空间的角测试题全解全析

1、空间的角测试题江苏省苏州工业园区第二高级中学（）耿道永 电话：1.（原创）关于经度、纬度，下列说法正确的是（ ）。A.二者的实质都是异面直线所成的角 B.二者的实质都是二面角C.经度是二面角，纬度是直线与平面所成的角 D.经度是异面直线所成的角，纬度是二面角1.C.【解析】经度是经线所在的半平面所成的角，纬度是半径和赤道面所成的角。2.（原创）如右图，在正方体中，E为棱中点、F为棱中点，G为棱上任意一点，则直线 AE与直线FG所成的角为 （ ） （A） （B）（C） （D）2B 【解析】如图,取G的极端位置, 问题转化为求AE与的位置关系,取AD的中点M,连接MF、可证 可见AE与FG所成的角

2、为。3.（原创）如图正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1 2AB，则平面D1AC与平面A1B1C1D1所成的锐二面角的正切值为 ( )3. D【 解析】 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面D1AC与平面A1B1C1D1所成的锐二面角等于平面D1AC与平面ABCD所成的锐二面角，连接AC,BD相交于点O，连D1O，D1D平面ABCD，ACBD，D1OAC，所以D1OD就是平面D1AC与平面ABCD所成的锐二面角的平面角。设AA1 ABa,则DO=，AA12a，所以tanD1OD。4.正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为棱AB的中点，则直线C1E与平面ACC1A1所成

3、角的正切值为( )A B C D4.解析】取AD中点F，交AC于点M，连接MC，则EFAC，EFA1A，得EF面ACC1A1.EC1M就是直线C1E与平面ACC1A1所成角，设正方体棱长为4，则EM=2sin45=，MC=AC-AM=，MC1=，tanEC1M=，故应选C。备选题：1. 将正方形沿对角线折成直二面角，给出下列四个结论：；与所成角为；为正三角形；与平面所成角为。其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 2. A.解法1建立空间直角坐标系，通过计算可得正确的结论为。法2，如右图，将空间四边形放置到正方体中，由三垂线定理知正确；由异面直线所成角知，与所成角即直线与所成角，因为正三

4、角形，故与所成角为，所以正确；设，则，故正确；与平面所成角为，故错。二填空题5.异面直线所成的角的范围是 ，直线和平面所成的角的范围是 。5.6. 如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是 。6. 。【解析】过A点在平面ABB1A1内作AF，使A1FD1F1，则ADF1F是平行四边形，FADF1，再过E1在平面ABB1A1内作E1EFA，则BE1E即是BE1与DF1所成的角，由已知BE1DF1，ABCDA1B1C1D1是正方体， E1EA1B1，又DF1AFE1E，DF1BE1. E1EA1B1，EBA1B1在BE1E中，cosBE1E.7如右

5、图，直角三角形的斜边在平面内，和与所成角分别为、，是斜边上的高，则与平面所成的角的大小为_.7. 【解析】作于点，连、，则，为所求，令，分别在直角三角形中算出，在中算出备选题2：一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则BOD等于 。解 如图，设正方形边长为a，由O为正方形中心，则BOa,DOa，连AB，因为DAAE，DABE，故DA面AEB，所以DAAB，故DAB为直角三角形，BD=a.又在BOD中，由余弦定理可得 cosBOD-，所以BOD120三解答题8. 已知正三棱柱ABC的底面边长为，侧棱长为，D为AC中点

6、，（）求证：AB1平面C1DB；（）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.8.(1) 解析：连交BC于E，连结ED，则ABDE，由线面平行定理得AB平面BDC；（）AB，DE与BC所成锐角就是异面直线AB与BC所成的角，又BDDC，在RtBDC中，易知BEBC，DE，BD，在BDE中，BED，异面直线AB与BC所成角的余弦值为9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点.(1)求直线B1C与DE所成角的余弦值；(2)求证：平面EB1D平面B1CD；(3)求二面角EB1CD的余弦值.9解（1）取A1D，则A1D/B1C知，B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角，连结A1E.由正

7、方体ABCDA1B1C1D1，可设其棱长为a，（2）取B1C的中点F，B1D的中点G，连结BF，EG，GF.GF，BECD，BEGF，四边形BFGE是平行四边形，BF/GE.（3）连结EF.解法2：如图建立空间直角坐标系10.已知如图(1)，正三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足，现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图（2）. () 试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；() 求二面角B-AC-D的大小； () 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为，求k的值.图（1） 图（2）10解：() AB平面DEF. 在ABC中

8、， E、F分别是AC、BC上的点，且满足， ABEF. 图（2） AB平面DEF，EF平面DEF， AB平面DEF. ()过D点作DGAC于G，连结BG， ADCD, BDCD, ADB是二面角A-CD-B的平面角. ADB=, 即BDAD. BD平面ADC. BDAC. AC平面BGD. BGAC . BGD是二面角B-AC-D的平面角. 在ADC中，AD=a, DC=, AC=2a, .在RtBDG中，. .即二面角B-AC-D的大小为. () ABEF, DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角. 9分 ， .又DC=, ， . . 解得 .备选题3： 已知梯形ABCD中，ADBC

9、，ABC =BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EFBC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF (如图) .(1) 当x=2时，求证：BDEG ；(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；(3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.解:（1）（法一）平面平面,AEEF,AE面平面,AEEF,AEBE,又BEEF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）xyz（2，2，2），（2，

10、2，0）H（2，2，2）（2，2，0）0， （法二）作DHEF于H，连BH，GH， 由平面平面知：DH平面EBCF，而EG平面EBCF，故EGDH。又四边形BGHE为正方形，EGBH，BHDHH，故EG平面DBH， 而BD平面DBH， EGBD。（或者直接利用三垂线定理得出结果）（2）AD面BFC，所以 VA-BFC4(4-x)x 即时有最大值为。（3）（法一）设平面DBF的法向量为，AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），H_EMFDBACGF（0，3，0）,（2，2，2）,则 ，即，取x3，则y2，z1， 面BCF的一个法向量为 则cos= 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为