小学数学抽屉原理应用举例.ppt

1、抽屉原理应用举例,当“抽屉原理”从少数精英学生学习的奥林匹克竞赛课堂走向全体学生学习的大众课堂的时候，无疑对教师和学生都构成了前所未有的挑战。为此，颇有必要对此展开学习和研讨。,教材说明,教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”，使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。,教学内容,“抽屉原理”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。例如，要把三个苹果放进两个抽屉，有一个抽屉里至少有两个苹果。这样的道理对于小学生来说，也是很容易理解的。但“抽屉原理”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常

2、能得到一些令人惊异的结果。因此，“抽屉原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。,教学建议 （枚举法、假设法、反证法）,1应让学生初步经历“数学证明”的过程。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及到“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。,教学建议,2应有意识地培养学生的“模型”思想。“抽屉问题”的变式很

3、多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系，是影响能否解决该问题的关键。这个过程实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，能否从纷繁芜杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。,理解抽屉原理要注意几点： （1）抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。 （2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。 （3）抽屉原理

4、只能用来解决存在性问题，“总会有”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。,教学建议,例1.某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候。请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。 有n位校友，每个人握手次数最少是0次，最多有n-1次。然而，如果有一个校友握手次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次。不管是前一种状态0、1、2、n-2，还是后一种状态1、2、3、n-1，握手次数都只有n-1种情况。把这n-1种情况看成n-1个抽屉，n位校友每人按其握手次数归入

5、相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两人属于同一抽屉，即这两人握手次数一样多。,抽屉原理应用举例（一）,抽屉原理应用举例（一）,例2.口袋中有红、黄、蓝三种颜色的球若干个，每个小朋友从口袋中取出2个球。那么，至少要有几位小朋友，才能保证必有两位小朋友取出的两个球颜色完全相同？ 我们把取出2个球的所有可能看成“抽屉”，抽屉个数是6个：红红、黄黄、蓝蓝、红蓝、红黄、黄蓝。小朋友看作“苹果”，依据抽屉原理，只要小朋友的个数超过6个，至少7位小朋友，就能保证必有两位小朋友取出的两个球颜色完全相同。,例3.下图是5行5列的方格表，能否在每个空格中分别填上1、2、3中任何一个数，使得每行、每列、每条对角线

6、上的五个空格中的数的和互不相同？为什么？,抽屉原理应用举例（一）,抽屉原理应用举例（二）,把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么总会有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。,如： 12只鸽子，飞进5个笼子，总会有一个笼子至少飞进了3只鸽子。,抽屉原理应用举例（二）,例4.一付扑克牌共有52张（去掉大、小王），问至少要取多少张牌才能保证其中必有3种或3种以上花色？ 一付牌52张，共有4种花色，红桃、黑桃、方块、梅花，且每种花色都是13张。我们把4种花色看成4个抽屉，同花色的牌在同一个抽屉中。因为1种花色最多可取13张，2种花色最多可取到26张，再取1张就能保证必有3种或3种以

7、上的花色了。即取132127（张）,抽屉原理应用举例（二）,例5.一付扑克牌共有54张（包括大、小王），问至少要取多少张牌才能保证其中必有4张牌的点数相同？ 一付扑克牌共有13种点，看作13个抽屉。每个抽屉4张牌，即（4张A）（4张2）（4张3）（4张10）（4张J）（4张Q）（4张K）。每个抽屉先取出3张牌，共取出39张，再取大、小王及另1张牌，必有1种点数取走4张，这样共计取出牌： 1332142（张）,抽屉原理应用举例（二）,例6.作文竞赛的奖品是：钢笔、圆珠笔和自动铅笔三种，每位获奖者可任选两支笔。问至少应有多少得奖的同学，才能保证其中必有4个人拿的是完全相同的奖品？ 用奖品的不同组合

8、作抽屉，共6个抽屉：（两支钢笔（两支圆珠笔）（两支自动铅笔）（钢笔、圆珠笔各1支）（钢笔、自动铅笔各1支）（自动铅笔、圆珠笔各1支）。先在各抽屉中分别取出3份奖品，再任意加1份，必有4份相同的奖品。即至少有：36119（人）,抽屉原理应用举例（三） 整除问题,在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉。,例7.任给4个数，其中必有2个数的差是3的倍数。为什么？ 自然数被3除，它的余数只能是0、1、2三种，根据所得的余数，我们把全体自然数分为三类：（余数为0的自然数）（余数为1的自然数）（余数为2的自然数）。根据抽屉原理，给定的4个自然数，至少有2个数在同一个抽屉里，他们除以3所得余数相同，所

9、以它们的差就是3的倍数。 任给n个数（n1），其中必有两个数的差是（n1）的倍数。,例8.任意给出5个非0的自然数。定能找到3个数，让这3个数的和是3的倍数。为什么？,把所有自然数按除以3的余数分成三类，把这三类看成3个抽屉，这样任选的5个非0自然数就有三种情况： （1）若这5个自然数分布在3个抽屉中，我们从这三个抽屉中各取1个，那么它们的余数之和就是0123，所以其和必是3的倍数。 （2）若这5个自然数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，至少有3个数，从中任取3个数，这3个数的余数之和或为0，或为3，或为6，所以这3个数的和是3的倍数。 （3）若这5个自然数分布在其中的一个抽屉中，很

10、显然，必有3个数的和是3的倍数。,抽屉原理应用举例（三） 整除问题,也可以这样思考：把5个非0自然数分放进这三个“抽屉”，根据53=12，可以知道总有一个抽屉里至少有2个数。这样可以分两种情况来讨论。 （1）若有一个抽屉有3个以上的数，只要从这个抽屉中任取3个数，3个数的余数之和或为0，或为3，或为6，所以它们的和就是3的倍数。 （2）若所有抽屉最多只有2个数，也就是三个抽屉分别有2个数、2个数、1个数。那么，只要从三个抽屉中各取一个，它们的余数之和就是0123，这三个数的和就是3的倍数。,抽屉原理应用举例（三） 整除问题,例9. 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10

11、的倍数。 分析：注意到这些数除以10的余数，以0，1，9为标准制造10个抽屉，标以0，1，9.若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数。但仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：6，7，8，9四个抽屉分别与4，3，2，1合并，制造这样的六个抽屉6，4，7,3，8,2，9,1 ，0，5。则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数。,抽屉原理应用举例（三） 整除问题,抽屉原理应用举例（四） 染色问题,例10. 给下面每个格子涂上红色或蓝色。观察每一列，你有什么发现？,（无论怎么涂，至少有两列的涂法相同） 如果只涂两行的话，结论有什么变化呢？,给每个格子涂上红色或蓝色，那么每列3

12、个方格的涂色情况只有以下8种： 红 红 红 蓝 蓝 蓝 红 蓝 红 红 蓝 红 蓝 红 蓝 蓝 红 蓝 红 红 红 蓝 蓝 蓝 将这8种涂法当作8个抽屉，现有9列方格，根据抽屉原理，至少有两列的涂法完全相同。,抽屉原理应用举例（四） 染色问题,如果改成涂两行，也就是每列只涂2个方格，那么每列2个方格的涂色情况只有以下4种： 红 红 蓝 蓝 红 蓝 蓝 红 将这4种涂法看作4个抽屉， 根据9421， 至少有三列的涂法相同。,抽屉原理应用举例（四） 染色问题,例11.假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形

13、的三边同色？,抽屉原理应用举例（四） 染色问题,A,B,C,D,F,E,例12. 在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8. 解：分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为1/4 。把这四个小正方形看作4个抽屉，将9个点随意放入4个抽屉中，据抽屉原理，至少有一个小正方形中有3个点。显然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8 。,抽屉原理应用举例（五） 面积问题,例12. 在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8。,抽屉原理应用举例（五） 面积问题,例13.九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点。,抽屉原理应用举例（五） 面积问题,思考题：把18这8个数任意围成一个圆圈。在这个圈上，一定有3个相邻的数之和大于13。你知道其中的奥秘吗？,八个数围成一圈，设这八个数分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8。相邻三个数是一个组合，共有八个组合：(a1、a2、a3), (a2、a3、a4)，(a3、a4、a5)，(a4、a5、a6)，(a5、a6、a7