高等数学中极限命题的研究（DOC）

1、高等数学中极限命题的研究一、直接命题直接计算某个未定式的极限，比较简单的解法（分解因式约分法、根式有理化、分子分母同除以无穷大（小）等等）不再介绍，仅介绍与考研命题相关的解法.1. 利用等价无穷小替换求极限依据 若存在，则常用的等价无穷小：当时，则， 注 若，则 若与不等价，则例1 解 原式例2 解 原式例3 解 原式例4 解 原式例5 解 原式练习 1. 解 原式2. 解 原式3. （06年） 解 原式2. 利用第二个重要的极限求极限依据 （1）或（2） 若， 存在，且，则例1 （03年） 解 原式例2 （93年）解 令，原式例3 设，求 （08年）解 原式练习 1. （03年）解 原式2.

2、 （91年）解 原式3. （91年）解 原式3. 利用极限存在的充要条件求极限依据 例1 （92年）解 ， 原极限不存在，但不为.例2 （00年）解 令，则，原极限为1.练习 （87年）解 ， 原极限不存在4. 利用洛必达法则求极限依据 若为（或），且存在（或），则.注 数列极限先化为函数极限，再使用法则； 可以求未定式.例1 （92年）解 原式例2 （94年）解 原式，令例3 （02年）解 原式例4 （07年）解 原式= =例5 （08年）解 原式练习 1. 设连续，求. （92年）解 原式2. 若均为常数，求 （00年）解 原式3. （05年）解 原式.4. 设.求（1） （2） （06年

3、）解 （1）,（2）,5. （08年）解 5. 利用泰勒公式（带佩亚诺型余项的麦克劳林展开式）求极限常用的展开式 ；.例1 （90年）解 ，原式.例2 (98年)解 ，原式.练习 1. （92年）解 ，原式.2. 解 ，原式.6. 利用极限存在准则求极限准则 若，则准则 单调有界数列必有极限.例1 （95年）解 令，则又， 原式.例2 设，求. （96年）解 由题意知，故有下界，下面用数学归纳法证单调有上界.，设，则，单调递减，且，故单调有界.存在，设为，则，解得，或（舍去），.练习 1. 解 ，又.2. 设,，求 （97年）解 由题意知，又，有下界， 又，即单调递减， 存在，设. 解得，即.

4、3. 设数列满足，求（1）证明存在，并求之. （2）计算. （06年）（1）证明 ， , , ,当时，用数学归纳法可证， 单调递减，且又，有界 从而存在. 设，则, ，即.（2）先求，.由（1）知，原式.7. 利用定积分的定义求极限依据 若在上连续，则. 特别地，取，则.例1 (02年)解 原式.例2 （98年）解 令，则,又,由夹逼准则知，即原式.练习 解 原式.9. 利用导数的定义求极限依据 ，.例1 已知求. （89年）解 例2 已知，求. （94年）解 , 原式.练习 1. 已知，求.解 2. 已知，求.解 ，.3. 设函数连续且，求曲线上对应点处切线方程.解 连续 又 ， 曲线在处切

5、线方程为.10. 结合导数的几何意义求极限依据 在几何上表示曲线在处切线的斜率.例1 设在处切线与轴交点为，求. （98年）解 ，切线方程为：，即,令得，, .例2 已知与在处切线相同，写出此切线方程，并求. （02年）解 由题意知， 切线方程：， 令，则 练习 曲线的切线与轴围成一个图形，记切点的横坐标为，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ （99年）解 ，在处的切线方程：，即.切线与轴的交点分别为，,图形面积为.从而当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积趋于无穷大.11. 利用已知极限求另一极限例1 若，求 （01年）解 法1 .法2 .练习 若，求.

6、解 由题意知，则,原式,.二、间接命题1. 讨论函数的连续性、可导性或对间断点分类依据 在连续， 在可导间断点：类（可去、跳跃间断点），类（无穷、振荡间断点）例1 讨论 在处的连续性与可导性. （95年）解 . 即在处可导，故也在处连续.例2 已知，求函数的间断点并指出其类型. （01年）解 ,的间断点为., 为可去间断点（至少左右极限中有一个为）.为无穷间断点.练习 1. 在处连续，下列命题错误的是 (D) . （07年）(A) 若存在，则 (B) 若存在，则 (C) 若存在，则存在 (D) 若存在，则存在2. 函数在上的第一类间断点为 (A) . （07年）(A) 0. (B) 1. (C

7、) . (D) . 3. 设函数在处连续，求. （02年）解 ，在处连续， ，.4. 设 ，试补充定义，使在上连续. （03年）解 由题意知， 令定义，使在上连续.5. 设函数在区间上连续，则是函数的 （B）间断点. （08年）跳跃间断点. 可去间断点. 无穷间断点. 振荡间断点.解 ， 存在，是函数的可去间断点.6. 设函数在内连续，则 1 . （08年）解 由于 ， ，由题意知， ， .7. 设连续，且，则 （08年）解 ， 由于连续， .2. 比较两个无穷小阶的高低（关于无穷小阶的命题）例1 时，与为等价无穷小，求. （03年）解 由题意知，,而, 例2 设在某邻域内有一阶连续导数，且若

8、在时比高阶，求. （02年）解 由题意知，则，又, . ，, 从而.例3 已知，求（常数）. （06年）解 由题意知，,而, , .而, .而, . ，解得练习 1. 设有连续导数，当时，与是同阶无穷小，求常数. （96年）解 ， ,由题意知，,只有当时，上式极限为.2. 比较与当时阶的高低. （97年）解 .是比高阶的无穷小.3.求曲线的渐近线依据 （1）若，则直线为水平渐近线.（2）若，则直线为铅直渐近线.（3）若，则直线为斜渐近线.例1 求曲线的渐近线. （05年）解 ， 无水平渐近线.， 直线为铅直渐近线.又 ，直线为斜渐近线.例2 求曲线的渐近线. （98年）解 ， 无水平渐近线.又

9、，无间断点， 故无铅直渐近线.又，令，直线为斜渐近线.例3 曲线的渐近线的条数为 (D) . （07年）(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.解 ， 为垂直渐近线.又 ， 为水平渐近线.又 = = =，直线为斜渐近线. 综上可知，共有3条渐近线.练习 求曲线的渐近线. （94年）解 ,直线为曲线的水平渐近线.又,直线为曲线的水平渐近线.使函数没有意义的点：,直线为曲线的铅直渐近线.又,直线为曲线的铅直渐近线.又直线不是曲线的铅直渐近线.综上可知，直线，为曲线的渐近线.4. 极限的反问题例1 已知，求. （04年）解 从而.例2 ，且，则 D . （94年）（A） （B） （C）

10、 （D） 解 ， .练习 设，求. （96年）解 .5. 求广义积分依据 广义积分常用定积分的极限定义（常考）例1 （02年） 解 原式.例2 （00年）解 原式.三、综合命题1、与导数综合例1 设，求 （92年）解 ,.例2 设周期为的函数在可导，求曲线在点处的切线斜率. （98年）解 由题意知，则，, 即 曲线在点处的切线斜率.练习 设的导函数在连续，求的取值范围. （03年）解 当时，则， ,又存在 ,且 , 又在连续，即, . 综上可知2. 与函数曲线的性态（如极值）综合例1 设的导数在连续，又，问是否为的极值点？ （01年）解 由题意知，, 为的驻点,又为的极大值点.练习 1. 设在

11、某邻域内可导，且，问是否为的极值？ （03年）解 由题意知，,由极限的局部保号性知，存在的某个去心邻域，使得,当时，； 当时，. 从而为的极小值.2. 设有二阶连续导数，且，问是否为的极值？ （96年）解 ,为的驻点.又 , 由极限的局部保号性知，存在的某个去心邻域，使得 ，从而.在的某个去心邻域内单调递增. 当时，; 当时，.为的极小值.3. 与中值定理综合例1 已知在内可导，且，求的值. （01年）解 ，, , 从而 .练习 设在内具有二阶连续导数，且，证明： (1) 对于内的任一，存在唯一的，使成立；(2) . （01年）解 （1）任给非零，由拉格朗日中值定理得， ， 唯一性的证明用反证

12、法.假设还存在与不相等的，使， ,从而根据罗尔定理，在与之间必存在，使，而这与矛盾.（2）根据麦克劳林公式，有 式减去式得，,两边取极限得，,即有 . 4. 与定积分综合（讨论变限积分的性质）例1 设连续，且（为常数），求并讨论在处的连续性. （97年）解 ，, ,令，则，且, .,又,而. 在处连续.练习 设在内可导，且，则（1）求；（2）求证.（1）解 令，则，令，则.（2）证明 由题意知，在上连续,再由积分中值定理知 , ,又 ，, .5. 与级数综合例1 设在点的某邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛. （94年）解 由及的连续性知，,再根据在点的某邻域内具有二阶连续导数及洛必达法则知,.由数列极限与函数极限的关系知，,又收敛，知收敛，从而绝对收敛.练习 设 ，且，判定级数的收敛性，