南京师大附中2019~2020高二上学期数学期中试题含答案

1、南京师大附中20192020学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人： 班级_ 学号_ 姓名_ 得分_注意事项：1本试卷共4页，包括选择题（第1题第12题）、填空题（第13题第16题）、解答题（第17题第21题）三部分本试卷满分为100分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区域内考试结束后，交回答题纸一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分在第1题第10题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设u(2，2，t)，v(6，4，5)分别是平面，的法向量若，则实数t的值是

2、( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 62. 设点P为椭圆C：1上一点，则点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形的周长为 ( )A. 14 B. 15 C. 16 D. 173. 把一个体积为64 cm3、表面涂有红色的正方体木块锯成64个体积为1 cm3的小正方体从这64个小正方体中随机取出1块，则这1块至少有1面涂有红色的概率是( )A. B. C. D. 4. 若双曲线x21的一条渐近线的斜率是2，则实数k的值为( )A. 4 B. C.4 D. 5. 已知空间三点坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(2，1，4)，点P(3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为( ) A.

3、 1 B.2 C. 0 D.16. 已知双曲线1(a0，b0)的左右顶点分别是A1，A2，M是双曲线上任意一点，若直线MA1和MA2的斜率之积等于5，则该双曲线的离心率为( )A. 3 B. C. 6 D. 7. 一抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽2 m，若水面下降4 m，则水面宽度为( )A. m B.2 m C.4 m D. 6 m8. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A. (0，1) B. (0， C. (0，) D. (，1)9. 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与椭圆C相交于A、B

4、两点若3，则k的值为( )A. 1 B. C. D. 210. 已知F是抛物线C：y24x的焦点，过点F作倾斜角为的直线与抛物线C相交于P，Q两点，若M(1，0)，则sinPMQ( )A. B. C. D. 在第11、12题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得3分，不全的或有选错的得0分11. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).下列结论正确的有( ) A. APAB B. APADC. 是平面ABCD的一个法向量 D. 12. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C: x2y21|xy| 就是其中之一. 给

5、出下列四个结论，其中正确的选项是( )A. 曲线C关于坐标原点对称B. 曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点) C. 曲线C上任意一点到原点的距离的最小值为1D. 曲线C所围成的区域的面积小于4二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分请把答案填写在答题卡相应位置上13. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是B1C1的中点，且xyz，则xyz的值为 14. 已知m为实数，直线mxy1=0与椭圆y21的交点个数为 15. 今年，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他 垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机

6、抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）则估计生活垃圾投放错误的概率是 “厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收垃圾3023030其他垃圾202070（第15题）16. 设双曲线y21，F1是它的左焦点，直线l通过它的右焦点F2，且与双曲线的右支交于A，B两点，则|的最小值为 三、解答题：本大题共5小题，共52分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分8分）从4名男生和2名女生中随机选出2人参加演讲比赛 （1）求所选2人恰有1名男生的概率；（2）求所选2人中至少有1名女生的概率18.

7、（本小题满分10分） 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=，BC=1， AA1=2，E为A1D的中点.（1）求直线EC1与A1B所成角的余弦值；（2）若F为BC的中点，求直线EC1与平面FA1D1所成角的正弦值.（第18题）19. （本小题满分10分）若椭圆C：1(ab0)经过点(1，)，离心率为过椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆于A，B两点（1）求实数a、b的值；（2）若AB，求直线AB的方程20. （本小题满分12分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD平面CBD，又AE平面ABD（1）若AE，求证：DEBC；（第20题）（2）若二面角ABED的大小为，求线段AE

8、的长21. （本小题满分12分）设点A是抛物线y24x上到直线l:yx+3的距离最短的点，点B是抛物线上异于点A的一点，直线AB与l相交于点P，过点P作x轴的平行线与抛物线交于点C.（1）求点A的坐标；（2）求证：直线BC过定点；（3）求ABC面积的最小值.南京师大附中20192020学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷答案一、选择题1.B 2.C 3.B 4.A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 10.D11.ABC 12.AC 二、填空题13. 14.2 15. 16.三、解答题17 解：记4名男生分别是B1、B2、B3、B4，2名女生分别为G1、G2，从中选取2人，有如下基本事件

9、：(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，B4)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)，共15个基本事件，它们是等可能的 .2分（1）从中选2人恰有1名男生的基本事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共8个基本事件记从中选2人恰有1名男生为事件A，则P(A) .4分（2）由题意，选2人中至少有1名女生和选2人中没有女生是对立事件，记选2人中至少有1

10、名女生为事件B，选2人中没有女生为事件C，则P(B)1P(C)选2人中没有女生的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共6个基本事件，则P(C),故P(B)1P(C)1 .8分18.解：（1）以A1为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A1-xyz. 设直线EC1与A1B所成角为，与所成角为. 则各点坐标为A1(0，0，0)， D(0，1，2)，E(0，1)，C1(，1，0)，B(，0，2)， 所以，(，1)，(，0，2) 所以，cos| .3分 所以，直线EC1与A1B所成角的余弦值为 .4分（2）由题意，B(

11、，0，2)，C(，1，2)，D1(0，1，0)，则(0，1，0)，因为F位BC中点，所以F(，2)，则(，2)设平面FA1D1的法向量为(x，y，z)，则，即，令x2，则y0，z，所以(2，0，)是平面FA1D1的一个法向量 .6分由题（1）知，(， ，1)，所以cos .8分设直线EC1与平面FA1D1所成角为，则sin| cos| .10分说明：不建系扣1分，不设角扣一分.19 解：（1）因为椭圆离心率为，且a2b2c2，所以ab，又因为椭圆1(ab0)经过点(1，)，所以1，解得a2，b .4分（2）当直线AB斜率为0时，AB2a4，不符合题意所以可设直线AB的方程为xmy1，与椭圆方程

12、联立得：(3m24)y26my90，36m236(3m24)0，则yAyB，yAyB， .6分AB|yAyB|，所以m2，m，故直线AB的方程为xy10 .10分说明：少一个解扣1分.20.解：因为正方形ABCD的边长为2，所以ABAD，CBCD，ABADCDBC2.又AE平面ABD，AB，AD平面ABD，所以AEAB，AEAD，以点A为原点，AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.作CFBD，垂足为F.因为平面ABD平面CBD，CF平面CBD，平面ABD平面CBDBD，所以CF平面ABD.因为CBCD2，所以点F为BD的中点，CF. .2分（1）因为AE，所以E(0

13、，0，)，F(2，0，0)，D(0，2，0)，F(1，1，0)，C(1，1，)，所以=(0，2，)，=(1，1，)，=0，所以，所以直线DE与直线BC所成角为 . .6分（2）设AE的长度为a（a0），则E（0，0，a）.由ADAE，ADAB，AE，AB平面ABE，且AEAB=A，得AD平面ABE，所以平面ABE得一个法向量为n1=（0，1，0）.设平面BDE的法向量n2=（x1，y1，z1），又=（-2，0，a），=（-2，2，0），所以n2，n2，所以解得取z12，则x1y1a所以平面BDE的一个法向量为n2=（a，a，2）， .8分所以|cos|=,因为二面角ABED的大小为，所以=，解得a=，所以AE的长度为. .12分21. 解：（1）设抛物线上任意一点的坐标(t2，2t)，则它到直线l：xy30的距离d,当t1时，d有最小值故点A的坐标为(1，2) .2分 （2）设点B的坐标为(m2，2m)(m2)则lAB：y2(x1)，即y(x1)2，与yx3联立解得点P(，)于是，C()2，)当m23时，m2()2，lBC：y2m(xm2)，y2m (xm2)，y2m(xm2)，y2m(xm2)，所以(m23)(y2m)(2m2)(xm2)，整理得：m2(y2)+m(62x)(3y2x)0(*)当x3，y2时，对于任意实数m(m)，方