第8章麦克斯韦方程组

1、第11章 电磁场和电磁波麦克斯韦对电磁学的实验定律进行多年研究，除提出感生电场概念外，又提出了位移电流的概念，于1865年建立了完整的电磁场理论麦克斯韦方程组，并进一步指出电磁场可以波的形式传播，而且预言光是一定频率范围内的电磁波。（8-21）为便于读者对电磁场理论的理解，先把前面已学过的有关静止电荷和稳恒电流的基本电磁现象归纳为四条基本规律：静电场的高斯定理 （a）静电场的环路定理 （b）磁场的高斯定理 （c）磁场的环路定理 （d）在上述方程中，、各量右上角所加的符号（1），标明这里所指的场是由静止电荷和稳恒电流产生的。须指出的是，这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和

2、变化磁场并不适用。在本章的8.2.2中，我们也介绍了麦克斯韦提出的“变化磁场能产生感生电场”即“涡旋电场”的假说，还讨论了涡旋电场场强的环流和变化的磁场之间的定量关系(见式8-6)，表示如下： (8-22)式中表示涡旋电场的场强，是磁通量。麦克斯韦在总结前人成就的基础上，着重从场的观点考虑问题，把一切电磁现象及其有关规律，看作电场与磁场的性质、变化以及其间的相互联系或相互作用在不同场合下的具体表现。他不仅认为变化磁场能产生电场，而且还进一步认为，变化电场应该与电流一样，也能在空间产生磁场。后者就是所谓的“位移电流产生磁场”的假说。这个假说和“涡旋电场”的假说一起，为建立完整的电磁场理论奠定了基

3、础，也是理解变化电磁场能在空间传播或理解电磁波存在的理论根据。现在首先介绍位移电流的概念。 8.5.1 位移电流1. 位移电流和全电流我们知道，在一个不含电容器的稳恒电路中传导电流是处处连续的。也就是说，在任何一个时刻，通过导体上某一截面的电流应等于通过导体上其它任一截面的电流。在这种电流产生的稳恒磁场中，安培环路定理形式为（8-21d）。式中I是穿过以回路为边界的任意曲面S的传导电流。但是，在接有电容器的电路中，情况就不同了。在电容器充放电的过程中，对整个电路来说，传导电流是不连续的。安培环路定理在非稳恒磁场中出现了矛盾的情况，必须加以修正。 为了解决电流的不连续问题，并在非稳恒电流产生的磁

4、场中使安培环路定理也能成立，麦克斯韦提出了位移电流的概念。设有一电路，其中接有平板电容器AB，如图8-12所示。(a)和(b)两图分别表示电容器充电和放电时的情形。不论在充电或放电时，通过电路中导体上任何横截面的电流强度，在同一时刻都相等。但是这种在金属导体中的传导电流，不能在电容器的两极板之间的真空或电介质中流动，因而对整个电路来说，传导电流是不连续的。但是，我们注意到：在上述电路中，当电容器充电或放电时，电容器两极板上的电荷q和电荷面密度都随时间而变化(充电时增加，放电时减少)，极板内的电流强度以及电流密度分别等于和。与此同时，两极板之间，电位移矢量D和通过整个截面的电位移通量，也都随时间

5、而变化。按静电学，在国际单位制中，平行板电容器内电位移矢量D等于极板上的电荷面密度，而电位移通量，等于极板上的总电荷量S = q。所以和在量值上也分别等于和。关于方向，充电时，电场增加，的方向与场的方向一致，也与导体中传导电流的方向一致(参看图8-11a)；放电时，电场减少，的方向与场的方向相反，但仍与导体中传导电流方向一致(参看8-11b)。至于无论在充电或放电时，其量值均相应地等于导体中的传导电流强度。因此，如果把电路中的传导电流和电容器内的电场变化联系起来考虑，并把电容器两极板间电场的变化看作相当于某种电流在流动，那么整个电路中的电流仍可视为保持连续。把变化的电场看作电流的论点，就是麦克

6、斯韦所提出的位移电流的概念。位移电流密度jd和位移电流强度Id分别定义为： jd = (8-23) Id = S= (8-24)上述定义式说明，电场中某点的位移电流密度等于该点处电位移矢量的时间变化率，通过电场中的某截面的位移电流强度等于通过该截面的电位移通量的时间变化率。麦克斯韦认为：位移电流和传导电流一样，都能激发磁场，与传导电流所产生的磁效应完全相同，位移电流也按同一规律在周围空间激发涡旋磁场。这样，在整个电路中，传导电流中断的地方就由位移电流来接替，而且它们的数值相等，方向一致。对于普遍的情况，麦克斯韦认为传导电流和位移电流都可能存在。麦克斯韦运用这种思想把从恒定电流总结出来的磁场规律

7、推广到一般情况，即既包括传导电流也包括位移电流所激发的磁场。他指出：在磁场中沿任一闭合回路，H的线积分在数值上等于穿过以该闭合回路为边界的任意曲面的传导电流和位移电流的代数和。即 (8-25)于是，他推广了电流的概念，将二者之和称为全电流，用IS表示，即IS = I C + Id。 式(8-25)又称为全电流定律。对于任何回路，全电流是处处连续的。运用全电流的概念，可以自然地将安培环路定理推广到非稳恒磁场中去，从而，也就解决了电容器充放电过程中电流的连续性问题。1. 位移电流的磁场应该强调指出，位移电流的引入，不仅说明了电流的连续性，还同时揭示了电场和磁场的重要性质。令表示位移电流Id所产生的

8、感生磁场的磁场强度，根据上述假说，可仿照安培环路定理建立下式：上式说明，在位移电流所产生的磁场中，场强沿任何闭合回路的线积分，即场强的环流，等于通过这回路所包围面积的电通量的时间变化率。由于，对给定回路来说，电位移通量的变化完全由电场的变化所引起：，于是得到 （8-26）图8-13说明变化的电场可以在空间激发涡旋状的磁场。并且和回路中的电位移矢量的变化率形成右旋关系：如果右手螺旋沿着线绕行方向转动，那么，螺旋前进的方向就是的方向(图8-13)。式（8-26）定量地反映了变化的电场和它所激发的磁场之间的关系，并说明变化的电场和它所激发的磁场在方向上服从右手螺旋关系。由此可见，位移电流的引入，深刻

9、地揭露了变化电场和磁场的内在联系。 我们应该注意，传导电流和位移电流是两个不同的物理概念：虽然在产生磁场方面，位移电流和传导电流是等效的，但在其它方面两者并不相同。传导电流意味着电荷的流动，而位移电流意味着电场的变化。传导电流通过导体时放出焦耳一楞次热，而位移电流通过空间或电介质时，并不放出焦耳楞次热。在通常情况下，电介质中的电流主要是位移电流，传导电流可忽略不计；而在导体中则主要是传导电流，位移电流可以忽略不计。但在高频电流情况下，导体内的位移电流和传导电流同样起作用，不可忽略。8.5.2 麦克斯韦方程组麦克斯韦引入涡旋电场和位移电流两个重要概念以后，首先对静电场和稳恒电流的磁场所遵从的场方

10、程组加以修正和推广，使之可适用于一般的电磁场。在一般情况下，电场可能既包括静电场，也包括涡旋电场，因此场强E应写成两种场强的矢量和，即 引入式(8-22)所示涡旋电场的线积分式，可将E的闭合回路线积分写作 即 (b )同理，在一般情形下，磁场既包括传导电流所产生的磁场，也包括位移电流所产生的磁场。因此，这时对H的闭合回路线积分应遵从全电流定律： (d )麦克斯韦认为，在一般情形下，式(8-21a)和式(8-21c)仍然成立，而式(8-21b)和式(8-21d)应该以式(b )和式(d )代替。由此，得到如下的四个方程 (8-27)这四个方程就是一般所说的积分形式的麦克斯韦方程组。应该指出，静止

11、电荷和稳恒电流所产生的场量E、D、B、H等，只是空间坐标的函数，而与时间t无关；但是，在一般情况下，式(8-27)中，有关各量都是空间坐标和时间的函数。所以与式(8-21)的四式相比，式(8-27)所含的意义远为丰富。麦克斯韦的电磁场理论在物理学上是一次重大的突破，并对上世纪末到本世纪以来的生产技术以及人类生活引起了深刻变化。当然，物质世界是不可穷尽的，人类的认识是没有止境的。上世纪末期起陆续发现了一些麦克斯韦理论无法解释的实验事实(包括电磁以太，黑体辐射能谱的分布，线光谱的起源，光电效应等)，导致了本世纪以来关于高速运动物体的相对性理论，关于微观系统的量子力学理论以及关于电磁场及其与物质相互

12、作用的量子电动力学理论等的出现，于是物理学的发展史上出现又一次深刻的和富有成果的重大飞跃。*8.6 电磁波与人类文明1863年，麦克斯韦在建立统一的电磁场理论时，提出了两个崭新的概念：任何电场的改变，都要使它周围空间里产生磁场，并把这种变化的电场中电位移通量的时间变化率命名为位移电流，从而引入了全电流的概念。任何磁场的改变，都要使它周围空间里产生一种与静电场性质不同的涡旋电场。这样，不均匀变化着的电场(或磁场)，要在它的周围产生相应不均匀变化的磁场(或电场)，这种新生的不均匀变化的磁场(或电场)，又要产生电场(或磁场)，就这样，不均匀变化的电场和磁场永远交替地相互转变，并越来越广地向空间传播，

13、这种不可分割的电场和磁场整体，叫电磁场。电磁场的传播具有波动的特性，叫做电磁波。它的传播速度等于真空中光速C。表明光也是一种电磁波。麦克斯韦的这些预见，在1888年由赫兹通过实验得到了证实。从此，电磁波应用新技术(无线电通讯、广播、电视、雷达、传真、遥测遥感等)如雨后春笋般诞生，大大促进了人类文明的发展。无线电通讯、雷达等技术在中学已有介绍，这里对无线电传真和电视、遥感技术、气象卫星等作一简单介绍。1. 无线电传真和电视无线电通讯是把声音变成电流，附加在电磁波里传送到遥远的地方去，当然也应当能够把光变成电流，附加到电磁波里传送出去。把光变成电流就要用光电管(传真)或摄像管(电视)。光电管(中学

14、已有介绍)在光的照射下，发出光电子，光电子流又形成电流。这个微弱的光电流的强度和射来光的强度成正比关系变化。这个变化着的光电流，经过放大，并调制在高频振荡电流里，就可发射出一种按光强变化调制的电磁波。在接收器上，把接收到的随着光强变化的电流，重新转变成光点，并让这些光点依照原来的次序和位置射在感光纸上，形成传真。若把光转变成电子射线，射到显像管的荧光屏上，即形成电视。感光纸上或荧光屏上的亮点，是一个按一个依次出现的，在每一时刻，纸或屏上只有一个亮点。在发射台上光线扫过全图一次(技术上叫扫描)，也就是在接收机上亮点描绘全图一次所经过的时间很短，一般不超过125秒。亮点与亮点交替的时间以及每一亮点

15、停留的时间更小几十万倍。我们眼睛的视印象保留时间约等于l10秒。不但分辨不出亮点的交替，也分辨不出重复描绘，看起来就像一张完整不变的照片一样。而在电视机荧光屏上看到的则是活动的连续图像。2. 气象卫星气象卫星有两类：一类为地球同步卫星或静止卫星，这种卫星在离地面35800公里的高空，从地面望去卫星位置固定不变，可以连续观测地面的天气变化情况；一类为太阳同步卫星，这种卫星离地面高度为900公里，每天绕地球14圈，卫星的轨道面与太阳光线的夹角保持恒定，从地球上观察卫星时，卫星每天固定时间通过同一地区，犹如太阳每天定时升起一样。卫星上安装的主要仪器为扫描辐射仪，它可以获取地面的可见光信号和红外辐射信

16、号。光信号和红外信号经转换后成为无线电传输到地面。地面云图接收站接收后成为可见光和红外云图，云图对应地面的辐宽可达3200公里，云图资料经过计算机处理后能得到大气温度、湿度、云顶高度、高空风、海洋温度、洋流等资料。气象卫星获取的云图信号可以直接发送，也可以记录在磁带上以后再发送。夏季在太平洋上空生成的台风，冬季西伯利亚的寒流，对我国的气候影响很大，卫星飞经这些区域上空时可将云图记录在磁带上，待卫星飞至国内云图接收站上空时再发送。气象卫星的研制发射成功标志我国航天事业有了新的突破。卫星运行轨道一般是椭圆，而气象卫星要求为圆形轨道，发射这些卫星的运载工具为长征4号火箭，这是一种新型号的火箭，有很高

17、的制导精度以保证把卫星送入900公里高的圆轨道。 气象卫星是长期工作的卫星，因此不能单纯依靠蓄电池供电，必须依靠太阳能供电，在这颗卫星上采用了太阳帆板技术，以很大的太阳能电池阵面积保证大功率供电。太阳帆板在卫星发射时折叠在卫星的两个侧面，在卫星入轨后再伸展，犹如大鸟起飞后伸展双翅，太阳帆板技术的使用在我国航天领域中也是一个重大突破。3. 遥感技术用一定的技术设备、系统，在远离被测目标的位置上空对被测目标的特性进行测量与记录的技术，叫做遥感技术。遥感这个名词正式采用是在六十年代初，但它的历史可追溯到1858年。当时有人用气球携带相机拍摄巴黎“鸟瞰”照片，成为最早获得的遥感资料。此后一个多世纪内，

18、特别是两次世界大战中，由于军事上的需要，使黑白航空摄影和彩色航空摄影有了显著的进步。不过这时使用的电磁波段基本上限于可见光，工作平台主要是飞机和气球。本世纪六十年代以后，随着人造卫星、宇宙飞船和航天飞机等一系列新型运载工具的出现，同时遥感器工作波段也从可见光扩展到紫外、红外及微波波段，从而使遥感技术有了飞速发展。现代遥感技术，特别是卫星遥感技术，是一门综合性很强的高新技术。它的实现，需要空间技术、计算机技术、自动控制技术、无线电电子学、数学、物理、化学、地理、地质、管理科学等多种学科的发展、配合和协调。目前，遥感技术已成为一个国际性的研究课题，它已远远超出了军事上的需要，为人类提供了探测地球表

19、面及其它星球的手段，使人类对整个世界的认识发生了很大变化。例如，探测月球的“阿波罗”飞船，探测金星和火星的“水手”、“海盗”号探测器，探测木星的“先驱者”号探测器等发回了大量资料；大量的气象卫星、陆地卫星、海洋卫星、测地卫星和地球资源卫星等，都以极高的速度发回丰富的资料和图像。如陆地卫星每隔十八天把世界扫描一遍，用装载的多光谱扫描仪，反束光导摄像机，宽频磁带机和资料收集系统，对900公里以下的地面进行全天候的扫描。所获得的多光谱扫描图像的地面分辨力为5779 m2。一幅图像表示地面平方公里的面积。即每次可对地面34225平方公里的面积拍摄极为清晰的照片。美国的第一颗陆地卫星在两年半的时间内，共

20、完成了13000个轨道扫描图像任务，向地面发回了近10万张全世界陆地和海洋的多光谱扫描图像资料。在我国上空共运行341个轨道，包括我国全部领土和领海，仅陆地部分就有近500套图像。经过50多遍反复扫描，已具有25000多张多光谱扫描图像。通过这些资料，可以详细了解我国一年四季自然资源的动态变化，从而能够对我国各种自然资源进行系统分析和研究。诺阿气象卫星每天把世界扫描一遍，地球同步卫星则每时每刻都在监视着地球的每一个角落。所获得的信息广泛用于研究气象、农业、林业、地质、地貌、石油、海洋、水产、环境保护等各个领域，使人类能从全球的角度来研究地球，从大气、陆地、海洋等几个侧面，以及它们之间的联系来寻

21、找整个地球环境内在的变化规律。遥感技术主要包括四个方面：遥感器用来接收目标或背景的辐射和反射的电磁波信息，并将其转换成电信号及图像，加以记录，包括各种辐射计、扫描器、相机和其它各种探测器等；信息传输系统，将遥感得到的信息，经初步处理后，用电信方式发送出去，或直接回收胶片；目标特征收集，从明暗程度、色彩、信号强弱的差异及变化规律中找出各种目标信息的特征，以便为判别目标提供依据；信息处理与判读，将所收到的信息进行处理，包括消除噪声或虚假信息，校正误差，借助于光电设备与目标特征进行比较，从复杂的背景中找出所需要的目标信息。装在卫星或其它航天器上的遥感器，其工作过程是：由目标反射的电磁波，大多数情况下

22、是投射到地面上的太阳辐射，穿过大气后被遥感器接收。遥感器上的发射机将接收到的信息传至地面的控制中心，经一系列处理后，绘制成各种图像供使用。从卫星轨道的高度上来探测地球表面目标，搜集地球有关现象的遥感数据，有独特的优越性。首先，探测范围广、搜集数据快。例如，靠航空摄影观测我国领土需要100万张照片，而用卫星只要500张就可观测全国领土。其次，能反映出动态变化。这是因为卫星在一定轨道上能够重复地观察地面情况，能发现并跟踪自然界的变化，诸如臭氧层的变化；台风的形成；地球板块移动；地球磁场、重力场、热辐射的变化等等。再者，收集资料受地面条件限制小，因为卫星遥感不受国界的限制，不受高山、沙漠、海洋的阻隔

23、。另外还能全天候工作，测量精度也高。在整个遥感的过程中处处都体现了电磁波的特性和技术应用，电磁波对人类的文明有着无法估量的巨大作用。 本章小结：1. 法拉第电磁感应定律 i = 式中负号即楞次定律，表示：感应电流的方向总是要使感应电流所产生的磁场阻碍引起感应电流的磁通量的变化。回路中的感应电流 通过回路的电量 2. 动生电动势 3. 感生电动势 4. 自感电动势 5. 互感电动势 6. 均匀磁场能量 或 一般磁场的磁能 磁能密度 Wm 11. 位移电流 Id = S=全电流定律 12. 麦克斯韦方程组习 题8-1 在下列三种情况中，线圈中是否产生感应电动势？若产生感应电动势，其方向如何？（1）

24、一根无限长载流直导线与一环形导线的直径重合，如本题图（a）所示。若直导线与环形导线绝缘，且后者以前者为轴而转动。（2）A、B两个环形导线，如本题图（b）所示。B环固定并通有电流I，A环可绕通过环的中心的竖直轴转动。开始时，二环面相互垂直，然后A环以逆时针方向转到二环面相互重叠的位置。（3）矩形金属线框ABCD在长直线电流I的磁场中，以AB边为轴，按本题图（c）中所示的方向转过1808-2 如本题图，一导体回路 A 接入电源和可变电阻R。试问，当电阻值 R变化时，回路中产生的感应电流方向如何？ 8-3 如本题图所示，在通有电流为I = I0 + k t（ I0、k皆为正的恒量，t为时间）的长直导

25、线近旁有一等腰直角三角形线框MNP，两者共面，MN与直导线平行，且相距为a，三角形的直角边的长也是a。求线框中感应电动势的大小和方向。8-4 一长直导线，通有电流I= 5A，在与其相距d = 510-2 m处放一矩形线圈，线圈1000匝。线圈在如本题图所示的位置以速度v = 310-2 ms-1沿垂直于长导线的方向向右运动的瞬时，线圈中的感应电动势是多少？方向如何？（设线圈长b = 4.010-2 m，宽a = 210-2 m）8-5 上题中，如果线圈保持不动，而在长直导线中通有交变电流I = 10 sin 100t（A），t以s计。线圈中的感应电动势是多少？感应电动势的方向如何？8-6如本题

26、图所示，通过回路的磁感应线与线圈平面垂直指向纸内，磁通量依以下关系式变化m =（6t2 +7t +1）10-3 Wb，式中t以s计。求t = 2 s时回路中感应电动势的大小和方向。 8-7 有一无限长螺线管，单位长度时间线圈的匝数为n，在管的中心放置一绕了N匝、半径为r的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI/dt，求小线中的感应电动势。8-8如本题图所示，一根长直导线通有电流I，周围介质的磁导率为，在此长直导线近旁有一条长为L的导体棒CD，它以速度v向右作匀速运动的过程中，保持与长直导线平行。求此棒运动到x = d时的动生电动势；并问此棒两端C、D哪一端电势较高?

27、8-9 长为L的金属棒ab，水平放置在均匀磁场B中，如本题图所示。金属棒可绕O点在水平面内以角速度旋转，O点离a端的距离为L/k。求a、b两端的电势差，并指出哪端电势高。（设k2）8-10 将导线ab弯成如本题图所示的形状（其中cd是一半圆，半径R = 0.10 m，ac和bd两段的长度均为l = 0.10 m），整个导线可在均匀磁场B（磁感应强度大小为0.5 T，方向垂直纸面向里）中绕轴线ab转动，转速为每分钟3600转。设电路的总电阻为1000。求导线中的感应电动势和感应电流以及它们的最大值各是多少？题8-13图8-11 如本题图所示，设有一电缆，由两个“无限长”同轴圆筒状的导体组成，其间

28、充满磁导率为的磁介质。某时刻在电缆中沿内圆筒和外圆筒流过的电流强度 i 相等，但方向相反。设内、外圆筒的半径分别为R1和R2，求单位长度电缆的自感系数及所贮磁能。题8-11图题8-14图8-12 一纸筒长30 cm，截面直径为3.0 cm，筒上绕有500匝线圈，求这线圈的自感。8-13 如本题图所示，圆形小线圈C2由绝缘导线绕制而成，其匝数N2 = 50，面积S2 = 40 cm2，今把它放在半径为R1 =20 cm，匝数N1 =100的大线圈C1的圆心处，两者同轴共面。试求：(1)两线圈的互感；(2) 当大线圈的电流以5As-1的变化率减小时，小线圈中的感应电动势为多大?8-14 如本题图所

29、示，一长直螺线管线圈C1，长为 l ，截面积为S，共绕N1匝表面绝缘的导线，在C1上再绕另一与之共轴的线圈C2，其长度和截面积都与线圈C1相同，共绕N2匝表面绝缘的导线。线圈C1称为原线圈，线圈C2称为副线圈。螺线管内磁介质的磁导率为。求：(1) 这两个共轴螺线管的互感系数；(2) 两螺线管的自感系数与互感系数的关系。 题8-15图8-15 一半径为R的圆形平行板电容器，与一交流电源相连，极板上电荷量随时间的变化关系为q = q0 sin t，忽略电容器的边缘效应。试求：（1）两极板间位移电流密度的大小；（2）两极板间距离中心轴线为r ( r R )处的磁场强度H的大小。 8-16 一平行板电

30、容器，两极板间充满空气（r 1），两极板都是半径为r =10 cm的圆金属片。充电时，极板间电场强度的时间变化率=5.01012 Vm-1s-1，求两极板间的位移电流强度Id。As of Microsoft Internet Explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your Web pages using visual filters and transitions. You can apply visual filters and transitions to standard HTML controls, such as

31、text containers, images, and other windowless objects. Transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. By combining filters and transitions with basic scripting, you can create visually engaging and interactive documents.Internet Explorer 5.5 and later supports a rich variety of optimized filters. Click the following button to see a demonstration of many of these filters and how to usetheProcedural