高教出版社《理论力学》习题部分答案

静力学13试画出图示各结构中构件AB的受力图FAXFAYFBAAFAFBFBFDFDFBXFBYFBXFCFBFCFBY14试画出两结构中构件ABCD的受力图15试画出图A和B所示刚体系整体合格构件的受力图15A15BFAXFAYFDFBYFAFBXFBFAFAXFAYFDXFDYWTEFCXFCYWFAXFAYFBXFBYFCXFCYFDXFDYFBXFBYTENFBFDFANFAFBFD18在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。解杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1解析法假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示由共点力系平衡方程，对B点有0XF045COS2对C点有31FBC解以上二个方程可得22163F解法2几何法分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。对B点由几何关系可知0245COSF对C点由几何关系可知13B解以上两式可得2623在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束FABFBCFCD60OF130OF2FBC45OF2FBCFABB45OYXFCDC60OF130OFBCXY0453力。解BC为二力杆受力如图所示，故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）0M045SIN10MAFA3其中TAN。对BC杆有AFABC540。A，C两点约束力的方向如图所示。24四连杆机构在图示位置平衡，已知OA60CM,BC40CM,作用在BC上力偶的力偶矩M21NM。试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力ABF。各杆重量不计。解机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有0M03SIN2MCBF对AB杆有AB对OA杆有1AO求解以上三式可得MN3，NFCB5，方向如图所示。FBFAFBFCFAFOOFAFBFBFCC26等边三角形板ABC,边长为A，今沿其边作用大小均为F的力321,，方向如图A,B所示。试分别求其最简简化结果。解26A坐标如图所示，各力可表示为JFI231，I2，JFIF2313先将力系向A点简化得（红色的）JIR3，KAMA23方向如左图所示。由于RF，可进一步简化为一个不过A点的力绿色的，主矢不变，其作用线距A点的距离AD43，位置如左图所示。26B同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为IFR2其作用线距A点的距离AD43，位置如右图所示。简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果213图示梁AB一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D。设重物重为P,AB长为L，斜绳与铅垂方向成角。试求固定端的约束力。法1解整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为X轴正向，竖直向上为Y轴正向，力偶以逆时针为正）0F0SINBXFPYCOSY选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程XYFRMAFRDXFRMAFRDYPBFBXFBYP0XF0BXAFYYAML求解以上五个方程，可得五个未知量ABYXAYXM,分别为SINPFBXA（与图示方向相反）CO1Y（与图示方向相同）L（逆时针方向）法2解设滑轮半径为R。选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程0XF0SINPAXYCOY0AM02TANSISRPLRLA求解以上三个方程，可得AYAXMF,分别为SINPFAX（与图示方向相反）CO1Y（与图示方向相同）LM（逆时针方向）218均质杆AB重G，长L，放在宽度为A的光滑槽内，杆的B端作用着铅垂向下的力F，如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角。解选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程0AM0COSS2COSLFLANDYF0求解以上两个方程即可求得两个未知量,DN，其中312ARCOSLGA未知量不一定是力。227如图所示，已知杆AB长为L，重为P，A端用一球铰固定于地面上，B端用绳索CBMAFBXFBYFAXFAYMAPFAXFAYPANANDD拉住正好靠在光滑的墙上。图中平面AOB与OYZ夹角为，绳与轴OX的平行线夹角为，已知NPMCAO20,45,3TAN,40,7。试求绳子的拉力及墙的约束力。解选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程0YM0TANSICOSTAN21CFCPBCBCNFBC60X0SINACBCNB1由0YF和Z可求出AZY,。平衡方程XM可用来校核。思考题对该刚体独立的平衡方程数目是几个229图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。已知力F作用在平面BDEH内，并与对角线BD成O45角，OAAD。试求各支撑杆所受的力。解杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程0DEM0COS2F020AOM045COS45COS006AFAF26受拉BH64受压0AD045SIN45COS01AFAAFF21受压CMI33受拉0B045COS5AFA05F本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。231如图所示，欲转动一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩CMNM150。已知棒料重NP40，直径CMD25。试求棒料与V形槽之间的静摩擦因数SF。解取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0OYXMF0245SINCO110221MDFNP补充方程21NFFS五个方程，五个未知量SFF，21,，可得方程02MDPFMSS解得49,301SF。当4912F时有1SFN即棒料左侧脱离V型槽，与题意不符，故摩擦系数230SF。233均质杆AB长40CM，其中A端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子CD保持平衡，如图所示。设CMDCBC25,1，平衡时角的最小值为O45。试求均质杆与墙之间的静摩擦因数SF。解当045时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0AYXMF0SIN2COSSINICOS0IABPCTCATFSN附加方程NSF四个方程，四个未知量SSF，,，可求得640SF。235在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，A，B为支点，如图所示。若ACB，A和B于斜面间的静摩擦因数分别为1SF和2，试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角。解选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为A，重为P，列平衡方程0XBAFM0SIN32COSISPFAABANB如果棱柱不滑动，则满足补充方程NBSAFF21时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量,A，其中32TAN12SF1当物体不翻倒时0NBF，则62即斜面倾角必须同时满足1式和2式，棱柱才能保持平衡。310AB,AC和DE三杆连接如图所示。杆DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。试求在水平杆DE的一端有一铅垂力F作用时，杆AB所受的力。设DEBCHDA,，杆重不计。解假设杆AB，DE长为2A。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程0M02AYBF取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程HDYFDY002AXX2取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程YFBYAYF与假设方向相反0M02AXD与假设方向相反BFAX与假设方向相反312ADCB,和四杆连接如图所示。在水平杆AB上作用有铅垂向下的力F。接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F的位置如何，杆AC总是受到大小等于F的压力。解取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程0CM0XFBD取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程0A0XBBF杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程0EM022BFXBACDB解得FAC，命题得证。注意销钉A和C联接三个物体。FCXFCYFBXFBYFDXFDYFHYFBXFBYFDYFDXFAXFAYFCXFCYFDFABXFABYFBFEXFEYFACFB314两块相同的长方板由铰链C彼此相连接，且由铰链A及B固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为M的力偶。如BA，忽略板重，试求铰链支座A及B的约束力。解取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有0A0FBA即BF必过A点，同理可得必过B点。也就是AF和B是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程0CM045COS45SINMBFAAA解得B2方向如图所示320如图所示结构由横梁BCA,和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求A处的约束力及杆1，2，3所受的力。解支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2QA，作用在BC杆中点。列平衡方程0BM0245SIN0MAQF3受压选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程0XF045COS31FFAFBFCXFCYFBXFBYF3DF3F2F1XYQAMF21受压0Y045SIN32QAMF受拉选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0XF045COS3FAX2QAMFAX与假设方向相反Y04SIN32PYQAPFAY4M352AQPAA4逆时针321二层三铰拱由DGBC,和E四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。试求支座,的约束力。解选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程0AM02AFBYFBYAXFX1由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得FE2。取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0CM045SINAFAFEBYX2FBX代入公式1可得2AFAXFAYF3F2MAFAXFAYFBXFBYFEFGFEFGFFCYFCXFEFBYFBXPFAXFAYN1N2N1T324均质杆AB可绕水平轴A转动，并搁在半径为R的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC拉在销钉A上，杆重16N，RACB2,3。试求绳的拉力和杆AB对销钉A的作用力。解取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程0AM06COS231R9361XFINNAXFAXYY52Y取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0X03COS0S1T936NT注意由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。327均质杆AB和BC完全相同，A和B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示。设静摩擦因数350SF。试求平衡时角的范围。解取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程AM0COS2SIN2FNTAN2PFN1取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0B0COSCS2SINLPLSNS2补充方程NSFF，将1式和2式代入有2TANSF，即01。FAXFAYFNFSPPFBXFBYFNFSP330如图所示机构中，已知两轮半径量CMR10，各重NP9，杆AC和BC重量不计。轮与地面间的静摩擦因数20SF，滚动摩擦系数。今在BC杆中点加一垂直力F。试求平衡时F的最大值AX；当MAX时，两轮在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。解取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程0YXF02PFNES由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力F，以及B和C处的约束力B和AC，由三力平衡汇交，可确定约束力B和AC的方向如图所示，其中31TAN，杆AC受压。取轮A为研究对象，受力如图所示，设ACF的作用线与水平面交于F点，列平衡方程0M0DSMRFNP取轮B为研究对象，受力如图所示，设B的作用线与水平面交于G点，列平衡方程FSE0G0TANR解以上六个方程，可得PFND41，PN43，SE，FMED1若结构保持平衡，则必须同时满足M，NDSSF，NESSFF即PRFFPRPFSS431,4,3,4MIN，因此平衡时的最大值60MAXF，此时91NSED，90CMMEDFNDFNEFSDFSEMEMDFBFACFACFNDFSDMDFFNEFSEMEFBG335试用简捷的方法计算图中所示桁架1，2，3杆的内力。解由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程0CM0346COS1GHFF5814KN受拉XIN3受拉Y2672受压338如图所示桁架中，ABCDEG为正八角形的一半，GBCAED,各杆相交但不连接。试求杆BC的内力。解假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0XF0CDFCD受压取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0YXF0SIN45SINCOCO0CGBDCF其中21TAN，解以上两个方程可得FB586受压340试求图中所示桁架中杆1和2的内力。解取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0AM03AFAFBFB52F2F3F1SFGFHSFGFEGFCDFABCFBCFCDFCGABC345FAYFAXFBSSF1F3F4F5F2用截面SS将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0CM032AFABF672受拉XF2151受拉41力铅垂地作用于杆AO上,115,6DOCBAO。在图示位置上杠杆水平，杆DC与DE垂直。试求物体M所受的挤压力MF的大小。解1选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为MF,。2该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。3在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角，相应的各点的虚位移如下AOR，BOR，COR1D1，C，ED代入可得EA304由虚位移原理IFW有030EMEARRR对任意0E有M，物体所受的挤压力的方向竖直向下。44如图所示长为L的均质杆AB，其A端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度。解4A1选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2该系统的位置可通过杆AB与Z轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知TANH杆的质心坐标可表示为COS2TLZC3在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度，则质心C的虚位移SINSIN2LAZ4由虚位移原理0FW有0SI2SILPZC对任意0有RARCRBRDRE0SIN2SINLA即杆AB平衡时31ARCIL。解4B1选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2该系统的位置可通过杆AB与Z轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知SINRZA杆的质心坐标可表示为COS2ILC3在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度，则质心C的虚位移SIN2COSSIN2LRZC4由虚位移原理0FW有0SICOSINLRPZ对任意0有02COSSIN2LR即平衡时角满足I3。45被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重P，弹簧原长为2A，试求系统在角保持平衡时的弹簧刚度系数值。解1选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力21,F，且21，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有21,，以及重力P。2该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。由几何关系可知SINAZBA3在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移，则质心的虚位移为COSZC弹簧的长度2SINAL，在微小虚位移下CO4由虚位移原理0IFW有02COSCOS2AFPALZPC其中SIN2AKF，代入上式整理可得02COSSINCOKA由于0，对任意0可得平衡时弹簧刚度系数为2CSSI2PK46复合梁AD的一端砌入墙内，B点为活动铰链支座，C点为铰链，作用于梁上的力KNFKNF3,4,521，以及力偶矩为MKNM2的力偶，如图所示。试求固定端A处的约束力。解解除A端的约束，代之以AYAXMF,，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力MF,321的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移AYX,和梁AC的转角为广义坐标。1在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0YX，如图所示。由虚位移原理0IW有AX对任意0A可得XF2在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0AAYX，如下图所示。由虚位移原理0I有321MFYAY1由几何关系可得各点的虚位移如下ACYY31ACY312ACY3代入1式031312AYYMFF对任意0AX可得4KNAY，方向如图所示。3在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0AAYX，如上图所示。由虚位移原理0IFW有321MFYMA2有几何关系可得各点的虚位移如下21Y3C2Y代入2式01FA对任意0可得7MKNMA，逆时针方向。47图示结构上的载荷如下MKNQ2；力KF41；力KN12，其方向与水平成O60角；以及力偶，其力偶矩为M8。试求支座处的约束力。解将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷3，大小为Q6。1求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力BF，并将其视为主动力，系统还受到主动力MF,321的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角为广义坐标。给定虚位移，由虚位移原理0IW有0150COS45COS320YFYFMRB1各点的虚位移如下26923代入1式整理可得039FFB对任意0可得618KN，方向如图所示。2求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以AYAXM,，并将其视为主动力，系统还受到主动力F,321的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移AYX,和梁AC的转角为广义坐标。2A求AXF在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0AYX，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理IFW有12COS21XA2各点的虚位移如下21代入2式整理可得050AXXFF对任意A可得KNAX，方向如图所示。2B求Y在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0AAYX，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理IFW有3COS23MFYFAY3各点的虚位移如下ACY122AY612代入3式整理可得06431AYFF对任意0AY可得83KNFAY，方向如图所示。2C求AM在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0AAYX，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理IFW有12COS21F4各点的虚位移如下31X6CX代入4式整理可得02MA对任意0可得4MKN，顺时针方向。48设桁架有水平力1F及铅垂力2作用其上，且KEDBCEAD，O3。试求杆1，2和3所受的力。解假设各杆受拉，杆长均为A。1求杆1受力去掉杆1，代之以力1P，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有KARDR,，且AA3滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。三角形BEK绕B点旋转EBR，且E对刚性杆CD和杆CE，由于ECRDR,，因此0CR。由虚位移原理0IFW有6COS60COS11PP代入各点的虚位移整理可得2A对任意0可得11F（受压）。2求杆2受力去掉杆2，代之以力2P，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有KAR，且AR3同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转EBR，且EADE杆AD绕A点转动ARD，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示，且A同理可知0CR。由虚位移原理0IFW有012COS15COS120COS21KDRPRPF代入各点的虚位移整理可得3A对任意0可得612（受压）。3求杆3受力去掉杆3，代之以力3P，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，KARDR,，且ARA3,同理可知B点不动，EBR，且ADE0CR由虚位移原理0IFW有012COS15COS6COS331KRPPR代入各点的虚位移整理可得2A对任意0可得613F（受拉）。412杆长2B，重量不计，其一端作用铅垂常力，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹簧，如图所示。弹簧刚度系数为K，当0Y时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡位置Y，讨论此平衡位置的稳定性。解F大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一个自由度，选为广义坐标，如图所示。取0为零势能位置，则系统在任意位置的势能为FV弹COS12COS12FBKB由平衡条件0DV可得0SIN2COS1KB有0SIN和F即和KBS也就是Y和2两个平衡位置。为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数2COSCOS22KBFKBDV当0时，02，即Y时是不稳定平衡。当KB1COS时，42FDV由上式可知1当KBF21COS且时，02DV即FKBY是稳定平衡位置；2当且时，即是不稳定平衡位置。415半径为R的半圆住在另一半径为R的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。解取半径为R的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与Y轴夹角为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中34RH。由于半圆柱作纯滚动，有RR（1）取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为COS34CSRRRMGZVC代入（1）式有SRRRVININ34GD由平衡条件0DV可得为平衡位置。势能V的二阶导数COSCOS342RRRRMGD由上式可得当RR143，0是稳定的。努力学习吧动力学13解运动方程TANLY，其中KT。将运动方程对时间求导并将03代入得4COS22LKLLYV938IN3LLKA16证明质点做曲线运动，所以质点的加速度为NTA,设质点的速度为V，由图可知AYNCOS，所以YVN将VY，2N代入上式可得C3证毕17证明因为N2AV，VASI所以3证毕110解设初始时,绳索AB的长度为L,时刻T时的长度为S,则有关系式TVL0，并且22XLS将上面两式对时间求导得0S，XSXYOANVYTAYZONXOVOVFNGMY由此解得XSV0（A）A式可写成，将该式对时间求导得202VSXB将A式代入B式可得32020XLVVXA（负号说明滑块A的加速度向上）取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有GFAMN将该式在YX,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程NSINCO其中22SI,COSLXLX0,320YXLV将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得23201XLLVGMF111解设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以RVB，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即COSV（A）因为AXOAVAXOBVBRXR2COS（B）将上式代入（A）式得到A点速度的大小为2RXV（C）由于XVA，（C）式可写成2，将该式两边平方可得2XX将上式两边对时间求导可得XRXRX232将上式消去X2后，可求得24XD由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为24RXAA取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有GFAMN将该式在YX,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程GFYNSINCO其中XRXR2COS,SI,0,24YRX将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得2525,4RXMGFRXMFNXAVAONFBRGMY113解动点套筒A；动系OC杆；定系机座；运动分析绝对运动直线运动；相对运动直线运动；牵连运动定轴转动。根据速度合成定理REAV有COS，因为AB杆平动，所以VA，由此可得EV，OC杆的角速度为OAE，COSL，所以LV2COS当045时，OC杆上C点速度的大小为LALAVVC24502115解动点销子M动系1圆盘动系2OA杆定系机座；运动分析绝对运动曲线运动相对运动直线运动牵连运动定轴转动根据速度合成定理有R1EA1V，R2EA2V由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即1，由上两式可得AVERE1V2R2VRXR1EVR2EA将（A）式在向在X轴投影,可得0R20E20E13COSSIN3SINVVV由此解得SMBOM/4093COSINTATA02120E120R232E2VSMVM/5290REA117解动点圆盘上的C点；动系O1A杆；定系机座；运动分析绝对运动圆周运动；相对运动直线运动（平行于O1A杆）；牵连运动定轴转动。根据速度合成定理有REAVV（A）将（A）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得0E0A3COS3COSVV，0R0A3SIN3SINVVRAE，RRA，521ERC根据加速度合成定理有CRNETA（B）将（B）式在垂直于O1A杆的轴上投影得CA0NE0TE0A3SICO3SINAVERATENERC其中2AR，21NE，R1VAC由上式解得2TE13119解由于ABM弯杆平移，所以有MAA,AV取动点滑块M；动系OC摇杆；定系机座；运动分析绝对运动圆周运动；相对运动直线运动；牵连运动定轴转动。根据速度合成定理REAVV可求得M/S22EABAM，M/S2ERBV，RAD/34511O根据加速度合成定理CAARNETNTA将上式沿C方向投影可得CATE0NA0TA45SI45COS由于221NM/36L，2TE/S1B，2RM/S8V，根据上式可得2TA157/，2TA1RAD/60LAVERVNARTACNETE120解取小环M为动点，OAB杆为动系运动分析绝对运动直线运动；相对运动直线运动；牵连运动定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，其中ROMV260COSE根据速度合成定理REA可以得到RV3260TAN2TNEA，RV460COSER加速度如图所示，其中2022E6COSROMA，2R8VC根据加速度合成定理CAARE将上式在X轴上投影，可得CACOSCSEA,由此求得2A14R121解求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取动点汽车B；动系汽车A（OXY）；定系路面。运动分析AVMOABREXCAAMOABREOXYEVAVR绝对运动圆周运动；相对运动圆周运动；牵连运动定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理REAVV将上式沿绝对速度方向投影可得REAV因此ARV其中ABBR,EA，由此可得M/S9380RAVRV求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有22RNR/S781BRVA123质量为M销钉M由水平槽带动，使其在半径为R的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速V向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。解销钉M上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约束力OF（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。根据速度合成定理有REAVYXNRAOMROVGMOMROVGMFRAEVARMRONMOT由此可求出COSEAVV。再根据加速度合成定理有REA由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以0E，并且上式可写成RNAT因为22ANCOSRV，所以根据上式可求出32NATCOSINRV。根据矢量形式的质点运动微分方程有GFAMMONT将该式分别在水平轴上投影COSSSITA由此求出42RVFO124图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为L，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度A沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。解由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有ERFGAM将上式在切向量方向投影有COSSINGLATRE因为,EMAFDDTT，所以上式可写成COSSINMAGL整理上式可得DCOSSINDAGLMTEAGMF将上式积分CAGLSINCO2其中C为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度LVR，上式可写成CAGLVSINCO2R初始时0，系统静止，0EA，根据速度合成定理可知0RV，由此确定GC。重物相对速度与摆角的关系式为SIN1COS2RAGLV126水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图78），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为R，求小球到转轴的距离为OR时的相对速度。解取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有CMFAER将上式在RV上投影有COSDERTRTV因为2EMRF，TRVTDRR，R，所以上式可写成COSDCOS2RRMRV整理该式可得2R将该式积分有CRV22R1RROOCFERROFRVO初始时OR,0RV,由此确定积分常数21ORC，因此得到相对速度为2RV127重为P的小环M套在弯成2CXY形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴X以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。解取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为0RA，因为金属丝为曲线，所以0RV，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中PF,E分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有0EPF其中2EYG，将上式分别在YX,轴上投影有0COSINEF（A）以为XYDTAN，C2,2DXCY,因此2TANXC（B）由（A）式可得ETAFP（C）将2EYGPF和式（B）代入式（C），并利用2XY，可得3123124,GCYGCX再由方程（A）中的第一式可得XMXYMFEP3424211GCPCXTANPSINF21解当摩擦系数F足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力NFF取整体为研究对象，受力如图，系统的动量R2VPM将其在X轴上投影可得BTMVX2RVRVNFG1M2X根据动量定理有GMFFBMTPNXD212即当摩擦系数GF21时，平台AB的加速度为零。当摩擦系数BF21时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为VP1R2M将上式在X轴投影有VMBTX2121R2根据动量定理有GFFAMBTPNXD21212由此解得平台的加速度为FG21（方向向左）22取弹簧未变形时滑块A的位置为X坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中F为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为R11VVPM将上式在X轴投影COS1LX根据动量定理有系统的运动微分方程为TLMKXSIN21124取提起部分为研究对象，受力如图A所示，提起部分的质量为VTM，提起部分的速度为V，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为RV，方向向下，大小为（如图A所示）。NFGM1XVRKXFLXTPXSIND21NFVRGMTFYAB根据变质量质点动力学方程有VTTMTMRRDDGFVGFV将上式在Y轴上投影有2RTTTT由于0DTV，所以由上式可求得2VG。再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即GVTLFN25将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。根据变质量质点动力学方程有TMTMNDDRVFGV船的质量为QT0，水的阻力为VF将其代入上式可得R0DVFGVQMFTQMN将上式在X轴投影R0FT。应用分离变量法可求得CQFVQLNLN0R由初始条件确定积分常数0LNMFVCR，并代入上式可得QFMTFQV10RGMX28图A所示水平方板可绕铅垂轴Z转动，板对转轴的转动惯量为J，质量为M的质点沿半径为R的圆周运动，其相对方板的速度大小为U（常量）。圆盘中心到转轴的距离为L。质点在方板上的位置由确定。初始时，0，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。图A图B解取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴Z的力矩为零，因此系统对Z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为1L，其角速度为，于是有J设质点M对转轴的动量矩为2，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为RE,V。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度REAV。它对转轴的动量矩为R2E2A2VVMLML其中SINCO222E2RLRRRRSVVRLLV系统对Z轴的动量矩为21。初始时，UR,0，此时系统对Z轴的动量矩为ZULROGOLRVEMURLML0当系统运动到图812位置时，系统对Z轴的动量矩为MURLLRLJURLCOSCOS2SINCOSIN222由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有0L，因此可得ULLLJULMCOSCOS22由上式可计算出方板的角速度为COS212LRLJU211取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为2RAJLLO根据动量矩定理有GRXAGRXATLLLD2整理上式可得由运动学关系可知XR，因此有XR。上式可表示成XGRRAJLLO22令22RAJGLO，上述微分方程可表示成0，该方程的通解为TTECX21根据初始条件0,XT可以确定积分常数201X，于是方程的解为TXCH0系统的动量在X轴上的投影为YOFXPRJLLO222XRRPLLLX2DSIN0系统的动量在Y轴上的投影为XRXRXARALLLLY根据动量定理GRAPFPLYX20由上式解得TRXLOXCH20，TC20XGALOY214取整体为研究对象，系统的动能为221CAVMT其中CAV,分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若R是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据复合运动速度合成定理可知COTVA，因此系统的动能可表示为222COT1CT1ACACAVMVMVT，系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有WD，系统的动力学方程可表示成TMGVVMVMAACACDCOTCOT2122由上式解得2COTDCAGTVA，COTACA217质量为0M的均质物块上有一半径为R的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为3光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运GMCVAVRRABRABRVEVGM0NF动到B处03时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。图A图B解取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为RV，物块的速度为EV，则系统的动能为COSSIN21212R2REE0AE0VVMMT设0为势能零点，则系统的势能为SINGRV根据机械能守恒定理和初始条件有0T，即SINCOSSIN2132R2REEMGRVVMV1系统水平方向的动量为SINREE0VPX2根据系统水平动量守恒和初始条件由2式有0SIN3REEVM由此求出SIN41REV，将这个结果代入上面的机械能守恒式1中,且03最后求得152,154ERGRVGV下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为RA，物块的加速度为EA，对于小球有动力学方程GFAAMMTRNE（A）图C图D对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有NFGA0E0M（B）将方程（A）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得SINCOSENRGA其中相对加速度为已知量，RV2R。将方程（B）在水平方向和铅垂方向投影，可得SIN0CO0EFGMAN令03，联立求解三个投影方程可求出MGGGAN6273,7594,13472E218取小球为研究对象，两个小球对称下滑，设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有COS1212MG（A）将上式对时间T求导并简化可得SINRB每个小球的加速度为ARBGMFTRAEARABFEAG0MNTMAG0NNFJIACOSSINSNCO22NTRRM取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理IIFAC将上式在Y轴上投影可得GMFRMN0202COSSIN2将A,B两式代入上式化简后得CSSGFN230时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成02COS32M上述方程的解为31圆环脱离地面时的值为M2ARCOS01而M23ARCOS02也是方程的解，但是1时圆环已脱离地面，因此不是圆环脱离地面时的值。219取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为RV，牵连速度为EV，由系统对Z轴的动量矩守恒，有0COSRE20MVRLZ其中VE，则上式可表示成RVRMCSR20由此解得O0其中，RH2TAN根据动能定理积分式，有211WTZEVRVMGNHWVRMT212A2021,其中RRE2ASINCOSVV，将其代入动能定理的积分式，可得SIC2R2R20将RS代入上式，可求得2RCO1GHNV则2COS1CSGHNR由RRE2AIVV可求得21RCS2220取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为3RLO外力对O轴的矩为SINDCOS202GRRMRI23RLO因为DDVRTVT，所以上式可表示成SINGVRDD积分上式可得CROS21由初始条件确定积分常数GC，最后得21/COS2GRV33取套筒B为动点，OA杆为动系根据点的复合运动速度合成定理REAVSDGGRAVERADVR可得LVVE0A3COS，BC32A研究AD杆，应用速度投影定理有03COSDAV，LVD34再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理RDBCV将上式在X轴上投影有RDBCV，LVBCD32R34AB构件（灰色物体）作平面运动，已知A点的速度SAOV/0CM4510AB的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有RAD/S23ABV，设OB杆的角速度为，则有RAD/S415OB设P点是AB构件上与齿轮I的接触点，该点的速度CPVAB齿轮I的角速度为RAD/S61VI36AB杆作平面运动，取A为基点根据基点法公式有BABV将上式在AB连线上投影，可得