浙大《概率论与数理统计第四版简明本》盛骤著课后习题解答

概率论与数理统计作业习题解答（浙大第四版）第一章第一章第一章第一章概率的基本概念概率的基本概念概率的基本概念概率的基本概念习题解析习题解析习题解析习题解析第第第第11、22题题题题随机试验随机试验随机试验随机试验、样本空间样本空间样本空间样本空间、随机事件随机事件随机事件随机事件1写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解解解解（1）高该小班有N个人，每个人数学考试的分数的可能取值为0，1，2，100，N个人分数这和的可能取值为0，1，2，100N，平均分数的可能取值为01100,NNNN则样本空间为S0,1,2,100KKNN（2）样本空间S10，11，S中含有可数无限多个样本点。（3）设1表示正品，0有示次品，则样本空间为S（0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，1，0，1），（1，1，1，0），（1，1，1，1）例如（1，1，0，0）表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。（4）设任取一点的坐标为（X，Y），则样本空间为S22,1XYXY2设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中至少有一个发生；（4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C中不多于一个发生；（7）A，B，C中不多于两个发生；（8）A，B，C中至少有两个发生。解解解解此题关键词“与，”“而”，“都”表示事件的“交”；“至少”表示事件的“并”；“不多于”表示“交”和“并”的联合运算。（1）ABC。（2）ABC或ABC。（3）ABC。（4）ABC。（5）ABC。（6）A，B，C中不多于一个发生为仅有一个发生或都不发生，即ABCABCABCABC，A，B，C中不多于一个发生，也表明,ABC中至少有两个发生，即ABBCACABC。（7）A，B，C中不多于两个发生，为仅有两个发生或仅有一个发生，或都不发生，即表示为ABCABCABCABCABCABCABC而ABC表示三个事件都发生，其对立事件为不多于两个事件发生，因此又可以表示为ABCABC。（8）A，B，C中至少有两个发生为A，B，C中仅有两个发生或都发生，即为ABCABCABCABC也可以表示为ABBCAC。第第第第33（11）、）、）、）、66、88、99、1010题题题题概率的定义概率的定义概率的定义概率的定义、概率的性质概率的性质概率的性质概率的性质、古典概型古典概型古典概型古典概型3（1）设A，B，C是三件，且11,0,48PAPBPCPABPBCPAC求A，B，C至少有一个生的概率。解解解解利用概率的加法公式315488PABCPAPAPCPABPBCPACPABC其中由0,PABPBC而ABCAB得0PABC。6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。解解解解利用组合法计数基本事件数。从10人中任取3人组合数为310C，即样本空间S310120C个基本事件。（1）令事件A最小号码为5。最小号码为5，意味着其余号码是从6，7，8，9，10的5个号码中取出的，有25C种取法，故A2510C个基本事件，所求概率为25310510123101201237CPAC（2）令事件B最大号码为5，最大号码为5，其余两个号码是从1，2，3，4的4个号码中取出的，有24C种取法，即B24C个基本事件，则2431046122101202037CPBC8在1500个产品中有400个次品，1100个正品。从中任取200个。求（1）恰有90个次品的概率；（2）至少有2个次品的概率。解解解解（1）利用组合法计数基本事件数。令事件A恰有90个次品，则9011040011002001500CCPAC（2）利用概率的性质。令事件B至少有2个次品，A恰有I个次品，则23200,BAAAAIAIIJ所求概率为200232002,IIPBPAAAPA）显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件B恰有0个次品或恰有1个次品，即01BAA，而200119911004001100010120020015001500CCCPBPAAPAPACC故2001199110040011002002001500150011CCCPBPBCC9从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少解解解解令事件A4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双。用3种方法求P（A）。A的对立事件A4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双，从5又鞋中任取4只，即从10只鞋中任取4只，所有可能组合数为410C，样本空间S410C个基本事件，现考虑有利于A的基本事件数。从5双鞋中任取4双，再从每双中任取一只，有4452C种取法，即A4452C个基本事件，则44454102521311121021CPAPAC4只鞋是不放回的一只接一只的取出，所有可能的排列数为410A，即样本空间S410A个基本事件。现考虑有利于A的基本事件，从10只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，从其余8只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，依此类推，则A10864个基本事件。于是41010864108648131111109872121PAPAA利用组合法计数基本事件数。考虑有利于事件A的基本事件数，任取的4只鞋配成一双的取法有12225242CCC种，能配成两双的取法有2252CC种，于是A（12225242CCC2252CC）个基本事件，则1222225245241021301321021CCCCCPAC此题的第1种方法和第2种方法是利用概率性质PAPA1首先求PA，然后求PA。第3种方法是直接求PA。读者还可以用更多方法求PA。10在11张卡片上分别写上PROBABILITY这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ABILITY的概率。解解解解令事件A排列结果为ABILITY，利用排列法计数基本事件数。不放回的从中一次抽1张的连抽7张，要排成单词，因此用排列法。样本空间711A个基本事件。排列结果为ABILITY，实际收入字母B的卡片有两张，写字母I的卡片有两张，取B有12C种取法，取I有12C种取法，其余字母都只有1种取法，故1122ACC个基本事件，于是1122711400000024111098765CCPAA这是个小概率事件。第第第第114（22）、）、）、）、15、1919、1818题题题题条件概率条件概率条件概率条件概率、概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式14（2）已知111,432PAPBAPABPAB，求。解解解解利用概率加法公式和概率乘法公式。PABPAPBPAB解此题的关键是求PBPAB和。由概率乘法公式，得1114312PABPAPBA又PABPBPAB，解得1112162PABPBPAB于是所求概率为111146123PAB此题的关键是利用PAPBAPBPAB，求出PAB和PB，再求PAB就迎刃而解了。15掷两颗骰子，已知两颗骰子点数和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。解解解解令事件A两颗骰子点数之和为7，B有一颗为1点。此题是求条件概率PBA。两种方法如下考虑整个样本空间。随机试验掷两颗骰子，每颗骰子可能出现的点数都是6个，即样本空间S26个基本事件。事件AB两颗骰子点数之间和为7，且有一颗为1点，两颗骰子点数之和为7的可能结果为6个，即A（1，6），（2，5），（3，4），（6，1），（5，2），（4，3）而AB（1，6），（6，1）。由条件概率公式，得2213666336PABPBAPA已知事件A发生后，将A作为样本空间，其中有两个结果（1，6）和（6，1）只有一颗骰子出现1点，则在缩减的样本空间中求事件B发生的条件概率为2163PBA18某人忘记了电话号码的最后一个数，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少解解解解利用概率性质有限可加性和概率乘法公式。令事件AI第I次拨通电话，“到第I次拨通电话”这个事件为121IIAAAA（I1，2，3）。事件B不超过三次而拨通电话，则B112123AAAAAA该事件表示第一次拨通电话，或者第一次未拨通，第二拨通电话（到第二次拨通电话），或者第一、二次未拨通，第三次拨通电话（到第三次拨通电话）。右端是互不相容事件的并事件，所以用有限可加性计算，得1121231121231121121312191981310109109810PBPAAAAAAPAPAAPAAAPAPAPAAPAPAAPAAA拨号是从0，1，2，9的10个数字中任取一个，有10种取法，第一次拨通的概率是110；第一次未拨通的概率为910，第二次拨号时，是从其余9个数字中任取一个，所以拨通的概率为19，到第二次拨通的概率为91110910，依此类推，到第N次拨通电话的概率都是110，与顺序无关。已知最后一个数字是奇数时，令事件C拨号不超过三次而接通电话。拨号是从1，3，5，7，9的五个数字中任取一个，有5种取法，第一次拨通的概率为15，到第二次拨通的概率为411545，到第三次拨通的概率为43115435，与上述分析方法和用的概率公式相同，所以14143135545435PC第第第第2121、2222、3535、3838题题题题全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式、贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式、事件的独立性事件的独立性事件的独立性事件的独立性21已知男人中有005是色盲患者，女人中有00025是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少解解解解令事件A随机地选一人是女性，对立事件A随机地选一人是男性。因为人群中男女人数相等，所以12PAPA，且A，A是样本空间的一个划分。事件C随机地挑选一人恰好是色盲。已知0255,100100PCAPCA由全概率公式，得10251500262521002100PCPAPCAPAPCA由贝叶斯公式，得15210009524002625PAPCAPACPACPCPC22一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为2P。（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解解解解令事件AI一学生第I次考试及格（I1，2），已知112121,1,2PPAPPAPPAAPAA（1）由概率加法公式，得12121212121PAAPAPAPAAPAPAPAPAA利用对立事件求概率12121212111221111131111222PAAPAAPAAPAPAAPAPAAPPPP显然用后者求解简单。（2）利用条件概率公式。121122122222112PAPAAPAAPAAPAPAPPPPPP35如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关联联接，它们每个具有096的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率），是多少如果需要有一个可靠性至少为09999的系统,则至少需要用多少只开关并联设各开关闭合与否是相互独立的。解解解解利用事件的独立性。令事件IA第I只开关闭合。已知12096PAPA。令事件B电路闭合。两只开关并联联接，则12BAA，即至少有一只开关闭合，电路就闭合。而12AA与相互独立，所以电路闭合的概率为1212121212209609609609984PBPAAPAPAPAAPAPAPAPA这种解题思路是读者容易想到的另一种解法是利用对立事件,计算此较简单121212122111100409984PBPAAPAAPAAPAPA设需要N只开关并联,才保证系统可靠性为09999。令事件IA第I只开关闭合（I1，2，N）。令事件C电路闭合，则12NCAAA。如果用概率加法公式表示PC将是相当麻烦的，不妨表示为11211111223310960960961096NNNNNIIJIJKIIIJNIJKNINNNPCPAAAPAPAAPAAAPANCC已知09999PC，解N实际上是很难办到的。如果用对立事件表示PC，显然比较简单，即1212121111004NNNNPCPAAAPAAAPAPAPA已知100409999N，即100400001N，两边取以E为底的对数，得1004100001NNN，则10000192103286100432189NNN故至少需要3只开关并联联接。此题表明对立事件及德莫根律对解决实际问题有多么重要。36三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为15,13,14。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少解解解解令事件AI第I人能译出密码（I1，2，3），且115PA，213PA，314PA，B三人中至少有一人能译出密码与事件“密码被译出”是相等事件。又123,AAA相互独立。利用概率的加法公式和事件的独立性。12312312132312311111111111106534535434534PBPAAAPAPAPAPAAPAAPAAPAAA利用对立事件和事件的独立性。12312312312311111131111065345PBPAAAPAAAPAAAPAPAPA38袋中装M只正品硬币、N只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷R次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少解解解解令事件A任取一只硬币是正品,对立事件A任取一只硬币是次品,且,MNPAPAMNMN，B把硬币投掷R次，每次都得到国徽面，令事件IB把硬币投掷I次，有I次得到国徽（I1，2，R）。如果硬币是正品，则投掷一次出现任何一面的概率都是12；如果硬币是次品，则投掷一次出现国徽面的概率是1。于是111222112111122112IIIPBPAPBAPAPBAMNMNMNPBPAPBAPAPBAMNMNMNMNPBMNMN则11212RRRRMNPBPBMNMNMNMNMN所求概率为12122RRRPAPBAPABPABPAPBMMMNMNMNMNMN第二章第二章第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布习题解析习题解析习题解析习题解析第第第第22（11）、）、）、）、3、66、77、1212、1717题题题题离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律2（1）一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，现实性出随机变量X的分布律。解解解解随机变量X的所有可能取值为3，4，5，求取各个值的概率用古典概型。223523352435113510323321451032432255532CPXCCPXCCPXC则随机变量X的分布律为X345KP11031035如果用概率函数表示，则为2135KCPXKC3,4,5K3设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样。以X表示取出的次品的只数。（1）求X的分布律；（2）画出分布律的图型。解解解解随机变量X的所有可能值为0，1，2，求取各个值的概率用古典概型。（1）X取各个值的概率分别为032133151221331521213315132231001535312132122111153531213121535312CCPXCCCPXCCCPXC则X的分布律为X012KP22351235135因为1KP,所以只要求出0,1PXPX则2101PXPXPX。X的分布律用概率函数表示为3213315KKCCPXKC0,1,2K6一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻T每个设备被使用的概率为01，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少（2）至少有3个设备被使用的概率是多少（3）至多有3个设备被使用的概率是多少（4）至多有1个设备被使用的概率是多少解解解解5个同类型的供水设备，在任一时刻是否被使用相互独立，而在同一时刻被使用的个数X服从二项分布B（5，0，1），故用二项分布求解X取各个值，或在某个范围内取值的概率。（1）因为X服从二项分布B（5，0，1），分布律为50109KKKPXKC（K0，1，2，3，4，5）于是225252010910001072900729PXC（2）55533353445455555553010901090109050910000108150000109000001000856KKKKPXCCCC（3）35500051422333255553010901090109010901090590490328050072900081099954KKKKPXCCCCC或用对立事件求解。55544455505545313141010910109010915010901100004500001099954KKKKPXPXPXCCC后者计算比前者简单。（4）555110109KKKKPXC，显然计算过程比较麻烦，但用对立事件求解相当简单。0055511110101091091059049040951PXPXPXC17（1）设X服从（01）分布，其分布律为11,0KKPXKPPK，1，求X的分布函数，并作出其图形；（2）求第1题中的随机变量的分布函数。解解解解（1）X的分布函数为110,11,KKKXFXPXXPPP001XXX（2）第1题中随机变量X的分布律为X345KP11031035X的分布函数为FXPXX，求法如下。当3X时，则0FXPXX当34X时，则301FXPXXPX当45X时，则34010304FXPXXPXPX当5X时，则3451FXPXXPXPXPX综合表示为0,1,10134,1010101331,10105FX334455XXXX第第第第119、2121、2727、3434、3535、3636题题题题随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数、连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度19以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是041,0,XEFXX00XX求下述概率（1）P至多3分钟；（2）P至少4分钟；（3）P3分钟至4分钟之间；（4）P至多3分钟或至少4分钟；（5）P恰好25分钟。解解解解（1）04312331106988XPXPEE（2）0444141402019XPXPXFE（3）0440433443431100993XXPXPXPXFFEE。解设女青年的血压为X，则2110,12XN，由此得1100,112XN（1）1101051101051212551121210416710662803372XPXP10011011012011010012012121251105612655521666208331207967105934XPXPXP，用对立事件得1005,0951101100951212PXXPXXXXP查表得110164512X，解出12974X，则X的最小值为12974。第第第第3333、题题题题随机变量的函数分布随机变量的函数分布随机变量的函数分布随机变量的函数分布33设随机变量X的分布律为X21013KP1516151151130求2YX的分布律。解2YX的所有可能取值为0，1，4，9，取各个值的概率分别为2222100051111117615304421125993311330PYPXPXPYPXPXPXPYPXPXPXPXPYPXPXPXPX于是Y的分布律为Y0149K题Y与X不一一对应，X取值为1，1对应Y取值为1，这时1PY等于11PXPX与之和。用表格表示Y在的分布律时，通常Y取值从小到大排序，看起来比较整齐。34设随机变量X在（0，1）上服人均匀分布。（1）求XYE的概率密度；（2）求21YNX的概率密度。解X的概率密度为1,0,XFX01X由此可见，Y服从参数为12的指数分布。直接求Y的概率密度YFY。（1）因为XYE对应的函数XYE是严格单调增加函数，可以应用教材中的定理求解。XYE的反函数为1XNY，又1DXDYY，当1YE35设XN（0，1）。（1）求XYE的概率密度；（2）求221YX的概率密度；（3）YX的概率密度。解X的概率密度为2212XYFYEPIX（2）当1Y时，YFY0；当1Y时，则222211222210221112211222YYYXXYFYPYYPXYYYPXPXEDXEDXPIPI于是Y的概率密度为141,210,YYYEDFYFYYDYPI11YY（3）当0Y时，0YFY；当0Y时，则2222011222YXXYYYFYPYYPXYEDXEDXPIPI于是Y的概率密度为222,0,YYYDFYEFYDYPI00YY直接求Y的概率密度YFY。（1）XYE对应的函数XYE是严格单调增加函数，其反函数为1XNY，又1DXDYY，则Y的概率密度为2121,20,NYYEFYYPI00YY（2）221YX对应的函数221YX是非单调函数，分成两个单调区间，当0X时，则12YX，当0X时，12YX。于是当1Y时，有1144141122111122221121YXXYYYYYDXFYFFDYEEYEYPIPIPI当1Y时，YFY0。综合表示为141,210,YYEFYYPI11YY3YX对应的函数YX是非单调函数,分成两个单调区间,其反函数XY,又1DXDY，当0Y时，0YFY；当0Y时，则22222212YYYFYEEPIPI综合表示为222,0,YYEFYPI00YY36（1）设随机变量X的概率密谋为FX，X。求3YX的概率密度。（2）设随机变量X的概率密度为,0,XEFX0X其他求2YX的概率密度。解设Y的分布函数为YFY，概率密度为YFY。首先求YFY，然后求YFY。（1）333YYFYPYYPXYPXYFXDXY直接求Y的概率密度YFY。（1）3YX对应的函数3YX是严格单调增加函数，其反函数3XY，又2313DXYDY，则23313YFYFYY0Y（2）3YX对应的函数2YX是非单调函数，便当0X时，2YX是严格单调增加函数，其反函数XY，又12DXDYY，当0Y时，YFY0；当0Y时，则1122YYFYFYEYY综合表示为1,20,YYEYFY00YY第三章第三章第三章第三章多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布习题解析习题解析习题解析习题解析第第第第11、22（11）、）、）、）、3、77、88、99、1010、1313、1818、2222题题题题二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量（XX，YY）的联合分布的联合分布的联合分布的联合分布、边缘边缘边缘边缘分布分布分布分布、随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验（1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下0,1,X若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品0,1,Y若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。解（1）放回抽样。X的分布律为1020,11212PXPX，而两次试验的结果互不影响，所以Y的分布律为1020,11212PYPY。二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）。（X，Y）取各个值的概率用古典概型计算，得2222210250,0123610250,1123621051,012362211,11236PXYPXYPXYPXY求二维离散型随机变量（X，Y）的颁布律就是求积事件发生的概率。如0,0XY是表示01XY，为简单起见，将符号“”用“，”代替，是表示事件0X与0Y同时发生。因为是放回抽样，所以事件,0,1XIYJIJ与，是相互独立的，故也可以利用事件的独立性计算。如1010250,000121236PXYPXPY其他类似。于是二维随机变量（X，Y）的分布律为XY01012536536536136（2）不放回抽样。用古典概型计算，则得210212111022121121021222212109450,0121166102100,1121166210101,0121166211,1121166PPXYPPPPXYPPPPXYPPPXYP因为是不放回抽样，第一次试验结果影响第二度验结果发生的概率。也可以用概率的乘法公式，则得109450,0000121166PXYPXPYX其他类似，于是（X，Y）的分布律为XY01014566106610661662（1）盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球。以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数。求X和Y的联合分布律。解用古典概型。则（X，Y）的分布律为432247,0,1,2,30,1,224IJIJCCCPXIYJCIJIJ其中022322471033224711232247121322472013224721132247230,000,1010,2351,0061,13561,23532,035122,1352,2PXYPXYCCCPXYCCCCPXYCCCCPXYCCCCPXYCCCCPXYCCCCPXYCCCPXY202247301322473103224733523,03523,1353,30CCCCCPXYCCCCPXYCPXY二维随机变量（X，Y）的分布律为XY0123012003352350635123523513563533503设随机变量（X，Y）的概率密度为6,0,YKXYFXY02,24XY0当0Y时，关于Y的边缘概率密度为0YYYYFYEDXYE综合表示为,0,XYYEFY0YY09设二维随机变量（X，Y）的概率密度为2,0,YCXFXY2XYY其他（1）试确定常数C；（2）求边缘概率密度。解（1）利用概率密度,FXY的性质确定常数C。即211211XDXCXYDY计算等式端积分得22111122212411111260011221142223721XXCDXCXYDYCXYDXXXDXCCXDXXDXCC同4121得，214C。（2）当11XY01求X和Y的联合概率密度；2设含有A的二次方程为220AXAY，试求A有实根的概率。解X概率密度为1,0,XFX01X其他（2）方程220AXAY有实根的充要条件为2440XY，即20XY，所求概率为2222221122200001122000120102111XYYXXXXXPXYDXEEDXEDXDXEDXEDX其中221122001221022084130503413208555XXEDXEDXPIPIPIPIPI则得2010855501445PXY此题求积分2120XEDX的技巧是将被积函数配成标准正态概率密度，即2212XXEPI，然后查标准正态分布表得积分值。22设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为1,0,XFX01X其他,0,YYEFY0Y其他求随机变量ZXY的概率密度。解由于X和Y相互独立，因此X和Y的联合概率密度为,0,YEFXY01,0XY其他设ZFZ和ZFZ分别表示Z的分布函数和概率密谋。首先求ZXY的分布函数，然后求ZXY的概率密度，这是基础方法。当0Z，使被积函数不等于零，得01X和XZ其他求ZXY的概率密度，等价求关于Z的边缘概率密度。即,ZUZFZGUZDUEDU当01Z于是4,0264XB，其分布律为4402640763IIIPYIC0,1,2,3,4I所求数学期望为402641056EXNP5设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个随机变量，其概率密度为221,150013000,15000,XFXX0150015003000XX求（1）2YX；（2）2XYE的数学期望。解（1）首先求2YX的概率密度，然后求数学期望。因为2YX对应的函数2YX是严格单调函数，其反函数2YX，又12DXDY，则Y的概率密度为21,12220,YYEYFYF00YY所求数学期望为2220200012222YYYYEYEXYEDYYEEDYE利用X的概率密度直接求数学期望。0222XEYEXXEDX（2）首先求2XYE的概率密度，然后求数学期望。2XYE对应的函数2XYE是严格单调减少函数，其反函数为112XNY，又12DXDYY，则Y的概率密度为1,1121220,YYFYFNYY01Y由（1）知1200,1225YN，所以120012001200099,099353535YSSP查表得120023335S，解出233351200128155S，因此商店的仓库应至少储存1282KG该产品。29设随机变量（X，Y）的分布律为XY10110118181818018181818验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。证明第24题是二维连续型随机变量，此题是二维离散型随机变量，但它们都有相同的结果。关于X的边缘分布律为关于Y的边缘分布律为Y101JPYY382838X101IPXX382838因为0,00,PXY而220,0,88PXPY故0,000PXYPXPY，所以X和Y不相互独立。下面求X，Y的数字特征。2222323101088832310108883233101888432331018884EXEYDXDXDYDY关于XY的分布律为XY101KP284828其中11,11,111288811,11,111288801112241888PXYPXYPXYPXYPXYPXYPXYPXYPXY由此得2421010888EXY则X和Y的相关系数为,0COVXYEXYEXEYXYDXDYDXDY故X和Y不相关。31设随机变量（X，Y）具有概率密度1,0,FXY,01YXXX0随机取出16只元件，其寿命分别用1216,XXX表示，且它们相互独立，同服从均值为100的指数分布，则16只元件的寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为161IIYX，其中2100,100IIEXDX，由此得1616211161001600,16100IIIIEYEXDYDX。由独立同分布中心极限定理知，Y近似服从正态分布21600,16100N，于是22219201192016001920160011610016100160032014001610010810788102119PYPYYPYP其中I表示标准正态分布函数。4设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为05KG，均方差为01KG,问5000只零件的总重量超过2510KG概率是多少解利用独立同分布中心极限定理设IX表示第I只零件的重量I1,2,5000,且205,01IIEXDX。设总重量为50001IIYX，则有25000052500,50000150EYDY。由独立同分布中心极限定理知Y近似服从正态分布2500,50N，而250050Y近似服从标准正态分布N（0，1）所求概率为250025102500251050502500141425011414210920700793YPYPYP第六章第六章第六章第六章样本及抽样分布样本及抽样分布样本及抽样分布样本及抽样分布习题解析习题解析习题解析习题解析1在总体252,63N中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在508到538之间的概率。解样本均值X服从正态分布252,63N，由此得520,1636XN。所求概率为5085252508538636636171411430956410872908293XPXP6设总体121,NXBPXXX是来自X的样本。（1）求12,NXXX的分布律；（2）求1NIIX的分布律；（3）求2,EXDXES。解（1）由12,NXXX相互独立及与总体同分布，得12,NXXX的分布律为111121,11NNNXIIIIIINXXXNIPXXXPPPP0,11,2,IXIN（2）样本12,NXXX来自伯努得分布总体，可以理解为将伯努利试验重复独立地做N次，令随机变量1,0,IXAA第I次试验事件发生第I次试验事件发生而N次试验中事件A发生的次数为1NIIXX，则X服从二项分布,BNP，其分布律为11XXNNPXXCPP0,1,2,XN（3）11121121111,11111NNNIIIIINNIIIINIEXEXXPPNNNDXDXDXNNPPPPNN而为了求2ES，首先将2S整理为2212212211122212211112112112111NIINIIINNNIIIIINIINIISXXNXXXXNXXXXNXNXNXNXNXN则得2222122122111111111111111NIINIESEXNEXNPPPPPNPNNNPPNPPPNPNNPPPPN第（3）小题求解过程中，主要用到样本的独立性及与总体同分布性，即,11,2,IIEXEXPDXDXPPIN又用到数学期望和方差的性质，即1111,NNNNIIIIIIIIEXEXDXDX。实际上，此题是验证了重要的结论样本均值的数学期望等于总体的数学期望；样本均值的方差等于总体方差除以样本容量；样本方差的数学期望等于总体方差。即2,DXEXEXDXESDXN。7设总体21210,XXNXXX是来自X的样本，求2,EXDXES。解首先求总体X的数学期望和方差，再利用第6题的重要结果。总体X的概率密度为12221,220,NXNXENFX00XXX的数字特征求解如下12202212202222122202222212212222122222222222NXNNXDXNNNXNNNNEXXXEDXNXENNXEDXNNNNN其中积分21222021222NXNXEDXN中的被积函数是服从自由度为2N的2X分布的概率密度，因此积分值是1。同理得1222024122024241224022422422222122122421242222422222222222222NXNNXDXNNNXNNNNNNEXXXEDXNXENNXEDXNNNNNNNNNNDXEXEXNNNNI由此可见，2X分布的数学期望等于自由度，方差等于2倍的自由度。于是221052EXEXNDXNNDXNESDXN9设在总体2,N中抽取一容量为16的样本。这里2,均为未知。（1）求222041PS，其中2S为样本方差；（2）求D（2S）。解（1）由22211NSXN，得2221515SX。所求概率为222222152041152041151306151001099SSPPSP根据自由度15和上侧分位点30615（表中为30578）查2X分布表得概率为0012由22215SX有22224151521530,30SSDDS由此得42423021515DS第七章第七章第七章第七章参数估计参数估计参数估计参数估计习题解析习题解析习题解析习题解析第第第第111313题题题题求参数点估计的方法和估计量评选的标准求参数点估计的方法和估计量评选的标准求参数点估计的方法和估计量评选的标准求参数点估计的方法和估计量评选的标准1随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以MM计）7400174005740037400174000739987400674002试求总体均值及方差的矩估计值,并求样本方差2S。解不论总体X服从任何分布，只要X的数学期望和方差存在，则总体均值EX和方差2DX的矩估计值分别为样本均值和样本二阶中心矩，即22211,NIIXBXXN。根据已知数据，经计算得8182621174002816108IIIIXXBXX于是和2的矩估计值分别为2674002,610。样本方差为8222611116861017NIIIISXXXXN计算22,XBS都比较麻烦，借助计算器，在统计状态下，按相应的键就可以得到所需要的结果。2设12,NXXX为总体的一个样本，12,NXXX为一相应的样本值。求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值。（1）1,0,CXFXXC其他其中0C为已知参数，1,不未知参数。（2）1,0,XFX01X其他其中1,不未知参数。（3）10,1,2,MXMXXPXXPPXM其中01P查标准正态分布表得临界值为0051645Z，则拒绝域为,1645计算检验统计量的观察值95010005502510010025Z作推断由于Z的值落在拒绝域中，所以拒绝原假设。可以认为这批元件不合格。当假设检验是单边检验时，其拒绝域方向的确定是沿着备择假设的不等号方向。此题原假设01000H，全部都比1H中的要大。