线性代数练习题及答案10套

IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者线代练习题及答案（一）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设A为3阶方阵，且2|A，则|2|1A（D）A4B1C1D44218|2|2|131AA2设矩阵A（1，2），B4321，C654321，则下列矩阵运算中有意义的是（B）AACBBABCCBACDCBA3设A为任意N阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（B）AAATBAATCAATDATATTTTTTTAAAAAAAA，所以AAT为反对称矩阵4设2阶矩阵ADCBA，则A（A）AACBDBABCDCACBDDABCD5矩阵0133的逆矩阵是（C）A3310B3130C13110D013116设矩阵A500043200101，则A中（D）A所有2阶子式都不为零B所有2阶子式都为零C所有3阶子式都不为零D存在一个3阶子式不为零7设A为MN矩阵，齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件是（A）AA的列向量组线性相关BA的列向量组线性无关CA的行向量组线性相关DA的行向量组线性无关IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者AX0有非零解NARA的列向量组线性相关8设3元非齐次线性方程组AXB的两个解为T2,0,1，T3,1,1，且系数矩阵A的秩RA2，则对于任意常数K,K1,K2，方程组的通解可表为（C）AK11,0,2TK21,1,3TB1,0,2TK1,1,3TC1,0,2TK0,1,1TD1,0,2TK2,1,5TT2,0,1是AXB的特解，T1,1,0是AX0的基础解系，所以AXB的通解可表为K1,0,2TK0,1,1T9矩阵A111111111的非零特征值为（B）A4B3C2D11111111113111111333111111111|AE3000011132，非零特征值为3104元二次型413121214321222,XXXXXXXXXXXF的秩为（C）A4B3C2D1000000001110000100000000000111100001000100011111A，秩为2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11若,3,2,1,0IBAII则行列式332313322212312111BABABABABABABABABA_0_行成比例值为零12设矩阵A4321，则行列式|ATA|_4_IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者424321|222AAAAATT13若齐次线性方程组000333232131323222121313212111XAXAXAXAXAXAXAXAXA有非零解，则其系数行列式的值为_0_14设矩阵A100020101，矩阵EAB，则矩阵B的秩RB_2_EAB000010100，RB215向量空间VXX1,X2,0|X1,X2为实数的维数为_2_16设向量3,2,1，1,2,3，则向量，的内积,_10_17设A是43矩阵，若齐次线性方程组AX0只有零解，则矩阵A的秩RA_3_18已知某个3元非齐次线性方程组AXB的增广矩阵A经初等行变换化为110021201321AAAA，若方程组无解，则A的取值为_0_0A时，2AR，3AR19设3元实二次型,321XXXF的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是232221YYY秩3R，正惯性指数2K，则负惯性指数123KR规范形是232221YYY20设矩阵A300021011A为正定矩阵，则A的取值范围是1A011，0121112AA，0133000210113AA1A三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者21计算3阶行列式767367949249323123解076030094020032010076736794924932312322设A523012101，求1A解100010001523012101103012001222101112701200120210111270120022002102021271151252000100022/112/71152/112/510000001，1A2/112/71152/112/523设向量组T1,2,1,11，T2,4,2,22，T1,6,0,33，T4,0,3,04（1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合解412106423021032144400000330003210000330044400321000011001110032100001100001030210000110000103001（1）321,是一个极大线性无关组；（2）432103IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者24求齐次线性方程组000543321521XXXXXXXXX的基础解系及通解解111000011110011A111001010010011010001010010011010001010010011，55453225210XXXXXXXXXX，基础解系为00011，10101，通解为TTKK1,0,1,0,10,0,0,1,12125设矩阵A1221，求正交矩阵P，使APP1为对角矩阵解3132411221|22AE，特征值11，32对于11，解齐次线性方程组0XAE00112222AE，2221XXXX，基础解系为111，单位化为21211121|1111；对于32，解齐次线性方程组0XAE00112222AE，2221XXXX，基础解系为112，单位化为21211121|1222IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者令21212121P，则P是正交矩阵，使30011APP26利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组00111，01012解正交化，得正交的向量组001111，012/12/10011210101|,1211222；单位化，得正交的单位向量组002/12/1001121|1111，06/26/16/1012/12/162|222四、证明题（本大题6分）27证明若A为3阶可逆的上三角矩阵，则1A也是上三角矩阵证设332322131211000AAAAAAA，则3323133222123121111|1|1AAAAAAAAAAAAA，其中000332312AAA，00002213AA，000121123AAA，所以3332223121111000|1AAAAAAAA是上三角矩阵线代练习题及答案（二）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设A是3阶方阵，且|A|21，则|A1|（A）IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者A2B21C21D22设A为N阶方阵，为实数，则|A（C）A|AB|AC|AND|AN3设A为N阶方阵，令方阵BAAT，则必有（A）ABTBBB2ACBBTDB0BAAAAAAAABTTTTTTTT4矩阵A1111的伴随矩阵A（D）A1111B1111C1111D11115下列矩阵中，是初等矩阵的为（C）A0001B100101110C101010001D0013000106若向量组0,1,11T，0,2,12，1,0,023T线性相关，则实数T（B）A0B1C2D301121111100021011222TTTTTT1T7设A是45矩阵，秩A3，则（D）AA中的4阶子式都不为0BA中存在不为0的4阶子式CA中的3阶子式都不为0DA中存在不为0的3阶子式8设3阶实对称矩阵A的特征值为021，23，则秩A（B）A0B1C2D3A相似于200000000D，秩A秩D19设A为N阶正交矩阵，则行列式|2A（C）A2B1C1D2IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者A为正交矩阵，则EAAT，22|AA1|AAAATT10二次型22,YXZYXF的正惯性指数P为（B）A0B1C2D3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11设矩阵A1121，则行列式|TAA_1_111121|22AAAAATT12行列式1694432111中2,3元素的代数余子式32A_2_2421132A13设矩阵A21，B21，则BAT_5_5212,1BAT14已知32125，其中1,4,31，3,0,12，5,2,0，则3211,1,1211,1,111,2,2213,0,151,4,35,2,021315矩阵A613101的行向量组的秩_2_613101603001003001，秩216已知向量组1,1,11，0,2,12，0,0,33是3R的一组基，则向量3,7,8在IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者这组基下的坐标是1,2,3设332211XXX，即0,0,30,2,11,1,13,7,8321XXX，得37283121321XXXXXX，解得123321XXX17已知方程组0202121TXXXX存在非零解，则常数T_2_02211TT，2T18已知3维向量T1,3,1，T4,2,1，则内积,_1_19已知矩阵AX01010101的一个特征值为0，则X_1_0|0|AE，所以0|A，即0111101010101XXX，1X20二次型323121232221321822532,XXXXXXXXXXXXF的矩阵是541431112三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式D210121012的值解426212321012123021012101222设矩阵A3512，B0231，求矩阵方程XAB的解X解252610022501101220016101210013512,EAIBUGUA交大打造不挂女神的领跑者25131001，25131A，26512251302311BAX23设矩阵AA363124843121，问A为何值时，（1）秩A1；（2）秩A2解A363124843121900000003121A000090003121A（1）9A时，秩A1；（2）9A时，秩A224求向量组1111，2531，3626，4542的秩与一个极大线性无关组解5651423126113126028402611142014202611000014202611，秩为2，1,2是一个极大线性无关组25求线性方程组362232234232132321XXXXXXXX的通解解362232203421A32203220342100003220342100003220020100002/31100201，333231232XXXXXX，通解为11202/30K26设矩阵1630310104A，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得DAPP1解2123110411630310104|AE，IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者特征值21，132对于21，解齐次线性方程组0XAE00013050300013001531300000511210510513630510102AE0003/1103/501，3332313135XXXXXX，基础解系为13/13/51；对于132，解齐次线性方程组0XAE0000000210210210210630210105AE，3322212XXXXXX，基础解系为0122，1003令101013/1023/5P，100010002D，则P是可逆矩阵，使DAPP1四、证明题（本大题6分）27设向量组1,2线性无关，证明向量组211，212也线性无关证设02211KK，即0212211KK，0221121KKKK由1,2线性无关，得002121KKKK，因为021111，方程组只有零解，所以1,2线性无关线代练习题及答案（三）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者1设行列式2211BABA1，2211CACA2，则222111CBACBA（D）A3B1C1D3222111CBACBA2211BABA2211CACA1232设A为3阶方阵，且已知2|2|A，则|A（B）A1B41C41D12|2|A，2|23A，41|A3设矩阵A，B，C为同阶方阵，则TABC（B）AATBTCTBCTBTATCCTATBTDATCTBT4设A为2阶可逆矩阵，且已知432121A，则A（D）A24321B432121C214321D1432121432121A，143212A，1432121A5设向量组S,21线性相关，则必可推出（C）AS,21中至少有一个向量为零向量BS,21中至少有两个向量成比例CS,21中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合DS,21中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6设A为MN矩阵，则齐次线性方程组AX0仅有零解的充分必要条件是（A）AA的列向量组线性无关BA的列向量组线性相关CA的行向量组线性无关DA的行向量组线性相关AX0仅有零解NARA的列向量组线性无关7已知21,是非齐次线性方程组AXB的两个不同的解，21,是其导出组AX0的一个IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者基础解系，21,CC为任意常数，则方程组AXB的通解可以表为（A）A212121121CCB212121121CCC212121121CCD212121121CC2121是AXB的特解，211,是AX0的基础解系8设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2,2,3，则|1B（A）A121B71C7D12B相似于300020002，12300020002|B，121|11BB9设A为3阶矩阵，且已知0|23|EA，则A必有一个特征值为（B）A23B32C32D230|23|EA032AEA必有一个特征值为3210二次型312123222132142,XXXXXXXXXXF的矩阵为（C）A104012421B100010421C102011211D120211011二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11设矩阵A100012021，B310120001，则A2B72025202312设3阶矩阵A002520310，则1TA002/1130250,EAT100010001053021200001100010200053021001130010200010021IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者001130250200010001002/1130250100010001，1TA002/113025013设3阶矩阵A333022001，则AA600060006EAAA|6000600066333022001EE14设A为MN矩阵，C是N阶可逆矩阵，矩阵A的秩为R，则矩阵BAC的秩为_R_BAC，其中C可逆，则A经过有限次初等变换得到B，它们的秩相等15设向量1,1,1，则它的单位化向量为31,31,3116设向量T1,1,11，T0,1,12，T0,0,13，T1,1,0，则由321,线性表出的表示式为3210设332211KKK，即001011111110321KKK，110121321KKKKKK，101321KKK17已知3元齐次线性方程组0320320321321321XXXAXXXXXX有非零解，则A_2_02412141121200132132111AAAA，2A18设A为N阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则12A必有一个特征值为412是A的特征值，则4121是12A的特征值19若实对称矩阵AAAA000103为正定矩阵，则A的取值应满足30AIBUGUA交大打造不挂女神的领跑者031，031322AAA，0300010323AAAAA30A20二次型2221212122,XXXXXXF的秩为_2_301112111112A，秩为2三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21求4阶行列式1111112113114111的值解630010201001100010001001102013001111111211311411122设向量4,3,2,1，0,2,1,1，求（1）矩阵T；（2）向量与的内积,解（1）08440633042202110,2,1,14321T；（2）50621,23设2阶矩阵A可逆，且21211BBAAA，对于矩阵10211P，01102P，令21APPB，求1B解102111P，011012P，111121PAPB01102121BBAA10212121AABB102112112122AAABBB24求向量组T3,1,1,11，T1,5,3,12，T4,1,2,33，T2,10,6,24的秩和一个极大线性无关组IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者解241310151623123118540124604120231107000700412023110000070041202311，秩为3，321,是一个极大线性无关组25给定线性方程组223321321321AXXXXAXXAXXX（1）问A为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）解（1）2112113111AAAAAAAAA110010103111，1A时，方程组有无穷多解；（2）1A时，A000000002111，33223212XXXXXXX，通解为10101100221KK26求矩阵A011101110的全部特征值及对应的全部特征向量解1000101112111111121212112111111|AE212，特征值21，132对于21，解齐次线性方程组0XAE000330211330330211112121211211121112AE000110101000110211，333231XXXXXX，基础解系为111，对应的全部特征向量为K（K是任意非零常数）；IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者对于132，解齐次线性方程组0XAE000000111111111111AE，3322321XXXXXXX，基础解系为0111，1012，对应的全部特征向量为2211KK（21,KK是不全为零的任意常数）四、证明题（本大题6分）27设A是N阶方阵，且02EA，证明A可逆证由02EA，得022EAA，EAA22，EAEA2所以A可逆，且21EAA线代练习题及答案（四）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设A为三阶方阵且2|A则|3|AAT（D）A108B12C12D108108227|3|3|223AAAT2如果方程组0404033232321KXXXXXKXX有非零解，则K（B）A2B1C1D2011241434014013KKKK，1K3设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（D）ABAABB111BABAC|BABADTTTBABA4设A为四阶矩阵，且2|A，则|A（C）A2B4C8D12IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者|A82|331AAN5设可由向量0,0,11，1,0,02线性表示，则下列向量中只能是（B）A1,1,2B2,0,3C0,1,1D0,1,0,0,212211KKKK6向量组S,21的秩不为S（2S）的充分必要条件是（C）AS,21全是非零向量BS,21全是零向量CS,21中至少有一个向量可由其它向量线性表出DS,21中至少有一个零向量S,21的秩不为SS,21线性相关7设A为MN矩阵，方程AX0仅有零解的充分必要条件是（C）AA的行向量组线性无关BA的行向量组线性相关CA的列向量组线性无关DA的列向量组线性相关AX0仅有零解NARA的列向量组线性无关8设A与B是两个相似N阶矩阵，则下列说法错误的是（D）A|BAB秩A秩BC存在可逆阵P，使BAPP1DBEAE9与矩阵A200010001相似的是（A）A100020001B200010011C200011001D100020101有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似10设有二次型232221321,XXXXXXF，则,321XXF（C）A正定B负定C不定D半正定IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者当0,0,1321XXX时，0F；当0,1,0321XXX时0F总之，F有正有负二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11若0211K，则K21012211KK，21K12设A411023，B010201，则AB241010623AB41102301020124101062313设A220010002，则1A2/110010002/11000100012200100021200100012000100022/110010002/110001000114设A为33矩阵，且方程组AX0的基础解系含有两个解向量，则秩A_1_秩A123RN15已知A有一个特征值2，则EAB22必有一个特征值_6_2是A的特征值，则622222是EAB22的特征值16方程组0321XXX的通解是TTKK1,0,10,1,1213322321XXXXXXX，通解是10101121KK17向量组0,0,11，0,1,12，0,2,53的秩是_2_IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者000010001025011001，秩是218矩阵A200020002的全部特征向量是TTTKKK1,0,00,1,00,0,1321不全为零）（32,KKK2321，000000000AE，332211XXXXXX，基础解系为001，010，10019设三阶方阵A的特征值分别为1,1,2，且B与A相似，则|2|B_16_|2|B16281000100022320矩阵A301012121所对应的二次型是3121232221321243,XXXXXXXXXXF三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算四阶行列式1002210002100021的值解151500021000210002118002100021000211040210002100021100221000210002122设A101111123，求1A解100010001101111123001010100123111101301110100220010101IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者1211101002000101011211102002000102021211101212000100022/112/11102/112/1100010001，1A2/112/11102/112/23设A200200011，B300220011，且A，B，X满足EXBABETT1，求X，1X解由EXBABETT1，得EXABEBT1，即EXABBBET1，EXABT，1X100020002100020002TTAB，10002/10002/1X24求向量组4,2,1,11，2,1,3,02，14,7,0,33，6,5,1,24，0,2,1,15的一个极大线性无关组解021165121470321304211400021302130213042114000400000002130421100004000000021304211，421,是一个极大线性无关组25求非齐次方程组12334523622232375432154325432154321XXXXXXXXXXXXXXXXXXX的通解解A12133452362210231123711111236281023622102362210711111IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者0006000000002362210711111000000000600236221071111100000000010023622107111110000000010236201071101100000000010023620101651001，5544354254106223516XXXXXXXXXXX，通解为1006501021000231621KK26设A020212022，求P使APP1为对角矩阵解4242120212022|AE8632323422238234124522，特征值21，12，43对于21，解齐次线性方程组0XAE220220012220232012220232024AE0002200120001100120001101020001102/101，33323121XXXXXX，基础解系为112/11；对于12，解齐次线性方程组0XAEIBUGUA交大打造不挂女神的领跑者120120021120101021120202021AE000120210001201010002/110101，33323121XXXXXX，基础解系为12/112；对于43，解齐次线性方程组0XAE000210022420210022420232022AE000210011000210201，33323122XXXXXX，基础解系为1223令11122/11212/1P，则P是可逆矩阵，使APP1400010002四、证明题（本大题6分）27设321,是齐次方程组AX0的基础解系，证明1,21,321也是AX0的基础解系证（1）AX0的基础解系由3个线性无关的解向量组成（2）321,是AX0的解向量，则1,21,321也是AX0的解向量（3）设0321321211KKK，则0332321321KKKKKK，由321,线性无关，得000332321KKKKKK，系数行列式01100110111，只有零解0321KKK，所以1,21,321线性无关由（1）（2）（3）可知，1,21,321也是AX0的基础解系IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者线代练习题及答案（五）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设行列式D333231232221131211AAAAAAAAA3，D1333231312322212113121111252525AAAAAAAAAAAA，则D1的值为（C）A15B6C6D15D1620222555333231232221131211333131232121131111DAAAAAAAAAAAAAAAAAA2设矩阵DBA0432CBA，则（C）A3,1,1,3DCBAB3,1,3,1DCBAC3,0,1,3DCBAD3,0,3,1DCBA3,0,4,2DCBABA3,0,1,3DCBA3设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（B）A000000111B000110111C000222111D3332221114设A为N阶方阵，2N，则|5|A（A）A|5ANB|5AC|5AD|5AN5设A4321，则|A（B）A4B2C2D424321|121AAAN6向量组S,21（2S）线性无关的充分必要条件是（D）AS,21均不为零向量BS,21中任意两个向量不成比例IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者CS,21中任意1S个向量线性无关DS,21中任意一个向量均不能由其余1S个向量线性表示7设3元线性方程组BAX，A的秩为2，1,2,3为方程组的解，T4,0,221，T1,2,131，则对任意常数K，方程组BAX的通解为（D）ATTK1,2,12,0,1BTTK4,0,21,2,1CTTK1,2,14,0,2DTTK3,2,12,0,1取BAX的特解T2,0,12121；0AX的基础解系含一个解向量T3,2,13121328设3阶方阵A的特征值为2,1,1，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（D）AAEBAECAE2DAE22不是A的特征值，所以0|2|AE，AE2可逆9设2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵12A必有一个特征值等于（A）A41B21C2D42是A的特征值，则4112是12A的特征值10二次型432423222143212,XXXXXXXXXXF的秩为（C）A1B2C3D400001100001000011100110000100001A，秩为3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11行列式332313322212312111BABABABABABABABABA_0_行成比例值为零IBUGUA交大打造不挂女神的领跑者12设矩阵A4321，P1011，则TAP4723TAP43211101472313设矩阵A111110100，则1A00101111010001000111111010000101010010011011100101110110001001100101111010001000114设矩阵A54332221T，若齐次线性方程组AX0有非零解，则数T_2_02121412014022154332221|TTTTA，2T15已知向量组2111，1212，113T的秩为2，则数T_2_11212111T123013011TTT20013011TTT，秩为2，则2T16已知向量T3,0,1,