3.3.1利用导数判断函数的单调性

1、,3.3.1 函数的单调性与导数,学习目标： 1、探索函数单调性与导数的关系。 2、会利用导数判断函数的单调性并求函数 的单调区间。,函数 y = f (x) 在给定区间 I上，任取 x 1、x 2 ，且 x 1 x 2 时,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在I上是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在I 上是减函数；,I 称为单调区间,复习引入,（一）单调函数定义,增函数,减函数,（二）判断函数单调性有哪些方法？,图象法,特殊函数,定义法,复合函数法,分式型函数法,两函数的和与差,分段函数法,（一）观察分析

2、，初步探究,奋力一跃，红旗闪耀； 举世瞩目，国人骄傲,陈若琳,a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,(1),(2),h(t)是增函数.,h(t)是减函数.,观察,下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?,这种情况是否具有一般性呢？,t (0,a)时,t (a,b)时,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y = x,y = x2,观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,函数在R上,（-，0）

3、,（0，+）,（-，0）,（0，+）,归纳结论,函数的单调性与其导数正负关系,函数 y = f (x) 定义域为 I，在某个区间（a , b） I上,如果在某个区间内恒有f(x)0，那么函数f(x) 有什么特性？,问题一,问题二,反过来是否成立？,反过来,函数 y = f (x) 在区间（a,b）上单调递增,函数 y = f (x) 在区间（a,b）上单调递减,函数 y = f (x) 在区间（a,b）上为常函数,例1 已知导函数 的下列信息:,当1 x 4 时,当 x 4 , 或 x 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.,解:,当 x 4 , 或 x 1

4、时, 可知 在此区间内单调递减;,当 x = 4 , 或 x = 1时,综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.,当1 x 4 时, 可知 在此区间内单调递增;,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(1) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递增.,(2) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时, 函数 单调递减.,纳,归,用“导数法” 求单调区间的步骤,确定函数f(x)的定义域;,求导数, 令,作出结论.,判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,趁热打铁，课堂练习,课堂总结：,一般地，函数yf（x）在某个区间内： 如果 ，则 f(x)在该区间是增函数 如果 ，则 f(x)在该区间是减函数 如果 ，则 f(x)在该区间是常函数,2.求单调区间的步骤 : （1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f(x)0以及f(x)0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。,f(x)