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文档简介

1、设,则,第二节 不定积分的换元积分法一、第一类换元法,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论形式不同.,定理1,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,例2. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时,注意换回原变量,一般地,例3. 求,解:,令,则,想到公式,例4. 求,想到,解:,(直接配元),例5. 求,解:,类似,例6. 求,解:, 原式 =,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,例9. 求,解: 原式 =,例10. 求,解法1,解法2,两法结果一样,例11. 求,解法1,解法 2,

2、同样可证,或,解法1,解法2,例12 求,解,例13 求,解,例14 求,解,例15 求,原式,例16. 求,解: 原式 =,例17 求,解,例18 . 求,解:,例19 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例20 求,解,解,例21 设 求 .,令,例22 求,解,例23. 求,解: 原式=,分析:,例24. 求,解: 原式,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,2. 求,提示:,法1,法2,法3,问题,解决方法,令,二、第二类换元法,设 为 的原函数,则,难求，怎么办?,定理2 . 设,是单调可导函数 , 且,具有原函数 ,证:,令,则,则有换元公式,例

3、1. 求,解: 令,则, 原式,例2 求,解,令,例3 求,解,令,例4. 求,解:,令,则, 原式,令,于是,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中, 令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),（三角代换很繁琐）,令,解,例6 求,解,令,说明(4),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,法二,例8 求,解,令,（分母的阶较高）,原式,例9. 求,解: 令,则,原式,当 x 0 时, 类似可得同样结果 .,例10 求,解,令,基本积分表 (2),解: 原式,例11. 求,例12. 求,解:,例13. 求,解: 原式 =,例14. 求,解: 原式,例15. 已知,求,解: 两边求导, 得,则,(代回原变量),三、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),思考题,求积分,思考题解答,备用题 1. 求下列积分:,2.,求不定积分

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