随机变量及其分布1.ppt

1、第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量,例 电话总机某段时间内接到的电话次数， 可用一个变量 X 来描述：,X = 0，1，2， ,随机变量的概念,例 检测一件产品可能出现的两个结果 ， 也可以用一个变量来描述:,例 考虑“测试灯泡寿命”这一试验，以 X 记灯泡的寿命（以小时计）则：,X = t， ( t0 ),设 S 是随机试验E的样本空间， 若,定义,则称 S 上的单值实值函数 X ( )为随机变量,随机变量一般用大写英文字母X， Y ，Z ，,此映射具有如下特点:,定义域 事件域 S ；,随机性 随机变量 X 的可能取值不止一个， 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值；,概

2、率特性 X 以一定的概率取某个值或某些 值 。,引入随机变量的意义,有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来。,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用 X 表示，它是一个随机变量。, 收到不少于1次呼叫 , 没有收到呼叫,随机变量的取值随试验的结果而确定，在试验之前，不能预知它取什么值，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一定的概率，这一点区别于一般的函数。,以下就离散型随机变量、 连续型随机变 量两类随机变量逐一研究这两个问题。 1、随机变量取那些值或取值的范围？ 2、随机变量取这些值或落在某一范围的概率？,例 有奖储蓄，20万户为一开奖组

3、，设特等奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金4元。考察得奖金额 X 。,2.2 离散型随机变量及其分布律,例有奖储蓄，20万户为一开奖组，设特等奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金4元。考察得奖金额 X 。,X 的可能取值为：,解：,4000，400，40，4，0 。,.0001,.0006,若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个， 则称 X 为离散型随机变量。,定义,描述X 的概率特性常用概率分布列或分布列,即,或,概率分布的性质,概率分布的特征,例1

4、一批产品的次品率为8% ，从中抽取1件 进行检验，令 写出 X 的分布律.,X 的分布律为:,概率分布图 :,解：,两点分布( 01分布),分布律为：,或,应用场合,凡试验只有两个可能结果，常用0 1分布描述，如产品是否合格， 人口性别统计， 系统是否正常， 电力消耗是否超标等。,10件产品中，有3件次品，任取两件，X是“抽得的次品数”，求分布律。,X 可能取值为 0，1，2。,例2,解：,所以，X的分布律为：,注 求分布律，首先弄清 X 的确切含义及其所有可能取值。,例3 上海的“天天彩”中奖率为p ，某人每天买 1 张， 若不中奖第二天继续买 1张， 直至中奖为止。求该人购买次数 X 的分

5、布律。,X= k 表示购买了 k 张， 前 k-1张都未中奖， 第 k 张中了奖。,几何分布,适用于试验首次成功的场合,解：,例4 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布。,依题意， X 可取值 0，1，2，3。,P X=0 ,=P ( A1 ) =,p =1 / 2 ，,概率分布：,二项分布,贝努里概型和二项分布,例 设生男孩的概率为p，生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数。,我们来求X的

6、概率分布。,X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为 p.,X=0,X =1,X =2,X =3,X =4,设试验 E 只有两个结果：和 ，记: 将 E 独立地重复 n 次，则称这一串重复的独立试验为 n 重贝努利( Bernoulli )试验，简称为贝努利( Bernoulli )试验,在n重贝努利试验中，事件A可能发生0, 1,2, n 次,称 X 服从参数为 p 的二项分布(binomial)。,记作：,当n=1时， P(X=k) = pk (1-p)1-k k = 0,1 即0-1分布,（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 ，,贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述

7、要求：,（1）每次试验条件相同；,且P(A)=p ， ；,（3）各次试验相互独立。,二项分布描述的是 n 重贝努里试验中出现“成功”次数 X 的概率分布。,当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在 k=(n +1)p 和 k =(n+1)p-1 处达到最大值；,当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在 k=(n+1)p 达到最大值。,例5 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率。,解:,依题意，p =0,1,2,3,设 X 为所取的3个中的次品数。,于是，所求概率为：,例6设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，

8、发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。,X = 第1人维护的20台中同一时刻故障台数； Ai ：第i人维护的20台故障不能及时维修” （i1， 2， 3， 4）；,解： 按第一种方法。,而Xb（20， 0.01），故有80台中发生故障而不能及时维修的概率为：,设：Y=80台中同一时刻发生故障的台数；,按第二种方法。, 0.0169,第二种方法优于第一种方法,此时Yb（80， 0.01） ，,故80台中发生故障而不能及时维修的概率

9、为：,Poission分布,例 单位时间内某电话总机收到的呼叫次数用X表示，它是一个离散型随机变量。,X= 0， 1， ,其中，为常数,称 X 服从 参数为 的Poisson分布，记为：,泊松分布应用：,一本书一页上的印刷错误数 某医院一天内的急诊病人数 某公共汽车站候车的乘客数 母鸡的下蛋数 一平方米内，玻璃上的气泡数,它常与单位时间（单位面积、单位产品）上的计数过程相联系。,二项分布的Poisson近似,泊松定理,其中,设是一个正整数， ，则有：,n100， np10 时近似效果就很好,定理的条件意味着当 n很大时，pn 必定很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式

10、：,其中,例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员 . 设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理 . 问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,我们先对题目进行分析：,设X为300台设备同时发生故障的台数，,300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01 . 可看作n=300的贝努里概型.,可见，,XB(n，p)，n=300， p=0.01,设需配备N个维修人员，,所求的是满足,的最小的N.,P( X N ) 0.01 或 P( X N ) 0.99,P(XN),n大

11、， p小， np=3， 用 =np=3 的泊松近似,查泊松分布表得,N+1 9，,即N 8,即至少需配备8个维修人员.,例 一本500页的书上共有500个错别字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有三个错别字的概率。,解 A：任一错字出现在给定页,P(A)=1/500 X：500个错字中出现在给定页上的错字数 Xb(500,1/500),例 假设某港口每天到达的万吨级船舶条数服从参数为2的泊松分布，试求在一年365天中，到达船数不超过一条的天数超过160天的概率？,解：令X：每天到达的万吨级船舶条数 A：每天到达的万吨级船舶数不超过一条 Y：一年365天中的A事件发生的天数,

12、我们看到很多题目中，往往要求随机变量落在某一区间的概率，下面将提供一种更方便的工具分布函数。,定义,设 X 为随机变量， x 是任意实数 ，,称函数,为X 的分布函数。,几何意义：,X,x,2.3 随机变量的分布函数,分布函数的基本性质,单调性,有界性,右连续性,鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件。,由定义知 X 落在区间( a ，b 里的概率可用分布函数来计算：,解 ：X 的分布律为,例1 求例2中的分布函数 并作图.,分布函数为,的图形为:,右连续性,一般情形为:,离散随机变量的分布函数,F( x) 是分段阶梯函数， 在 X 的可能取值 xk 处发生间断， 间断点为第一类

13、跳跃间断点， 在间断点处有跃度 pk,例 向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X的分布函数F(x),解 X：随机点到圆心的距离，0=Xr,2.4 连续型随机变量及其概率密度,几何意义,对任意实数 x ， 若随机变量 X 的分布函数可写成：,定义2.3,其中 ，则称 X 是连续型随机变量，称f ( x )为X 的概率密度函数， 简称为密度函数或概率密度。 记为:,概率密度 f(x) 的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。,1.,2.,3. 在 f (x) 的连续点处有,4. 对连续型随机变量 X 有：,1.,2.,3.,例1 设随机变

14、量 X 的分布函数为：,(1) 求X取值在区间 (0.3，0.7)的概率； (2) 求X的概率密度。,解: (1) P(0.3X0.7）,= 0.72- 0.32 = 0.4,=F(0.7)-F(0.3),例1 设随机变量 X 的分布函数为,解: (2) f(x)=,注意到F(x)在x=1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 没意义的点处，任意规定 的值。,例2 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连 续随机变量， 其密度函数为：,(1) 求常数 c ；,(2) 计算,(3) 已知一设备装有3个这样的电子管， 每个电子管能否正常工作相互独立， 求在使用的最初1

15、500小时只有一个损坏的概率。,解：,(1) 令,c = 1000,(2),(3),设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时,设在使用的最初1500小时三只晶体管中损坏的只数为Y,若随机变量 X 的密度函数为：,则称 X 服从区间 a ， b 上的均匀分布。,记作,均匀分布,几个重要的连续性分布,解：,F(x)的图形：,即 X 的取值在(a，b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关， 只与其长度成正比。,例4.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率.,15,45,解：设A乘客候车

16、时间超过10分钟 X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60),则称X服从参数为 的指数分布。 其分布函数为,2.指数分布,指数分布具有无记忆性，即,（P56）,例5 电子元件的寿命X(小时）服从参数为2000的指数分布,求该系统能正常运行1000小时以上的概率为多少？,一报警系统内装有4个这种元件，已知它们是独立工作的， 而且只要有不少于3个元件正常工作，该系统就能正常运行，,解：,设Y为系统中寿命超过1000小时的元件数，,则Yb(4,p),其中,从而 Yb(4,0.6065),所求概率为：,若随机变量 X 的密度函数为：,其中， 0为未知参数，则称 X 服从参数为，的正态分布，记为：,正态

17、分布,正态分布有广泛的应用，如地区的年降雨量,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。,正态分布密度函数,动态演示,称 X 服从标准正态分布,概率密度函数为：,分布函数为：,的函数值可查正态分布表。,例：,0.8413,记为：,对标准正态分布，有：,引理：,于是：,例3：,这在统计学上称作“3 准则” （三倍标准差原则）。,分位点,则 称为标准正态分布的上 分位点。,常用 值：,例,2.5 随机变量函数的分布,问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴

18、趣.,例如，已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布，,求功率 W = V 2/R 的分布,设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的。,下面进行讨论。,例,离散型随机变量函数的分布,求 Y 1= 2X 1 与 Y 2= X 2 的分布律,解:,Y 1= 2X 1 的分布律:,解:,Y 2= X 2 的分布律:,结论,设随机变量 X 的分布律为：,由已知函数 g( x)可求出随机变量 Y 的所有可能取值，则 Y 的概率分布为：,连续型随机变量函数的分布,分布函数法,问题：,方法：,例2 设随机变量X具有概率密度,解：,例3 设 X 的概