线性代数答案

参考答案第一讲【例1】011010022BAABBAABBA所以AB0【例12】四阶行列式需要通过展开定理降为三阶行列式来计算。展开之前需要利用行列式的性质将行列式的某一行或某一列化为只有一个非零元的形式，然后再按照该行或列展开13251225121261263714120611131135927110321021046122100三阶行列式可以直接计算，也可以再展开为更简单的二阶行列式再计算原式3212632661133131193210010【例13】先将第四行分别和第三行和第二行交换得11114422223333440000000000000000ABABBAABDABBABABA再将第四列分别和第三列和第二列交换得11114444222233330000000000000000ABABBABADABABBABA2211334423231414ABABBABAABAB（所以应选择答案D【例14】求方程0FX的根的个数，即求FX为X的几次多项式。注意到行列式的每列元素中X的系数是大致相同的，故将第一列的1倍分别加到第二三四列，得2101210022101221003312233121437343762121221765XXXXFXXXXXXXXXXXXXX（1）所以方程0FX的根的个数为2【例15】这是一个四阶行列式，可以利用展开定理计算出它的值再代入方程中求解。但注意到行列式的第一行与第二行，第三行与第四行都很接近，故可以考虑利用这一特性当1X时，原行列式为11231123023152318，可知1X为该方程的解；同样，当2X时，原行列式为11231223023152315，可知2X为该方程的解。由行列式的定义可知，方程的左边是一个四次多项式。由于四次多项式最多只有四个根，因此1X与2X为原方程的根。【例16】本题是一个三阶行列式，有直接的计算公式，但运用起来比较麻烦，也不利于求解。故考虑利用行列式的性质先化简，再计算注意到第一行与第三行第二个元素均为2。故可以将第一行的1倍加到第三行32232211423101KKKK再将第三列加到第一列得232212210111101001KKK故解32210423KK得12,1（2重）。【例17】注意到该行列式与上三角行列式比较接近，故可以考虑利用行列式的性质将其三角化即通过将第2,3,1N列的12111,NAAA分别加到第一列，即得到10111N1210121111000D000000NIINNIINAAAAAAAAAMMM【例18】方法一注意到行列式每行与每列元素之和是一样的。故可以考虑将2至N行所有元素均加至第一行得111111111ABBBNBANBANBANBABABBBABBBBABBBABBBBABBBABABBNBABBABBBBA再注意到2至N行大多数元素均为B，故将第一行的B倍加至2至N行得原式1111100011000000NABNBANBAABABAB方法二注意到该行列式每一行大多数元素都相同，相差只在对角线上，故可以考虑将第一行的1加到其它行得000000ABBBABBBBABBBAABBBABBAABBBBABAAB。注意到这是前面讲到过的“爪型”行列式，将其三角化得110000010000000000NABBBANBBBBBAABABNBAABBAABABBAABAB方法三矩阵ABBBBBBBBABBBBBBABEBBABBBBBBBBABBBB由于矩阵BBBBBBBBBBBBBBBB的秩为1，故0为它的1N重特征值，另一个特征值为NB。这样，可知矩阵ABBBBABBBBABBBBA的特征值为AB（1N重），1ANB。可知，其行列式11NABBBBABBNBAABBBABBBBA。【例19】方法一将2至N行所有元素均加至第一行得11111122222212AAANANNNANNNA故将第一行的I倍加至第I行（2,3,IN）得原式111100112200NANNAAA方法二将第一列的1倍加至其它列可得1111222200AAAAAANNNANA。再将2至N行加至第一行得1110022010200NNAAAAANAANANA。方法三矩阵111111222222AAAENNNANNN矩阵111222NNN的特征值为0（1N重），12N因此矩阵111222AANNNA的特征值为A（1N重），12NA。可知，其行列式111122212NAANANNNA。【例10】注意到该行列式的第一行和第一列都只有一个非零元，故将该行列式按照第一列展开得12111110110110110111011011010NNND该行列式第一行也只有一个非零元，故可以再将它俺第一行展开22201101101110110NNNNDD。这样，我们得到了关于ND的递推公式。由于120,1DD。可知当2NK时，1222211KKKKDDD；当21NK时，2121110KKKDDD。【例1】将行列式按照第一行展开得11111NNNNABABABABABDABDABABABABABAB再将后一个行列按照第一列展开即得12NNNDABDABD。易检验2212,DABDAABB，下面用数学归纳法证明假设当NK及1NK时，等式成立，即11211,KKKKKKKKDAABBDAABB则11112111KKKKKKKKKKKKDABDABDABAABBABAABBAABB。故1NNNNDAABB对所有的正整数成立。【例12】将行列式按照第一列展开得1111111111111NNNNNNNNNNXDXDBXDBXDBXX由该递推公式可得121NNNDXDB，再将其代回原公式可得221212323213211231231NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNDXDBBXDBXBXXBBXBXDBXBXBXDBXBXBXB易知11DXB，因此1231231NNNNNNNDXBXBXBXBXB。【例13】从该行列式的形式很容易联想到范德蒙行列式，但它在形式上和范德蒙行列式又有点区别。故应该利用行列式的基本性质进行变形，再利用公式计算从行列式的第I行提出I（2,IN）得23212321232111111112212233313331NNNNNNNNNNNN再由范德蒙行列是的计算公式可得原式1211121121NNIINININN【例14】注意到行列式的第一行与第四行对应元素之和均为ABCD，故可以将第一行加到第四行22222222333333331111ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDBCDACDABDABC再对后面的行列式经过三次交换，把第四列换到第一列即得原式222233331111ABCDABCDABCDABCDABCDBACADACBDBDC【例15】112233123,2,AB由行列式的性质得123123,2,8,88540ABAB【例16】由行列式的性质，先将行列式第二列与第三列的系数提出得32121321214,364,AAAAAAAAA再将第二列的2倍以及第三列的4倍加到第一列得原式3211236,6,18AAAA。【例17】方法一利用行列式的性质将要计算的行列式化作已知行列式将第一列的1倍加至第二列和第三列得1231231231232323,49,8再将现在行列式的第二列的3倍加至第三列得1232323123233123233,8,22,再将现在行列式的第三列的2倍加至第二列，1倍加至第一列得12323312232,2,再将第二列的1倍加至第一列得12231232,2,2A。方法二利用矩阵的乘法可得12312312312311,49,124139故12312312311,491242139AA。【例18】注意到1B，可知2222231341256BAAAAA【例19】由EBABA2知，EABEA2，即EABEAEA，两边取行列式得AEAEBAE，即AEAEBAE易验证0AE，于是有1BEA，因为2002010100EA,所以B21【例120】矩阵方程中出现了矩阵A的伴随矩阵与1A，故考虑先对等式化简。由于2AAEE，1AAE，故可以对等式两边同时右乘A，可得2ABAB，则有2AEBA。两边取行列式得22AEBA。易求得255AE，因此255B。【例12】题目中的矩阵,AB均可逆，故可以利用11EAB进行变形。111111111ABEABBABBBAEBBAABBAA因此，1113ABBBAA。【例12】4TTTTTTTEABAABABABABA又由于TAE，两边取行列式得1TA，即21A。又由于0A，故有RAN时，我们分A可逆与不可逆两种情况讨论如果A可逆，有1AA，由于A也可逆，则有1112111NNAAAAAAAA。如果A不可逆，则有1RAN，故12RAN，则有0RA，也即AO。而此时又有0A，故当A不可逆时，也有2NAAA。（2）由（1）可知，当2N时，必有AA。当2N时，要使得AA则有2NAA，也即21NAAO。因此或者有21NA，或者有AO。因此满足AA的矩阵包括所有二阶矩阵，所有二阶以上零矩阵以及满足21NA的矩阵。【例218】由题意易知TBA。由于MAE可得1MAE，可知矩阵A可逆。故1TBA。因此11TTMMMMMMBAAAAAE。又由MAE，可得1MA。可知MBE。【例219】由于A和B均可逆，可知C也可逆，因此1111100BABAOAOCCABABOABOB故选（D）【例20】（1）本题没有告知矩阵A是否可逆，故利用公式AAE。这样，我们有TAAE。设12NA，其中1,N为矩阵A的行向量，则12,TTTTNA。故111212122212TTTNTTTTNTTTNNNNA，对比TAAE可知,1,TIIAIN。因此0A，并且0A当且仅当0,1,IIN。由于A是非零实矩阵，可知1,N不全为零向量，因此0A。（2）对TAAE两边同时取行列式得TAAE，即2NAA，解得0A或1A。由（1）的结论可知1A。【例21】第2行加至第1行的初等矩阵为P，第1列的1倍加至第2列的初等矩阵为1110010001QP由“矩阵A作初等变换即为左乘对应初等矩阵，矩阵A作初等列变换即为右乘对应初等矩阵”知1CPA所以正确答案是（B）【例2】因为1P是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而2P是交换第二、三列所得的初等矩阵，于是有21BAP从而11111121212BAPPAPA故正确选项为（C）【例23】由初等矩阵与初等变换的关系可知，1,2BEA。由于矩阵A可逆，可知矩阵B也可逆。故1111,21,21,21,211BBEAEAAEAE。因此，将第二列的1倍加到第一列得B。故选（D）【例24】由题意易知，矩阵B是将矩阵A的第一列和第二列交换，再将A的第三列乘以非零常数2得到的，则有1,232BAE。由于1A，由行列式的性质可知2B，因此矩阵,AB都可逆。故1111,2331,212222BBAEEEA。这样131,231,21010020112211002002210010012BAEEAEE。【例25】由于矩阵1A可逆，由定理6可知存在有限个初等矩阵1,MPP使得11MAP。因此，将矩阵1A左乘到矩阵B上等于对B做1,MPP所对应的初等行变换。由于111,AEAEA，可知将对A做1,MPP所对应的初等行变换可将A变成E，而对E做1,MPP所对应的初等行变换可将E变成A。也就是说，把A变成E的初等行变换和把E变成A的初等行变换是一样的。我们在对矩阵AE做初等行变换时，对矩阵E和A所做的初等行变换是一样的。因此，只要我们将A变成的E，与此同时E也就变成了A。【例26】由于矩阵,AD均可逆，因此由0,0AD。这样0ABADOD，可知矩阵ABOD可逆。现假设1ABXYODUZ，可知ABXYEOODUZ。而ABXYAXBUAYBZODUZDD。对比可知,AXBUEYZODUZE，由于,AD均可逆，可知1111XAYBDUOZD。故有11111ABAABDODO。【例27】（1）因AAAE，故100TTTTTTEAAAPQAAAAABABAAABAAA（2）由（1）可得21TPQABAAA而PQPQ，且0PA，故1TQABAAA由此可知，0Q的充分必要条件为1TAAAB，即矩阵Q可逆的充分必要条件是1TAAAB【例28】（1）由题意可知1231231232323,AAAA而1231231,11，231230,21，231230,23。可知1232323123100,12213。也即10012213B。（2）由于321,线性无关，可知123,0。又由于123123,AB，可知123123,AB。可知4AB。【例29】由于2AXEAX，即2AEXAEAEAE因为001010100AE是可逆矩阵，所以1201030102XAEAEAEAE【例230】由AZBZBZAZBE可得AZBZBZAZBE。则有AZZBBZBZAE，则ABZAZBE，即ABZABE。等式两边同时左乘1AB，右乘1AB得11ZABAB。故选（B）。【例231】等式两边同时右乘A得3ABA；再同时左乘A得3ABABAE。又由于8A，而413AAA，故2A。这样，原方程就变为了26BABE，也即26EABE。两边同时左乘12EA可得162BEA。其中10000100210100306EA，计算得11000010021010110026EA可知6000060060600301B。【例23】由于方程中有A，故可以考虑利用伴随矩阵的性质，乘以矩阵A进行化简给方程两边同时左乘A可得28ABABA，易知2A，则有4BABAA。再在该等式两边同时右乘易知1A可得4BABE，也即4AEBE。这样12464048002BAE。【例23】31113333111111111111111111111111111101003311001011000131KKKKKKKAKKKKKKKKKKKKKK秩3A0A，而1K时，显然1RA，故必有3K。【例234】一方面，由P为三阶非零矩阵知，1RP。另一方面，由0PQ知，3RQRP，而6T时,2RQ的可知此时有321RP结合1RP知，选项C正确。【例235】由于A的伴随矩阵秩为1，可知2RA。则由0A可知，AB或2AB。而当AB时，ABBABABBBA，此时有1RA。故有AB且2AB。第三讲【例31】（1）12311101,1220210124023，可知该向量组线性无关（2）4个3维向量，由定理7可知，该向量组线性相关。（3）计算向量组123,的秩12361101404611,1291291316131610110101501502100000315000只有两个非零行，可知123,2R。因此，该向量组线性相关【例32】判断4个4维向量的线性相关性，可以通过行列式。12341132132614215110312PPP1234,线性相关，可知1420P，故2P。【例3】方法一向量组123,线性相关，可知123,2R对矩阵123,做初等行变换化为阶梯型矩阵12311111111215013013,17016003326013000TTT由于最多只能有两个非零行，可知30T，也即1T。方法二向量组123,线性相关，可知矩阵123,A的秩不超过2。因此A中任意三阶子式为零，可知由矩阵A的前三行组成的行列式1121517T为零。由于11215317TT，可知1T。【例34】设0313232121MK即0332221113MK，由321,线性无关知0M00322131K要使312312,MK线性相关，该齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行列式101101001DKKMM。因此，当1KM01即KD时，向量组线性相关。【例35】方法一（用定义证明）充分性设1122330。则有1123230，也即1123230C。令112233YCYY，则由1123230YYY以及1，2，3线性无关可知1230YYY。也即123000C。由0C可知，1230，故1，2，3线性无关。必要性当1，2，3线性无关时，我们用反证法证明0C。假设0C，则齐次线性方程组0CX有非零解，即存在不全为零的123,使得123000C。此时有1111223312321232123330000C因此，1，2，3线性相关。可知，假设不成立，也即0C。方法二（用秩证明）令123123,AB，则1233RAR，123RBR。充分性由BAC，可得RBRA。当0C时，由于1BCA，可知此时又有RBRA。故有3RBRA，则1，2，3线性无关。必要性当1，2，3线性无关时，我们还是用反证法证明0C。假设0C，则RC，可知1不能由12,线性表出。故（A）不是1,ML线性无关的必要条件。对于（B），向量组1,ML可由1,ML线性表示，不能保证1,ML线性无关。因此此时仅能得到11,MMRRLL。例如我们可以令1,ML全为零向量，则1,ML可由1,ML线性表示，但1,ML线性相关。因此（B）不是向量组1,ML线性无关的充分条件。对于（C），由于向量组1,ML与向量组1,ML等价蕴含了向量组1,ML可由1,ML线性表示。可知（C）也仅仅是向量组1,ML线性无关的充分条件。对于（D），当矩阵1,MAL与矩阵1,MBL等价，有RARB。由于1,MRARL，可知1,MRRBML，故向量组1,ML线性无关。反之如果向量组1,ML线性无关，则有1,MRBRL，由于1,MRARL，可知RARB，故矩阵1,MAL与矩阵1,MBL等价。可知（D）为向量组1,ML线性无关的充要条件。故选（D）。【例317】（1）37632451131221413418003903190214132003200319021410000320031902141所以321,是极大线性无关组由3322114KKK得方程组323924332321KKKKKK解得2331KK,212K所以3214223（2）100142452712120312130124220101103133021301242203133010110213011031210312011010110100010000100004000000所以421,是极大线性无关组由4322115KKK得方程组132320KKKK解得21K,12K,03K所以421502由4322113KKK得方程组13230KKKK解得31K,12K,03K所以421303【例318】方法一记4321,A，则31043214321432143AAAAAAA于是当0A或10A时1，2，3，4线性相关。当0A时，1为1，2，3，4的一个极大线性无关组，且122，133，144当10A时，对A施以初等行变换，有10001001001000101043296321472143814329A4321,10010101001100001001010100114329由于432,为4321,的一个极大线性无关组，且4321，故2，3，4为1，2，3，4的一个极大线性无关组，且4321。方法二记记4321,A，对A施以初等行变换，有BAAAAAAAAAAAA00000043214321432143214321当0A时，A的秩为1，因而1，2，3，4线性相关，此时，1为1，2，3，4的一个极大线性无关组，且122，13，144当0A时，再对B施以初等行变换，有4321,100101010011000101001010100114321CAAB如果10A，C的秩为4，从而A的秩为4，故1，2，3，4线性无关。如果10A，的秩为3，从而的秩为3，故1，2，3，4线性相关。由于432,为4321,的一个极大线性无关组，且4321。于是2，3，4为1，2，3，4的一个极大线性无关组，且4321。【例319】方法一（利用定义）RR3知123,线性无关,1234,线性相关,并存不全为零的数1234,KK使得112233440KKKK,且有40K,所以11223344KKKK令1122334540LLLL则有12314124234345440KKKLLLLLLLKKK又由R4知1235,线性无关,所以11440KLLK,22440KLLK,33440KLLK,40L解之得12340LLLL因此12354,线性无关,故其秩为4。方法二（利用相关定理）RR3知123,线性无关，1234,线性相关。由相关定理还可以知道，4能由123,线性表出，也即存在123,XX使得4112233XXX。要证明向量组12354,的秩为4，也就是证明向量组12354,线性无关。由于123,线性无关，只需证明54不能由123,线性表出即可。现用反证法进行证明假设54能由123,线性表出。也即存在123,KK使得54112233KKK。这样就有5544111222333XKXKXK，也即5能由123,线性表出。这与向量组1235,的秩为4是矛盾的。可知，假设不成立，也即54不能由123,线性表出。故向量组12354,的秩为4。【例320】若1R和2R中至少有一个为零，则显然有12RRR。若1R和2R均大于零，则向量组（）和（）的极大线性无关组中分别含有1R和2R个向量。不妨设（）和（）的极大线性无关组分别为112,R和212,R。由于极大线性无关组和原向量组等价，可知向量组121212,RR与向量组（）1212,NM等价。故12121212,RRRRRR。【例321】3224211631092114047116A322421163171161404092134080125507551101408009218351051510117510815100921129012900151801518000458800010003400000000140000所以RA3【例32】设12,NA，12,NB则1122,NNAB由于AB的列向量组1122,NN都是由向量组1212,NN线性表出的，故11221212,NNNNRR。又由【例320】可知，12121212,NNNNRRR故1122,NNRABR1212,NNRRARB【例32】方法一设12,NA，111212122212KKNNNKBBBBBBBBBB12,KAB，则由矩阵的乘法可知11112121212122221122NNNNKKKNKNBBBBBBBBB，也即AB的列向量组12,K能由A的列向量组12,N线性表出。可知1212,KNRABRRRA。类似地可证AB的行向量组可以由B的行向量组线性表出，故RABRB。也即MIN,RABRARB。方法二考虑齐次线性方程组0ABX和0BX。由于当0BX时，必有0ABX，可知0BX的解必为0ABX的解。因此0X的基础解系所含向量个数不超过X的基础解系所含向量个数。也即KRBKRAB。故RBRAB。同时，由于矩阵转置的秩和原矩阵的秩是相等的，故有TTTRARARBARAB。因此，MIN,RABRARB。【例32】直接计算矩阵稍显麻烦，由于2AAAE，注意到矩阵A是可逆的，由上题【评注】可知，2RAARAE。而023000000000000NAELLMMML，易知1RAE。故21RAARAE。【例324】由于RABRA，故0IK。由IK的任意性可知向量组1,M线性无关。【例30】由于Q为N阶方阵，因此Q为正交矩阵的充要条件是TQE。其中12TTTTNQ，111121221222112,TTTTNTTTTTNNTTTTNNNNNQ要TQE，等价于0,TIJIJ以及1,1,2,TIIIN可知Q为正交矩阵的充要条件是1,N为正交单位向量组。【例31】由1,2,3形成的向量组的秩为2,即R1,2,32,从而向量组线性相关对1,2,3作初等行变换有1,2,3A20101112211A20310310211000600310211A所以A6故应填6【例32】因为1212,NNALL，则称A为基12,NL到12,NL的过渡矩阵则由基1231,到基122331,的过渡矩阵M满足12233112312310111,220033M，故选A【例33】根据定义，从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为11121211111123,011201212P第四讲【例41】（1）首先考虑增广矩阵2121112112323011120023112111211011011003300313AAAAAAAAAAAAA因为原方程组无解，所以RARA时，RABNM时，我们仅能得到RABMN可知，A的特征值为1,3,。111AAA，其中1339A。可知1110AAA，它的特征值为11110101010,3,10333。故11010100010339AA。【例513】由32AAO可知，矩阵A的特征值均满足32O。因此A的特征值只能有0和2，故0AE，可知AE可逆。【例514】假设的特征向量为X，则有ABXX。当0时，在等式ABXX两边同时左乘B可得BAXBX，也即BABXBX。如果我们能证明0BX，我们就证明了也为BA的特征值，并且BX是它的特征向量。而由于0，可知AX，故有0BX。可知也为BA的特征值。当0时，可知0AB，也即0AB，因此0BABA，故0也是BA的特征值。综上所述，无论为何值，都是BA的特征值。【例51】由【例51】的结论可知得到矩阵A的特征值是121，32属于特征值1的特征向量是1,0KK；属于特征值2的特征向量是2K（0K）。可知，矩阵A的二重特征值1最多只有1个线性无关的特征向量，故A不可相似对角化。【例516】A）中矩阵的特征值为1,2,3，有3个互不相同的特征值，故可对角化。（B）中矩阵的特征值为1,2，设该矩阵为A，对于A的二重特征值1，由于000000201AE，可知1RAE，故二重特征值1有两个线性无关的特征向量，可知矩阵A可对角化。（C）中矩阵的特征值为1,0，设该矩阵为B，对于B的二重特征值1，由于000010100BE，可知2RBE，故二重特征值1仅有1个线性无关的特征向量，可知矩阵B不可对角化。（D）中矩阵为实对称矩阵，可对角化。故选（C）。【例517】1020141221522EAAAAA当21,2A即1A，32时，A有三个不同的特征值，故A可对角化。当21A即，1A时，A有特征值1（二重），2。1时，002004632EAEA，2REA。从而1的线性无关的特征向量只有一个，不可对角化。当212A时，即32A时，A有特征值1，2（二重）又22REA，从而A也不可对角化。故当1A，32时，A可对角化。【例518】A的特征多项式为5134102251341321AAAE318825134101122AA当2是特征方程的二重根，则有,0318162A解得2A当2A时，A的特征值为2,6,矩阵3213213212AE的秩为1，故2对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化若2不是特征方程的二重根，则A31882为完全平方，从而18316A，解得32A当32A时，A的特征值为2，4，矩E秩为2，故4对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化【例519】22208262006EAAA的特征值为126，32。由于A相似于对角阵，故对于126应有两个线性无关的特征向量，因此，61RE从而由42021068400000000EAAA知0A此时可得到126的两个线性无关的特征向量。1120T，2001T当2时，3120T，令101202110P则有1662PAP【例520】（1）由于AB，可知A的特征值为2,2Y。又由于B为对角矩阵，可知A能相似对角化。故A的二重特征值2应该有两个线性无关的特征向量，也即21RAE。而00222042ZAEZX，易知要使该矩阵的秩为1，必有2,0XZ。又由于2YTRA，可知4Y。（2）先求特征值2的特征向量求齐次线性方程组20AEX的基础解系得121,0,0,1TT。再求特征值4的特征向量求解齐次线性方程组40AEX的基础解系得30,12T。故100011021P，此时有1DIAG2,4,2PAP。【例521】（1）由条件有31221001,321321A可知31221001B（2）因为1，2，3线性无关，可知C（1，2，3），可逆，所以BACC1，即A与B相似。由此可求413112210012BE得A，B的特征值均为121，43（3）对应于121，解齐次线性方程组0XBE，得基础解系T0,11，T1,0,22对应于43，解齐次线性方程组04XBE，得基础解系T1,03令110101021,321Q则4000100011BQQ因CQACQACQCQBQ1111所以110101021,321CQP323121,2,即为所求【例52】设123,的特征值分别是123,，则由,1,2,3IIIA可得1210ACDF，20101ACDF，32110ABDE解此方程组可得1232,0,2，0,1,2,1ACDFBE所以矩阵11102011A【例523】矩阵A的特征值，为1,2，同时易知1RAE，可知矩阵A可相似对角化。也即112A。（A）和（D）中的矩阵特征值与A不相同，故不相似。（B）和（C）中的矩阵特征值与相同，现设它们分别为B和C。对于B，由于1RBE，可知B可对角化，故112BA。而对于C，由于2RCE，可知C不可相似对角化。此时，如果CA，则会有112CA，与C不可相似对角化矛盾。故C不相似于A。可知，应选（B）。【例524】211111211111211AE，其中矩阵111111的特征值为0,3，则矩阵A的特征值为1,4。由于A为实对称矩阵，可知A可相似对角化，故114A。易得矩阵B的特征值也为1,4，而1RBE，可知B可对角化，因此114BA。为了计算可逆矩阵P，先计算可逆矩阵1P使得11114PAP。为此，计算矩阵A的特征向量。求解齐次线性方程组0AEX可得其基础解系为121,0,1,0,1TT。求解齐次线性方程组40AEX可得其基础解系为31,T。故111110101P。再计算可逆矩阵2P使得122114PBP。为此，计算矩阵B的特征向量。求解齐次线性方程组0BEX可得其基础解系为121,0,0,10TT。求解齐次线性方程组40BEX可得其基础解系为31,3T。故2101011003P。这样，就有11122PAPPBP，可知11212PAPB，对比可知112PP。由于12110310131003P，可知11101133111121010110330112000133P。【例52】（1）22322,23AXAXXAXXAXAXXXAXAX而222001,23,102013AXXXAXAXXAXX。（2）由于2,XAXX线性无关，可知矩阵2,XAXX可逆。令2,PXAXX，则有1APB，可知AB。由相似矩阵的性质可知22AEBE，故2012212215015AEBE。【例526】根据已知，方阵A的特征值应满足20，即0或1。A为实对称矩阵，可知A可相似对角化。而3RA，可知0只有431个线性无关的特征向量，可知0为单特征值。因此A的特征值为0（一重）和1（三重）。故A相似于1110。【例527】根据已知，方阵A的特征值应满足4320，也即2110。由于实对称矩阵的特征值必为实数，可知A的特征值为或1。又由于A的秩为2，则通过与上题类似的分析可知A的特征值为1,0。故2AE的特征值为1,2，可知21AE。【例528】1设A的属于特征值3的特征向量为3123,TKK,则131230KKK,231230KKK解之得基础解系为1,0,1T所以A的属于特征值3的特征向量为K,0K2