2019高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωxφ的图像与性质课件北师大版.pptx

1、8函数y=Asin(x+)的图像与性质,一,二,三,四,一、三角函数的图像变换 1.上、下伸缩变换 函数y=Asin x的图像,可以看作是把函数y=sin x图像上所有的点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标 不变)而得到,即y=sin x的图像,y=Asin x的图像.,2.左、右平移变换 函数y=sin(x+)(其中0)的图像,可以看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动|个单位长度而得到(可简记为左“+”右“-”),即y=sin x,y=sin(x+).,一,二,三,四,3.左、右伸缩变换 函数y=sin x的图像,可以看

2、作是把y=sin x图像上所有的点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到,即y=sin x y=sin x.,4.上、下平移变换 函数y=sin(x+)+b的图像,可以看作是把y=sin(x+)上所有的点向上(当b0时)或向下(当b0时)平移|b|个单位长度而得到(可简记为上“+”下“-”),即y=sin(x+) y=sin(x+)+b.,一,二,三,四,(3)把函数y=sin 3x图像上所有点的坐标变为原来的倍,即可得到函数y=sin x的图像. (4)将函数y=4sin x-1的图像向下平移2个单位,得到函数的图像.,一,二,三,四,二、A,对函数y=As

3、in(x+)的影响 1.在函数y=Asin x(A0)中,A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值,通常称A为振幅. 2.在函数y=sin(x+)中,决定了x=0时的函数值,通常称为初相,x+为相位.,A.4,-2B.4,2 C.,2D.,-2 答案:B,一,二,三,四,三、函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的图像 1.用五点法作函数y=Asin(x+)的图像.,列表如下:,一,二,三,四,其中P1,P3,P5均为零点(图像与x轴的交点),P2是最大值点,P4是最小值点,分别称为第一、二、三、四、五个关键点. (3)描点,作出函数在一个周期内的图像,再向左、右无限扩展,得到y=Asin

4、(x+)(A0,0,xR)的图像.,一,二,三,四,2.由函数y=sin x的图像得到函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的图像. 方法一(先平移后伸缩): (1)作出y=sin x的图像; (2)把正弦曲线向左(或向右)平移|个单位长度,得到函数y=sin(x+)的图像; (3)将曲线上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数y=sin(x+)的图像; (4)将曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,得到函数y=Asin(x+)的图像; (5)将曲线上各点向上(或向下)平移|b|个单位长度,得到函数y=Asin(x+)+b的图像.,一,二,三,四,方法二(先伸缩后平移):

5、(1)作出y=sin x的图像; (2)把正弦曲线上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数y=sin x的图像; (3)将曲线上各点向左(或向右)平移 个单位长度,得到函数y=sin(x+)的图像; (4)将曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,得到函数y=Asin(x+)的图像; (5)将曲线上各点向上(或向下)平移|b|个单位长度,得到函数y=Asin(x+)+b的图像.,一,二,三,四,答案:C,一,二,三,四,四、函数y=Asin(x+)的性质 1.定义域:R. 2.值域:-|A|,|A|.,一,二,三,四,一,二,三,四,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面

6、的括号内画“”,错误的画“”.,(3)对于正弦型函数y=Asin(x+)+B(其中A0,0),xR来说一定有ymax=A+B,ymin=-A+B. () 答案:(1)(2)(3),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,用“五点法”作函数y=Asin(x+)的图像,思路分析:按“五点法”的作图步骤进行.,解:列表.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,描点、连线成图(如图).利用函数的周期性,可以把上述简图向左、右扩展,就得到y=2sin ,xR的图像.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟1.用“五点法”画函数y=Asin(x+)(xR)的简图,先作变量代换,令X=x+

7、,再由X取 来确定相应的x值,最后根据x,y的值描点、连线并作出函数的图像. 2.作给定区间上y=Asin(x+)的图像时,若xm,n,应先求出(x+)的相应范围,在求出的范围内确定其关键点,再确定x,y的值,描点、连线并作出函数图像.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练1用“五点法”作函数y=2sin +3的图像,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间.,解:列表. 描点、连线作出一周期的函数图像.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,三角函数的图像变换 【例2】 由函数y=sin x的图像经过怎样的变换,可

8、以得到函数 y= +1的图像. 思路分析:本题考查三角函数的图像变换问题,可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑,得到答案.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(方法一),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟三角函数图像的变换方法 1.对函数y=Asin(x+)+b(A0,0,0,b0),其图像的基本变换有:(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的.当A1时伸长;当A1时缩短;当0时左移;当0时上移;当b0时下移.可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换. 2.若相应的变

9、换函数名不同时,先利用诱导公式将函数名化相同,再利用相应的变换得到结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2(1)把函数y=2sin 的图像经过变换,得到y=-2sin 2x的图像,这个变换是(),(2)已知函数y=f(x)的图像上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图像沿x轴向左平移 个单位,这样得到的图像和y=2sin x的图像相同,则函数y=f(x)的解析式为. 答案:(1)A(2)f(x)=- cos 2x,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,根据函数的图像求函数的解析式 【例3】 如图是函数y=Asin(x+)(A0,0,0)

10、在一个周期内的图像,试确定A,的值.,思路分析:方法一可以用五点作图法原理先确定A,再确定,最后确定;方法二也可以用关键点代入的方法求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解法一(起点法)由图像可知振幅A=3,根据五点法作图原理(以上两点可作为五点法作图中的第三点和第五点),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟 根据三角函数图像求三角函数解析式的方法 1.如果从图像可确定振幅和周期,那么可直接确定函数解析式y=Asin(x+)中的参数A和,再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“x+=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得. 2.通过若干特殊点

11、代入函数解析式,可以求得相关待定系数A,.依据五点列表法原理,点的序号与所列式子的关系如下:“第一点”为x+=0;“第二点”为x+= ;“第三点”为x+=;“第四点”为x+= ;“第五点”为x+=2.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练3已知函数y=Asin(x+) 在一个周期内的部分函数图像如图所示.求此函数的解析式.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,研究函数y=Asin(x+)的性质 【例4】 已知函数y=Asin(3x+)(A0,xR,0)在x= 时取得最大值4. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的单调区间. 思路分析:(1)可直接套公式求解;(

12、2)应先求出f(x)的解析式,再用整体换元法求单调区间.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟研究函数y=Asin(x+)的性质,主要通过整体换元的思想,将(x+)视为一个整体来研究,但首先要掌握和熟记y=sin x的性质,诸如定义域、值域、周期、单调区间等.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练4已知函数f(x)=2 sin (0)的最小正周期是. (1)求;,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,因图像变换方向把握不准而出错 【典例】 将函数y=sin x的图像上所有的点向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是(),错解A或B或D,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨