曾谨言量子力学导论第二版的课后答案

1第一章量子力学的诞生1设质量为M的粒子在一维无限深势阱中运动，E）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。解势阱为0002204020,41,16VEVEVEEVEEVVR38）利用HERMITE多项式的递推关系（附录A3。式（1），证明谐振子波函数满足下列关系21121212121222211XNNXNXNXXXNXNXXNNNNNNN并由此证明，在N态下，2,0NEVX证谐振子波函数222XHEAXNXNN（1）其中，归一化常数M,2NANN（2）XHN的递推关系为02211XNHXXHXHNNN（3）142121211212121221212212211112112112121122222222222222222XNXNXHENNXHENNXHENXNHENXNHXHEAXXXHEAXXHEAXXNNNXNNXNNXNNXNNNXNNXNNXNN2112121222121221212121222222112XNNXNXNXNXNNXNXNNXXNXXNXXNNNNNNNNNN0212111DXXNXNXDXXXNNNNN2212112212112212121222222NNNNNENNMDXXNMXDXXXMXV39）利用HERMITE多项式的求导公式。证明（参A3式（12）2222211211212212NNNNNNNNNNNXDXDNNXDXD证A3式（12）2DXDH,21N1XHNXNHHNNN152122212221111112122222222XNXNXNXNXNXNXXXHNEXHEXAXDXDNNNNNNNNXNXNN22222222112122221212212NNNNNNNNNNNNNNNNNNXDXD021211DXNNIDXDXDIPNNNNN2212112412421121222222222222222NNNNNNNNNENNMMDXNMDXNNNNMDXDXDMMPT310）谐振子处于N态下，计算212XXX，212PPP，PX解由题36），MNMEMVXXN212,0222由题37），MNMETMPPN212,02212121212122212212122212NPXMNPPPPPMNXXXXX对于基态，2,0PXN，刚好是测不准关系所规定的下限。1631）荷电Q的谐振子，受到外电场的作用，XQXMXV2221（1）求能量本征值和本征函数。解XQHXQXMMPH0222212（2）0H的本征函数为222XHEANXNN，本征值210NEN现将H的本征值记为NE，本症函数记为XN。式（1）的势能项可以写成2020221XXXMXV其中20MQX（3）如作坐标平移，令0XXX（4）由于PDXDIDXDIP（5）H可表成2022,2221212XMXMMPH（6）（6）式中的H与（2）式中的0H相比较，易见H和0H的差别在于变量由X换成X，并添加了常数项20221XM，由此可知202021XMEENN（7）0XXXXNNN（8）即,2,1,0,2212121222222NMQNMQMNEN（9）22222MQXHEAXNMQXNN10其中M,2NANN1312）设粒子在下列势阱中运动，17X的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H和谐振子的H完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的SEQ）。振子的具有12KN的奇宇称波函数在0X处为零，因而这些波函数是这一问题的解（KN2的偶宇称波函数不满足边条件00）所以,2,1,0,232KKEK313）设粒子在下列势阱中运动，AR1是否存在束缚定态求存在束缚定态的条件。解SEQEAXRDXDM22222对于束缚态（0），A时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1COTHA，式（10）给出22MR即222222MRME（13）与势阱XRXV的结论完全相同。令A，则式（10）化为22COTH1MRA（14）由于1COTH1，所以只当122MRA时，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用MEAA2，即可求出能级2222MAE（15）第四章力学量用算符表达与表象变换41）设A与B为厄米算符，则BAAB21和BAABI21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F均可分解为IFFF，F与F均为厄米算符，且FFIFFFF21,2119证）BAABABBABAABBAAB21212121BAAB21为厄米算符。）BAABIABBAIBAABIBAABI21212121BAABI21也为厄米算符。）令ABF，则BAABABF，且定义FFIFFFF21,21（1）由），）得FFFF,，即F和F皆为厄米算符。则由（1）式，不难解得IFFF42）设,PXF是PX,的整函数，证明F,F,PIFXXIFP整函数是指,PXF可以展开成0,NMNMMNPXCPXF。证（1）先证11,NNMMPNIPXXMIXP。111111331332312221111,1,3,2,MMMMMMMMMMMMMMMMMMXMIXIXIMXXPXIMXXPXIXXPXXPXXIXXPXXPXXIXXPXPXXP同理，1221222111,2,NNNNNNNNNPNIPPXPIPPXPPXPPIPPXPXPPX现在，200,10,0,NMNMMNNMNMMNNMNMMNPXMICPXPCPXCPFP而0,1NMNMMNPXMICXFI。F,XIFP又0,10,0,NMNMMNNMNMMNNMNMMNPNIXCPXXCPXCXFX而0,1NMNMMNPNIXCPFIF,PIFX43）定义反对易式BAABBA,，证明CABCBABCABCACBACAB,证BCACBABCAACCBBCACABACBACBABCBCACBACAB,CABCBACAACBCBAABBCABACBACABCCABCBABCA,4）设A，B，C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为BABABABA,ZYX,，为LEVICIVITA符号，试验证CBACBACBA（1）CBACBACBA（2）CBACBACBA（3）21证（1）式左端XYYXZZXXZYZYZYXCBCBACBCBACBCBACBACBA（1）式右端也可以化成CBACBA。（1）式得证。（2）式左端CBACBACBA（3,2,1）CBABACBACBACBCBACBCBA（2）式右端CBACBACBABACBACBACBACBACBACBACBACBA故（2）式成立。（3）式验证可仿（2）式。45）设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明BFABAFBAF,（1）BFABAFBAF,（2）证（1）式右端FBBFABFAAFFBABFABFABAFBAFFBABAF,（1）式左端（2）式右端FBBFABFAAFFBABFABFABAFBAFFBABAF,（2）式左端46）设F是由R，P构成的标量算符，证明RFRIPPFIFL,（1）证KFLJFLIFLFLZYX,（2）224,题YFZZFYIPPFPPFIPPFIYFZIPYFIZFYIPFZFPZPFYFPYFZPYYPZFLXYZZYYZZYYZZXXRFRIPPFI（3）同理可证，YYYRFRIPPFIFL,（4）ZZZRFRIPPFIFL,（5）将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。47）证明PIPLLP2PLPLLPI,2。证ZYZYYZZYYZZYXPLLPPLPLLPLPPLLP,利用基本对易式PILPPL,即得XXPIPLLP2。因此PIPLLP2其次，由于XP和XL对易，所以XYZZYYZZYYZZYZYYZXZZZXZXYYYXYXZXYXPLLPIPLPLLPLPIPLLPPLLPIPLLLPLPLLLPLPLPLPL,222因此，PLPLLPI,248）证明PRIPRPRL222（1）2222PLLPPLLPPL（2）22224PPLPLLP（3）232PLIPLPL（4）证（1）利用公式，CBACBA，有PRRPPRPPRRPRRPPRRPPRRPL22其中RIPRRIPRRP22222IPRRIPRRP3因此PRIPRPRL2222（2）利用公式，0PPLPPL（）可得LPPLLPPL02,L0222PPLLPLLPPLPPLPLPLPLPLPL202,L222PPLPLPLPLLPLPLPLPLP2222PLLPLPPL由，则（2）得证。（3）PILPLPPLLP217422222224222174PPLPPLPIIPLPLPILP（4）就此式的一个分量加以证明，由4）（2），CBACBACBAXXXPLPLPLPLPLPL，其中YYZZXXEPEPILPPL（即KPIJPIKPJPIPLYZZYXX0,）22PLIPLIPPLPPLIPPLIPLPLEPEPPLILPPLPLPLXXXXZYYZZXX类似地。可以得到Y分量和Z分量的公式，故（4）题得证。2449）定义径向动量算符RRPPRRPR1121证明RRPPA，RRIPBR1，IPRCR,，RRRRRRRPDR222222212，22221RPLRPE证ABCAABC，R112111211121PPRRRRPPRRRRPRRPPRRPR即RP为厄米算符。RRIRRIRIRRRRIRIRRRRIRRIRRIPRRRRIPRRPRRRRPPRRPB11323211222111213RIRRRRIRRRRIRRIRRRIPRCR1,1,2221BRRPDR2222111RRRRRRRRRRRRRRRR2111122222222RRRR222125E据48）（1），PRIPRPRL2222。其中RRIRIPR，因而RRRRRRPRL22222RRRRPR2222222以2R左乘上式各项，即得RRRLRP21222222D942221RPLR410利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解一维谐振子能量222212XMMPEXX。又022DXXEXX奇，M，0XP，（由38、39题可知0,0XPX）XXXX，XXXXPPPP，由测不准关系，,2XPX得XPX2。22221221XMXMEX028232XMXMDXDEX，得MX222122128220MMMMEX同理有210YE，210ZE。谐振子（三维）基态能量230000ZYXEEEE。41利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。解类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数E换成ZE（Z为氢原子系数）而U理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径220UEA，在类氢原子中变为ZAA0。26类氢原子基态波函数AREA3101，仅是R的函数。而DDREDDREDRDERSIN11，故只考虑径向测不准关系RPR，类氢原子径向能量为RZEUPER222。而RZEUPH222，如果只考虑基态，它可写为RZEUPHR222，RDRDIPR1RP与R共轭，于是RPR，RR，RZERMRZEUPER2222222（1）求极值RZERMRE2320由此得AZAMZER022（0A玻尔半径；A类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得基态能量，AZEEMZE222242运算中做了一些不严格的代换，如RR11，作为估算是允许的。412证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。证设定态波函数的空间部分为，则有EH为求P的平均值，我们注意到坐标算符IX与H的对易关系UPIXVUPPXHXIJJJII2,。这里已用到最基本的对易关系IJJIIPX,，由此270,IIIIIIIEXEXIUHXHXIUHXIUPP这里用到了H的厄米性。这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符C可以表示为两个厄米算符A和B的对易子BAIC,，则在A或B的本征态中，C的平均值必为0。413）证明在的本征态下，0YXLL。（提示利用XYZZYLILLLL，求平均。）证设是ZL的本征态，本征值为M，即MLZXLIYZZYZYLLLLL,L，YLIZXXZXZLLLLL,L，0111YYYZZYYZZYXLMLMILLLLILLLLIL同理有0YL。414设粒子处于,LMY状态下，求2XL和2YL解记本征态LMY为LM，满足本征方程LMLLLML221，LMMLMLZ，LMMLLMZ，利用基本对易式LILL，可得算符关系XYZXZYXYZZYXXXLLLLLLLLLLLLLILI2XYZZXYYXYZYZXYLLLLLLLILLLLILLL2将上式在LM态下求平均，因ZL作用于LM或LM后均变成本征值M，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，28因此22YXLL又2222221MLLLLLLZYX2222121MLLLLYX上题已证0YXLL。2222222121MLLLLLLLLXXXXXX同理222121MLLLY。415设体系处于20211YCYC状态（已归一化，即12221CC），求（A）ZL的可能测值及平均值（B）2L的可能测值及相应的几率；（C）XL的可能测值及相应的几率。解12122YYL，2022026YYL；11YYLZ，20200YYLZ。（A）由于已归一化，故ZL的可能测值为，0，相应的几率为21C，22C。平均值21CLZ。（B）2L的可能测值为22，26，相应的几率为21C，22C。（C）若1C，2C不为0，则XL（及YL）的可能测值为2，0，2。1）XL在1L的空间，ZLL,2对角化的表象中的矩阵是0101010102求本征矢并令1，则CBACBA01010101021，得，AB2，BCA2，CB2。1,0。）取0，得ACB,0，本征矢为AA0，归一化后可得本征矢为10121。29）取1，得CAB22，本征矢为AAA2，归一化后可得本征矢为12121。）取1，得CAB22，归一化后可得本征矢为12121。在001111CYC态下，XL取0的振幅为21012100111CC，XL取0的几率为221C；XL取的振幅为21212100111CC，相应的几率为421C；XL取的振幅为21212100111CC，相应的几率为421C。总几率为21C。2）XL在2L的空间，ZLL,2对角化表象中的矩阵利用1211MJMJMJJMJX1211MJMJMJJMJX1122XJ，230212XJ，231202XJ，12212XJ。01000102300023023000230100010XL，本征方程EDCBAEDCBA01000102300023023000230100010AB，BCA23，CDB23，DEC23，ED，2,1,0。）0，0B，CA23，0D，CE23本征矢为10320183。在001002202CYC态下，测得0XL30的振幅为2103201830010022CC。几率为422C；）1，AB，0C，BD，ED，本征矢为1101121。在202YC态下，测得XL的振幅为01101121001002C，几率为0。）1，AB，0C，BD，DE，本征矢为1101121，在202YC态下，测得XL几率为0。）2，AB2，AC6，AED22，ACE6，本征矢为1262141，在202YC态下，测得2XL的振幅为2246126214100100CC。几率为2283C；）2，AB2，AC6，AD2，AE，本征矢为1262141，在202YC态下，测得2XL的几率为2283C。2222418383CC。31在20211YCYC态中，测XL（和YL）的可能值及几率分别为222122212122834141214183202CCCCCC416）设属于能级E有三个简并态1，2和3，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。解11111,1A12122,，2222,1，23213133,，3333,1。321,是归一化的。0,1,1121212221，0,1,21321131313331，0,1,22321231323332。它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证它们仍对应于同一能级）。417）设有矩阵SCBA,等，证明BAABDETDETDET，AASSDETDET1，BATRABTR，TRAASSTR1，CABTRBCATRABCTR，ADET表示矩阵A相应的行列式得值，TRA代表矩阵A的对角元素之和。证（1）由定义NNIIIIINAAAIIPA2111DET，01111111其他情形的奇置换是当的偶置换是当NIINIIIIPNNN故上式可写成NNNIJIJIJIINNAAAJJPIIPA221111DET，其中NJJ1是N1的任意一个置换。32NNIIIIINCCCIIPABC2111DETDETNNNNNIIJJIJJIJJIJJNBABABAIIP1122211211NNNNNJJIIIJIJIJNJJJBBBIIPAAA1122121121NNNNNJJIIIJIJIJNNJJJNBBBJJPIIPAAAJJP112212111211BADETDET（2）ASSSASASSDETDETDETDETDETDETDET111AASSDETDETDET1（3）BATRABBAABTRIKIKKIIKKIIK（4）TRAASSTRSASTRASSTRASSTR1111（5）CABTRBACBCATRACBCBAABCTRJKIJIJKKIIJIJKKIJKIJKKIJKIJ第五章力学量随时间的变化与对称性51）设力学量A不显含T，H为本体系的HAMILTON量，证明HHAADTD,222证若力学量A不显含T，则有HAIDTDA,1,令CHA,则HCHCIDTCDIDTAD,1,11222,HHAADTD,22252）设力学量A不显含T，证明束缚定态，0DTDA证束缚定态为TIENNNERTR,。在束缚定态TRN,，有TRETRTITRHNNNN,。其复共轭为TREERTITRHNNTIENNN,。3NNDTDADTDA,NNNNNNAAADTD,NNNNHIAAHIDTDA1,1NNNNAHIHAIHAITA,1,1,1NNHAAHIHAI,1,10,1AHHAI。53）XXIAPXAADEXPEXP表示沿X方向平移距离A算符证明下列形式波函数（BLOCH波函数）XEXKIKX,XAXKK是ADX的本征态，相应的本征值为IKAE证AXEAXXADKAXIKXXEXEEIKAKIKXIKA,证毕。54）设M表示ZL的本征态（本征值为M），证明MEEYZIKLIKL是角动量L沿空间,方向的分量NLCOSSINSINCOSSINZYXLCLLNLLN的本征态。证算符YIKLE相当于将体系绕Y轴转角，算符ZIKLE相当于将体系绕Z轴转角，M原为ZL的本征态，本征值为M，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的Z轴（开始时和实验室Z轴重合）已转到实验室坐标系的,方向，即N方向，MYLM变成了，即变成了NL的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为M。（还有解法二，参钱剖析P327）5）设HAMILTON量RVUPH22。证明下列求和规则UXEENNMMN222。X是R的一个分量，N是对一切定态求和，NE是相应于N态的能量本征值，NENHN。34证XXXPUIPIUPXUHX221,21,2（）ANNMMNXEE2MEENNXMMNNMXHNMHXNNXMNMHXNNXMN,2,21MPXNNXMUXNMPNNXMUIXNNXNXPMUI又ANMNMXNNEEMMXNNHXMN,NXNXPMUIA2NXXMXPPMUINXMPXMUI,UIUI2，AUXEENNMMN222。不难得出，对于ZY,分量，亦有同样的结论，证毕。56）设PRF,为厄米算符，证明能量表象中求和规则为KFHFKFEENNKKN,212（1）证式（1）左端令AKFNNFKEENKNKFHHFNNFKNKFHFK,（2）计算中用到了公式1NNN。由于FH,是厄米算符，有下列算符关系FHHFFHFHHFFHHFFH,（3）式（2）取共轭，得到AAKFHFK,KFFHK,3,KFHK（4）结合式（2）和（4），得AKFHFKFEENNKKN,212证毕。57）证明SCHRDINGER方程变换在GALILEO变换下的不变性，即设惯性参照系K的速度相对于惯性参照系K运35动（沿X轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系,TTZZYYVTXX。（1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系TXVTTXVTXV,（2）证明SCHRDINGER方程在K参照系中表为2222VXMTI在K参照系中表为VXMTI2222其中TTXTMXMI,2EXP2证由波函数的统计解释，和的意义完全相同。TXWTX,2，是T时刻在X点找到粒子的几率密度；2,TXWTX，是T时刻在X点找到粒子的几率密度。但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即,TXWTXW（6）从（1）式有TXWTTXW,（6）由此可以得出，和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以TTXETXETXTXISIS,（7）TXETTXTXIS,（7）由（1）式，XX,TXVT,2222XX（3）式变为222,2TXTXVTXXM,TXTITXXI（8）将（7）代入（8）式，可得TSXSXSMTSMITXVXXSMIXM2222222222,2TI（9）36选择适当的TXS,，使得（9）（4），0XSM。（10）02222222TSXSXSMXSMI（10）从（10）可得TFXMS。（1）TF是的任意函数，将（1）代入（10），可得22MTF积分，得CTMTF22。C为积分常数，但0时，K系和K系重合，应等于，即S应等于0，故应取0C，从而得到TMXMS22（12）代入（7）式，最后得到波函数的变换规律TMXMI2211EXP（13）逆变换为221EXPTMXMIEIS（13）相当于式（13）中的，带”，“的量和不带”，“的量互换。讨论TXS,的函数形式也可用下法求出因TXS,和势能V无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在K和K系中的表现形式，即可确定TXS,沿X方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为MPP2222212122MPEMPMPMPE（14）据此，K系和K系中相应的平面波波函数为ETPXIE，TEXPIE（15）（1）、（14）代入（15），即得TMXMI2211EXP37此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于K和K系的相对速度，而与粒子的动量P无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。第六章中心力场61利用613节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量21121PMPMMRP（1）总动量21PPRMP（2）总轨迹角动量PRPRPRPRLLL221121（3）总动能222222222121PMPMPMPT（4）反之，有,11RMRRRMRR22（5）PPMP21，PPMP12（6）以上各式中，212121,MMMMMM证212211MMRMRMR，（17）21RRR，（18）相对动量21122121211PMPMMRRMMMRP（1）总动量2121221121PPMMRMRMMMRMP（2）总轨迹角动量221121PRPRLLL52211PRMURPRMUR2112211PMPMMRPPR21PRPR由（17）、18可解出21,RR，即（5）式；由（1）（2）可解出（6）。总动能22112262221212222MPPMMPPMMPMPT382122222122112222122222MPPUMPPMMUMPPUMPPMU2122221222211112122MMPPMMMPMMM2222PMP（4）从（17），18式可解出（5）式；从（1），2式可解出（6）式62同上题，求坐标表象中P、P和L的算术表示式RIPRIP，PRPRL解211221121RRMMMIPMPMMP（1）其中1111ZKYJXIR，而XXMMXXXXXXX1111，同理，YYMMY11ZZMMZ11；（利用上题（17）（18）式。）1RRRMM1；仿此可设2RRRMM1（2）代入（1）中，得RRRRMMMMMMMIP121221RI（3）2121RRIPPP2RI（4）PRPRL只要将（3）、（4）式中的P、P以相应的算符代入即可。63）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱（A）电子偶素（POSITRONIUM，指EE束缚体系）（B）U原子（MUONICATOM）（C）U子偶素（MUONIUM，指UU束缚体系）39解由氢原子光谱理论，能级表达式为22412NUEEN,PEPEMMMU。（A）电子偶素能级22414NUEEN，（2EEEEEMMMMU）（B）U原子能级22412NEUEUN，（PUPUUMMM）（C）U子偶素能级22414NEMEUN，（2UUUUUMMMMU）64）对于氢原子基态，计算PX。解在求坐标系中，空间反演RR（,RR）。氢原子基态波函数为02130101AREA（1）宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以0,0XPX（2）由于10各向同性，呈球对称分布，显然有222222223131PPPPRZYXZYX（3）容易算出DRR2102222DDRDREARARSIN10230203A（4）2PD102102D101010102D21022DDRDRRSIN2102202A（5）因此2X20A，022AXXX（6）20223APX，0223APPPXXX（7）3XPX（8）测不准关系的普遍结论是2XPX（9）40显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且3很接近式（9）规定的下限2。65）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区AR2（即0。因此，电子处于经典不允许区的几率为AARDDDRREAP2020223SIN1（令AR2）423324DEAA23810134E6）对于类氢原子（核电荷ZE）的“圆轨迹”（指1,0NLNR的轨迹），计算（A）最可几半径；（B）平均半径；（C）涨落2122RRR解类氢原子中电子波函数NLM可以表示为,1,LMLNLMLNNLMYRURYRRRR（1）（A）最可几半径由径向几率分布的极值条件0RUDRDLNR（2）决定。1NL时，0RN。NAZRNNECRRU1,0代入（2）式，容易求得ZANR02几（4）这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。（B）在NLM态下，各R之间有递推关系（KRAMERS公式）01241212222212RZALRZARRN5（参钱伯初、曾谨言量子力学习题精选与剖析P197）41在（5）式中令0，注意到10R。可设ANZRNLM216依次再取2,1，得到AZLLNRNLM13212122NLAZNN（7）（C）222213512AZLLNNRNLM122121NLAZNNN（8）因此，R的涨落2122RRRZANN4223（9）121222NNNNRR（10）可见，N越大，RR越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。67）设电荷为ZE的原子核突然发生衰变，核电荷变成EZ1，求衰变前原子Z中一个K电子（S1轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子1Z的K轨迹的几率。解由于原子核的衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的K电子，其波函数仍未AZREAZRZ21310,（1）而新原子中K电子的波函数应为ARZEAZRZ12133101,1（2）将RZ,10按新原子的能量本征态作线形展开RZCRZNLMNLMNLM,10（3）则衰变前的S1电子在衰变后处于新原子的RZNLM,1态的几率为21021ZZCPNLMNLMNLM（4）因此，本题所求的几率为10P22122623321010411DRREAZZZZARZ426363321111211ZZZZZ（5）展开时保留到第三项当1Z，上式可近似取成210431ZP（5）例如，10Z,9932010P；30Z,9992010P。68）设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核满壳电子）的作用近似表为222RAERERV（10T时，A粒子1自旋向上的几率（答2COS2AT，取1）B粒子1和2的自旋向上的几率（答0）C总自旋S0和1的几率（答都是21）D求和的平均值（答02211YXYXSSSS，ATSZCOS211，ATSZCOS212）。解从求体系的自旋波函数入手，由于232221SASSAH（1）易见总自旋S是守恒量，所以定态波函数可以选为2S、ZS的共同本征函数，按照总自旋量子数S的不同取值，本征函数和能级为43,0,4,10011AESAESSM（2）0T时，体系的自旋态为01021210（3）因此，0T时波函数为TIETIEEET010102121（4）即434212121212121IATIATEET42SIN212COS21IATEATIAT（4）A）由式（4）可知，在时刻T，粒子1自旋“向上”同时粒子2自旋“向下”，相当于21项的几率为2COS2AT。49B粒子1和2自旋均“向上”相应于21，式（4）中没有这种项的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋ZS为守恒量，而体系初态0ZS，所以任何时刻ZS必为0，不可能出现两个粒子均“向上”1ZS的情形。C由式（4）可知，总自旋量子数S取1和0的几率相等，各为21。由于2S守恒，这个几率不随时间改变D利用式（4）容易算出1S和2S的平均值为COS21,COS212SIN2COS21,0122212211。ATSSATATATSSSSSTZTZTZTYTXTYTX（5）第九章力学量本征值问题的代数解法91）在82节式（21）中给出了自旋（21）与轨迹角动量（L）耦合成总角动量J的波函数JLJM，这相当于21,21SJLJ的耦合。试由82节中式（21）写出表91（A）中的CG系数JMMMJ21121解82节式（21A）（21B）21,021MMLLJJJLJM11121LMLMYMLYMLL21,2121,212121,21JJMJJMJJYMJYMJJMJMLJ（21A）21JLJLJM11121LMLMYMLYMLL21,2121,211122121,021JJMJJMJJYMJYMJJMJMLLJ（21B）21JL此二式中的L相当于CG系数中的1J，而212SJ,21,21MMMMJ。因此，（21A）式可重写为JM222112211MJMMJMJMJMJ50212121212121212111111111MJJMMJMJJMMJ212112212121122111211111211121121,21MJJMJMJJMJJLJA（21A）对照CG系数表，可知当21121JJJJ,212M时，21111112212121JMJJMMJ而212M时，21111112212121JMJJMMJ对于21211JLJ的（21B）式，有21111111221,212121JMJMJMJ21111111221,212121JMJMJMJ92）设两个全同粒子角动量21JJJ，耦合成总角动量J，JMJ221212121JMJMMJMMJJM（1）利用CG系数的对称性，证明JMJJJJMJP22212由此证明，无论是BOSE子或FERMI子，J都必须取偶数证由式（1），JMJP21212212121JMJMMJMJMJM把21MM,12122112JMJMMJMJMJM利用CG系数的对称性21212112212JMJMMJJJMMJMJJMJJJ222对于FERMI子，J半奇数，J2奇数，但要求12P，51即要求12JJ，所以J必须为偶数。12MAXJJ，（JJ2MAX情况，只能构成交换对称态，为什么）因此0,2,32,12JJJ可验证态JMJ2的总数为12JJ。1212120JJJJJ。对于BOSE子，J整数，J2偶数，但要求12P即12JJ，故J也必须为偶数0,2,22,2JJJ93）设原子中有两个价电子，处于NLE能级上，按LS耦合方案，LLL21，SSS21，JSL（总角动量）证明（A）SL必为偶数；（B）SLSLJ,。当0S时，LJ（偶）；1S时，1,1LLLJ，J可以为奇，也可以为偶。证自旋的耦合2121SS，01反对称，单态对称，三重态S轨迹角动量的耦合LLL21，0,1,12,2LLL其中L偶是对称态，L奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以0S时，0,22,2LLL1S时，1,12,2LLL在两种情况下，SL都为偶数，但SLSLJ,对于0S，LJ偶；1S，1,1LLLJ。J可以为奇，也可以为偶讨论本题结论与题92有无矛盾（按J耦合方案，似乎J必为偶数）。提示在本题中，若用J耦合来分析，J是否只有一个J值两种耦合方案得出的态数是否相等94）大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态0J，证明ZZJJ21JJJ,1,的几率却相等，即121J。52提示利用1200JMJMJMJ（P235，式（23）证DIRAC符号表示，有0JJMJJ2100J，JMJMJJ21122112211MJMMJMJMJMJ（1）在本题的情况下，JJJ21，0MJ，MMM令21。则（1）成为00JMMJMJMJMJ00（2）其中00MJMJ即为耦合表象中的态00J用无耦合表象基矢展开时的展开式系数CG系数，其模即表示体系处于00J态时，测得ZJ1取值M（同时ZJ2取值M，M取JJJ,1,各可能值）的几率。由提示，1200JMJMJMJ（3）121002JMJMJ（4）即，对于给定的JJJ21所合成的态0J，ZZJJ21JJJ,1,的几率与M的具体取值无关，皆为121J。95）设JJJ21，在JMJJ21态下，证明（取1）02211YXYXJJJJ，1211122111JJJJJJJJMJZ1211111222JJJJJJJJMJZZJM1证（参剖析，868等）96）在ZLL,2表象以为LM基矢中，1L的子空间的维数为3，求XL在此三维空间中的矩