121,XXXXU（A）计算需求函数,21YPPXI（B）计算斯卢茨基方程中的替代项（C）将21XX与化分成总的补偿或替代项解（C）02,2211PPYUPXH是替代的21,XXSEASONINTHESUN淘宝店26151证明,IIXPYYYXPY，有,1,IIXPYYYXPYY对不等式,1,IIXPYYYXPY两边求由0Y到Y的积分，左边为0000LNLNLNLNYYYYYDYYYYYY右边为000,1LN,LN,YYIIIYYXPYXPYYXPYYXPYXPY00,LNLN,IIXPYYYXPY，即有00,IIXPYYYXPY对不等式,1,IIXPYYXPYY两边求由0Y到Y的积分，左边为00,1LN,YIIYIIXPYXPYYYXPYXPY右边为0000LNLNLNLNYYYYYDYYYYYY00,LNLN,IIXPYYXPYY，即有00,IIXPYYXPYY000,IIXPYYYYXPYY152（A）SEASONINTHESUN淘宝店27B也是相同的。SEASONINTHESUN淘宝店28154设1NIIIUXFX它是严格凹的，且对于所有I，0IIFX。消费者面临固定价格0PNULL，并且有收入0Y。设,0XPYNULL。（A）表明如果一种物品在,XPY处表现为递增的边际效用，所有其他商品在那里必须程序递减的边际效用。（B）证明在,XPY处，一种物品表现为边际效用递增的而其他所有商品编写为边际效用递减的，那么，这个物品是正常品，则另一些物品则为低档品。SEASONINTHESUN淘宝店29（C）表明如果一切物品在,XPY处呈现边际效用递减的，那么，所有物品是正常品。证明（A）1NIIIUXFX令IIIIUUFXXNULLIIIIIIUUFXXNULL0IIJJUUXNULL（JI），则UX的海赛矩阵为“1“2“000000NFFHXFNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL由于UX是严格凹的，Z满足0UXZI。必有“210NIIIIZHXZFXZ，则“20IIIIRFXZ，0IIU），则,PYPY，I为低档品，故其他1N种产品为低档品。（C）假设至少有一种产品为低档品，无妨设第R种为低档品。当价格P不变，收入由Y上升到Y时，则有,RRXPYXPY而由包络定理可知,RRXXPYUXXPYP由于0RRU（IR）故1,2,INNULL，,IIXPYXPY,IIPXPYYY0,I。为使这个函数成为一个合理的支出函数，12,ZPP必须满足什么条件解一个函数成为支出函数，必须满足的性质有7条1当U取U中的最低效用水平时，,0EPU。即0UX时，,0EPU。SEASONINTHESUN淘宝店35这样因为0PNULL，则12,ZPP0。2在定义域NUNULL上连续。因为3MP是连续的，且UI也是连续的，那么要使,EPU也连续，必然有12,ZPP也连续。3对于所有0PNULL，支出函数关于U严格递增且无上界。因为3MP0M是严格递增的，且UI也是严格递增的，那么12,ZPP也必须严格递增。4关于P是递增的。因为123,1,2MIIZPPEPUPUIPP。则要使,EPU关于P是递增的，必须12,ZPP关于12,PP是递增的。5关于P是一次齐次的。要使123123,MMETPUZTPTPTPUTZPPPUTEPU即123123,MMMTZTPTPPUTZPPPU，则有11212,MZTPTPTZPP，即要求12,ZPP关于12,PP是（1M）次齐次的。6关于P是凹的。CONCAVEINP21221,0ZPPP,AND21222,0ZPPP7如果UI是严格拟凹的，我们便有SHEPHARD引理0000,1,HIIEPUXPUINP根据包络定理,HIIIIEPULXXXPUPP。这样12,ZPP满足这样的性质。159设1,XPY与2,XPY在00,PY处有相等的收入弹性，请表明在00,PY处，则有1221XXPP。SEASONINTHESUN淘宝店36证明由于1,XPY与2,XPY在00,PY处有相等的收入弹性，有12122112XXXXYYXXYXYXYY由斯卢茨基方程和定理114对称性替代项在00,PY有111222212211HHXXXXXXPPYPYP161依据希克斯第三定理1,0HNIJJJXPUPP，1,INNULL；或等价于如下的弹性形式10NHIJJ，1,INNULL。证明此式，并且用一个具有在习题153中具有N种物品的柯布道格拉斯效用函数的消费者来验证它。证明由定理114对称性替代项，可知HHJIJIXXPP。由斯卢茨基方程和定理117，有SEASONINTHESUN淘宝店371,0HHNJJJIJJJIJJJJJIIJJJJIIJIJIJJIIIIJIIXXXXPUPPPPPPPYXPXXPYXPPXYPYYYSXSXPP且111,1/,0,HHNNNJIIIJIJHJJJJIJPXPUXPUXPUPPXPUP162在价格为处8,P，效用最大化消费者的需求方才组的替代矩阵是212AB找出A、B与P。解在效用极大化条件下，替代矩阵的对称性，有2B依据替代矩阵的定义有118,128,228,212HPHPHPXAPXPXP又由希克斯第三定理有111222128080HHHHXXPPPXXPPP即82012802APPIIII解得832AP163SEASONINTHESUN淘宝店38（A）正确。JIJIJJIJ,YLNXLNYLNXLNXY0XX110XX11IIJJIIXIJXXXXXXIIII与无关，则与无关对求导，YY即YY即YYJIIJIJXXYYYXYXNULL，由定理117，有1IIIISSS（B）正确。,II常数，则有111NNIIIIISS（C）错误。,MAX1,MAX1,MAX1,MAX1,1,1XXXXVPYUXSTPXYXVPYYUXSTPYYXXVPYYUSTPYYVPYYUXSTPXVPYYVPVPYVPY改写为即即即偏导数只与P有关，与Y无关。164证明1充分性根据间接效用函数的定义可知,MAXVPYUXSTPXY构造其对应的拉格朗日函数,LXUXYPXSEASONINTHESUN淘宝店39因为,1XPYYXP，这里,11/XPP，YY，所以2,1,1,1,11,1LUXPYXPXPYXPPYPXPPPUXPYPXPA,1,LUXPYYYPXPYYYYUXPYYB因为/,LLXPYPY，由AB有2,0,1UXPYUXPYPXYXC又效用函数可微，则由ABC及约束条件可得,1,1,1,100,YPUXPYYUXPYXPDUXPYDDYYXPPUXPYUXPYYYXPUXPY根据EULER定理可知效用函数,UXPY具有零次齐次性。2必要性因为效用函数零次齐次，所以,0VPYVPYPYPY联合罗伊等式,/,VPYVPYXPYPY，可得,/XPYYP显然，需求函数乘法可分且具有,1XPYYXP的形式根据效用最大的约束条件可知,11/XPP。165证明1根据支出函数一阶齐次性可得SEASONINTHESUN淘宝店4011100000,PPEPUEPUEPU又根据支出函数关于P递增的性质可知当101000,PPPXPX，即生活成本增加时，1000,EPUEPU01010,/1IPPUPP同理可证当生活成本降低时，010,1IPPU时，有1111100000YPXPXXYPXP根据效用函数的严格递增性，可得10UXUX，即消费者的福利增加。同理可证当10YIY这等价于对所有,UXPYUXTPTY0T由于在与处的预算集是相同的，当其他的消费束被选择时，,PY,TPTY,XPY与,XTPTY中的每个均是可行的。因此，先前的等式与的严格拟凹性就说明U,XPYXTPTY对所有0T因此，这表明,XPY的预算平衡性与齐次性在它们彼此并不隐含对方的意义上是互不关联的条件。1SEASONINTHESUN淘宝店2SEASONINTHESUN淘宝店24（A）证由偏微分方程组得,IIETPUXTPETPUTP（1）,IIEPUXPEPUP（2）因为,IIETPUEPUTPP（3）所以,IIXTPETPUXPEPU（4）根据预算平衡性有,ITPXTPETPUETPU（5）,IPXPEPUEPU（6）故,ETPUTEPU（B）证因为,IIXTPETPUXPEPU（1）,ETPUTEPU（2）所以由（1）（2）式得,IIXTPTEPUXPEPU即XP,Y关于（P,Y）是零次齐次的。3SEASONINTHESUN淘宝店4SEASONINTHESUN淘宝店5SEASONINTHESUN淘宝店6SEASONINTHESUN淘宝店7SEASONINTHESUN淘宝店28THECONSUMERBUYSBUNDLEXIATPRICESPI,I0,1SEPARATELYFORPARTSATOD,STATEWHETHERTHESEINDICATEDCHOICESSATISFYWARPAP01,3,X04,2P13,5,X13,1X0X1P0106P122148SEASONINTHESUN淘宝店P0X1P1X12214YES,SATISFIESWARPBP01,6,X010,5P13,5,X18,4X0X1P04032P15544P0X1P1X15544YES,SATISFIESWARPCP01,2,X03,1P12,2,X11,2X0X1P055P186P0X1P0X055YES,SATISFIESWARPP1X0P1X186YES,SATISFIESWARPDP02,6,X020,10P13,5,X118,4X0X1P010060P111074P0X1P1X111074YES,SATISFIESWARP299SEASONINTHESUN淘宝店1111111212112212112111112111222222,0Y,0,1,1XPYXTPTYXPYXPYXPYXPYXPPPPPXPYPXPYYXPYXPYXPYPPPPXPYXPYPPYYXXXXPPXPYPP因为零次齐次，则有）对有代入下式，1XY222221121112XXXPPXXXPPYPY10SEASONINTHESUN淘宝店211N,XPYR关于零次齐次,PY证明WARP在上被满足（P,Y）WARP在RP,1P则（P,Y）（P,Y）NR分别选择X（P,Y），X（P,Y）若,PXPYPXPY且,XPYXPY要证,PXPYPXPY由,PXPYPXPY,PPPXPYPXPYXPYXPYYY,1,1PPPPXXYYYY,1,1PPXXYY由,1NPPR上WARP1,1,PPPPXXYYYY,1,1PPPXPXYY,PXPYPXPY11SEASONINTHESUN淘宝店213SG111,|0,1NNNIIIAPAPPPNULLNULL当时，满足的2N11NIIPIP有无穷多个，因此G中的元素也有无穷多个。12SEASONINTHESUN淘宝店214如果无法根据偏好进行排序，必定以下两种可能1,NANULLNULLA（1）无法比较与IAJA的大小（1,IJIJN且）（2）产生了顺序循环，即1,NANULLNULLAA,1,IJJKKIAAAAAAIJKIJKN且（1）可由完备性排除；（2）可由传递性排除。因此，可根据偏好进行排序，一定存在最不被偏好的元素和最受偏好的元素。1,NANULLNULL215当1时，13,1GAAA2NULL矛盾当0时，13,1GAAA2矛盾因此，必严格取0与1之间的值。216假定出猎有N种结果，并且123NNULLNULLNULL，其中N代表死亡；根据公理G3,对于任何一个赌局G，存在一些概率0,1A，使得G1,1NAA；根据公理G4，当时，有0,1A11,1,0,1NNAANULL，但存在较小死亡概率的活动比无死亡的活动更受偏爱，即当（1）0且较小时，有A11,1,1,0NNAANULL，矛盾。217假设且111,1NGAPAP（）122,1NGAPAP（），即有111,1NAPAP（）122,1NAPAP（）不妨设12PP根据G4，有111,1NAPAP（）122,1NAPAPNULL（）矛盾因此，12PP218由公理G5和公理G6，有1111111,1,1,1NNNNNNNAPRAPRAPAPARARNULLNULLNULL13SEASONINTHESUN淘宝店1111111,1,1,1NNNNNNNAQRAQRAQAQARARNULLNULLNULL219RTPSUW根据风险厌恶的定义和严格凹函数的定义。220设1212,NGGGAAAANULLNULL根据G3连续性1111,1NGAPAP（）22122,1NGAPAP（）由于1PP与是大于零的两个数，因此只有12PP或12PP两种关系根据G4单调性，有或21GG12GG因此任意的符合G1完备性。12,GGG221设VGUG1212123232VGVGUGUGUGUGVGVGUGUGUGUG23222若，则投保人的期望效用是001UWXLXUWX。对该式求关于X的微分，并令结果为零，可得。整理该式可得01UWXLXUWX000011UWXLXUWX，因为，11，所以UWUW0XLXX00LX，又由于U0，可得WX14SEASONINTHESUN淘宝店0WX，整理可得X，即在此情况下，投保人将不会完全投保。L22412010CCCUWBWUWCBWUWCCBW0227必要性16SEASONINTHESUN淘宝店若个人是风险厌恶的，根据定义，那么VNM效用函数在上是严格凹的。GUGEUR根据确定性等价物的定义，CEUGU，则CEUGUGEU由于VNM效用函数在上是严格凹的，VNM效用函数的一阶导数大于零，故RCEGE0PCEGEP充分性根据确定性等价物的定义，CEUGU由已知，CEGE0CEGEP由风险溢价的定义，PGEUGU，则，个人是风险厌恶的GUGEU228（一）充分性即满足条件ABC时，个人是风险中性UEGUG11221122112211221122,0UWABWGPWPWEGPWPWUGPUWPUWPABWPABWABPWPWUEGUCEUGCEEGPEGCEUGUEG当时，设则因为，所以且，个人是风险中立的（二）下面证必要性，即风险中性UEGUG条件ABC。1、1211211112NIIINIIIUEGUPWUPWPWUGPUWPUWPUWNULLNULLNULLNULL12,12111UPWPWPUWPUW2凸组合的函数等于函数的凸组合，所以必为线性的。A得证。U2、由定义25。UCEUG设UW，UCECE，12111UGPWPWPWPW2121,CEPWPWEGB得证。17SEASONINTHESUN淘宝店3、由定义25。，由2得P0。得证。PEGCE（三）对于风险偏爱的个人，三个等价命题的必要与充分条件是（A）VNM效用函数关于财富是凸函数。B对于所有的,GCEEG。C对于所有的,0GPIRRR，0IIIIIIIIIIIIIRRRRRRRRRURRRRURURRRRUR0两边取期望，得11NNIIIIIPURRRPURR所以0DD，由于11R，则有012TUXUXUXUX由是严格单调递增的，故上式成立当且仅当UX01TXXX即随着时间T的增加，消费的边际效用T