拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题课

1、拉格朗日方程 刚体动力学 振动,习 题 课,2,第二类拉格朗日方程的总结,对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k， 则系统的动力学方程为：,：为对应于广义坐标 的非有势力的广义力,当系统为保守系统时，有：,1：若系统存在循环坐标 ，则：,2：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：,3,习 题 课,5-29：半径为r、质量为m的圆柱，沿半径为R、质量为m0的空心圆柱内表面滚动而不滑动，如图所示。空心圆柱可绕自身的水平轴O转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为mr2/2和m0R2。试求系统的首次积分。,问题： 系统有几个自由度？ 如何选取广义坐标？ 系统的Lagrange函数？,系统有二个自由

2、度，取 为广义坐标。,4,习 题 课,不显含广义坐标和时间t，存在循环积分和广义能量积分,5,习 题 课,例：图示机构在铅垂面内运动，滑块质量m1、均质杆质量m2，地面光滑，杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统的首次积分。AB=L,解：系统的主动力均为有势力 分析系统的动能和势能,拉格朗日函数 中不显含广义坐标x和时间t,6,习 题 课,系统的什么广义动量守恒？,研究整体：,广义能量积分,保守系统，定常约束,7,习 题 课,例：机构在铅垂面内运动，均质圆盘质量m1在地面上纯滚动，均质杆AB质量m2用光滑铰链与圆盘连接。求系统首次积分。AB=L,解：系统的主动力均为有势力 分析系统的动能和势能,拉

3、格朗日函数 中不显含广义坐标x和时间t,8,习 题 课,系统的什么广义动量守恒？,研究整体：,研究圆盘：,9,习 题 课,（1）,（2）,（1）,（2）,10,习 题 课,刚体定点运动的角速度和角加速度,角速度,瞬时转动轴：,11,习 题 课,角加速度,用欧拉角表示的角速度,12,习 题 课,定点运动刚体上点的速度和加速度,1、速 度：,瞬时转动轴(instant axis of rotation)： 在某瞬时，刚体上存在一根通过定点O的轴，在该轴上各点的速度均为零，该轴称为瞬时转轴。,问题：在某瞬时刚体上哪些点的速度为零？,问题：如何确定定点运动刚体的瞬时转动轴？,13,习 题 课,向轴加速

4、度,转动加速度,角速度,2、加速度：,角加速度,速 度,求定点运动刚体上某一点的加速度的基本步骤：,14,习 题 课,定点运动刚体的欧拉动力学方程,其中：Ox、Oy、Oz为刚体对O点的惯量主轴（随体坐标轴）,15,习 题 课,利用陀螺的运动特性和机构特性,16,习 题 课,陀螺近似理论公式：,其中： MO是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和， O点既可以是惯性参考系中的固定点，也可以是刚体的质心。,陀螺力矩：,17,习 题 课,6-4：具有固定顶点O的圆锥在水平面上作纯滚动，如图所示。圆锥高CO=18cm，顶角，AOB=90o。圆锥面中心C作匀速圆周运动，每秒绕行一周。试求圆锥的角速

5、度和角加速度，并求圆锥底面直径AB两端点A和B的速度和加速度。,圆锥绕O点作定点运动,绕铅垂轴的进动角速度1,绕OC轴的自转角速度2,圆锥的绝对角速度 ,18,习 题 课,求绕OC轴的自转角速度2,OA为瞬轴，角速度为绝对角速度,19,习 题 课,6-10：正方形框架每分钟绕固定轴AB转2周，圆盘又相对于框架每分钟绕对角线上的轴BC转2周，如图所示。试求圆盘的绝对角速度和角加速度。,圆盘绕定点B作定点运动,绕AB轴的进动角速度1,绕BC轴的自转角速度2,圆盘的绝对角速度 ,20,习 题 课,角速度1是常量,角速度矢量2以角速度1绕AB轴旋转,方向垂直于纸面向里,21,习 题 课,6-11：图示

6、锥齿轮的轴通过平面支座齿轮的中心，锥齿轮每分钟在支座齿轮上滚动5次。如果支座齿轮的半径是锥齿轮半径的2倍，即R=2r，试求锥齿轮绕其自身轴转动的角速度1和绕瞬轴的角速度2。,圆锥绕O点作定点运动,绕铅垂轴的进动角速度,绕对称轴的自转角速度,圆锥的绝对角速度 ,22,习 题 课,6-12：图示陀螺以匀角速度1绕OB轴转动，而轴OB又匀速地画出一圆锥。如果陀螺中心轴OB的转速为n，BOS= const，试求陀螺的角速度和角加速度。,圆锥绕O点作定点运动,绕铅垂轴OS的进动角速度,绕OB轴的自转角速度,陀螺的绝对角速度 ,23,习 题 课,6-14：如图所示，汽轮机的转子可看成是均质圆盘，质量m=

7、22.7kg，半径r=0.305m，绕自转轴的转速n=10000r/min。两轴承A和B间的距离l=0.61m，汽轮机绕轴x的角速度=2rad/s。试求转子的陀螺力矩以及它在轴承A和B上引起的动压力。,汽轮机转子自转角速度 1,进动角速度,方向沿y轴负向,动压力,24,习 题 课,6-15：图示玩具陀螺对自转轴z的回转半径=0.02m，重心C到支点O的距离l=0.09m。假设陀螺在自转速n=1500r/min的条件下绕铅直轴O作规则进动，且角度=20o，试求进动角速度。,玩具陀螺绕O点作定点运动,绕铅垂轴O的进动角速度,绕OC轴的自转角速度,玩具陀螺的绝对角速度 ,陀螺力矩,25,习 题 课,

8、6-17：图示长方形框架重180N，绕水平轴AB以角速度=2 rad/s转动。在框架轴承C和D上安装重120N的飞轮M的转轴，飞轮的转速n=1800r/min。当框架在铅垂平面内时，试求轴承C和D上的陀螺力，以及轴承A和B上的全压力。飞轮对自转轴CD的回转半径为10cm，CD=30cm，l=30cm。,飞轮绕质点作定点运动,绕AB的进动角速度,绕CD轴的自转角速度,飞轮的绝对角速度 ,26,习 题 课,以框架和飞轮为研究对象 求陀螺力FC，FD,质心运动定理,动静法,以整体为研究对象求A、B处全反力,G1为飞轮重力，G2为框架重力,质心运动定理,动静法,27,6-2 欧拉动力学方程,问题 : 作定轴转动刚体的动量守恒、动能守恒，则对质心的动量矩： 。,A： 一定守恒； B：一定不守恒； C：不一定守恒。,28,习 题 课,例：求下列单自由度系统振动的固有频率,光滑,29,习 题 课,7-25：图示半径为r的半圆柱体，在水平面上只滚动不滑动，已知该圆柱体对通过质心C且平行于半圆柱体母线的轴的回转半径为，又OC=a。试求半圆柱体作微小摆动的频率。,应用拉格朗日方程建立运动微分方程,30,习 题 课,微振动,固有频率：,频率：,31,习 题 课,例：已知：机座与定子的质量为 ，转子的质量为 ，偏心为e，每个弹簧的刚度系数为k，阻尼器的阻尼系数为c。试建立机座的动力学方