高中数学第一章三角函数1.3蝗制课件2北师大版必修.ppt

1、1.3 弧度制,【知识提炼】 1.弧度制的概念 (1)1弧度角:在单位圆中,长度为_所对的圆心角为1弧度角,它 的单位符号是rad,读作弧度. (2)弧度制:以_作为单位来度量角的单位制.,1的弧,弧度,2.角度与弧度的互化,3.弧度数与弧度制的作用,正数,负数,0,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)长度为1的弧所对的圆心角一定是1弧度角吗? 提示:不一定.只有半径也是1时圆心角才是1弧度的角.否则圆心角不是1弧度角.,(2)弧度的计算公式为|= ,为什么带绝对值号? 提示:因为角度有正角、负角之分,而弧长为正值,当0时,=- .,2.如果一扇形的弧长为,半径等于2,则扇形所对圆心角为()

2、 A.B.2 【解析】选C.由题意=2,故= .,3.将-300化为弧度为_. 【解析】-300 =- . 答案:-,4. 化为度,结果为_. 【解析】rad=180,则1rad= 所以 答案:150,5.把-570化为2k+(02,kZ)的形式为_. 【解析】 答案:,【知识探究】 知识点1 角度制与弧度制 观察图形,回答下列问题: 问题:怎样理解、记忆角度制与弧度制的互化公式?,【总结提升】 1.角度制与弧度制的差别 (1)定义不同. (2)单位不同.弧度制是以“弧度”为单位,单位可以省略,而角度制是以“度”为单位,单位不能省略. (3)弧度制是十进制,而角度制是六十进制.,2.角度制与弧

3、度制的互化 (1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值,仅和半径与所含的弧这两者的比值有关. (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.,3.学习弧度制的注意点,知识点2 弧度制下的弧长公式及扇形面积公式 观察图形,回答下列问题: 问题:怎样利用角度制下的扇形面积公式推导弧度制下的扇形面积公式?,【总结提升】 关于扇形的面积公式 (1)公式中共四个量分别为,l,R,S,由其中的两个量可以求出另外的两个量,即知二求二. (2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多,但要注意它的前提是为弧度数.,(3)在运用公式时,还应熟练地掌握这两

4、个公式的变形运用: ,【题型探究】 类型一 角度与弧度的互化 【典例】1.(2015宝鸡高一检测)角2013的弧度表示为(),2.下列转化结果错误的是() A.6730化成弧度是 rad B.- 化成度是-600度 C.-150化成弧度是 rad D. 化成度是15度,3.把下列各角写成2k+(02,kZ)的形式,并指出它们是第几象限角:,【解题探究】1.典例1,2中角度化弧度、弧度化角度的公式是什么? 提示: 2.用弧度判断角所在的象限一般考虑哪个范围? 提示:利用与该角终边相同的角(02)所在的象限判断.,2.选C.因为1=180， A中， 正确. B中， 正确 C中： 错误 D中， 正确

5、,3. 是第三象限角. 所以-315可以表示为（-2） + ,是第一象限角. 是第一象限角.,【方法技巧】角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点 (1)原则:牢记180=rad,充分利用1= rad和1 rad= 进行换算. (2)方法:设一个角的弧度数为,角度数为n, 则,(3)注意点 用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写; 用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少的形式,如无特别要求,不必把写成小数; 度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.,【拓展延伸】 1.用弧度数表示象限角,2.弧度制下与角终边相同的角的表示 在弧度制下,与角的终边相同的角可以表

6、示为|=2k+,kZ,即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍.,【变式训练】(1)15730=_rad. (2) rad=_. (3)如图所示,用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.,【解析】(1)因为15730=157.5, 所以 答案: (2)因为 答案:72,(3)按逆时针方向,在-范围内与角 终边相同的角为 故所求集合S为 所求集合为,类型二 用弧度制表示角的集合 【典例】1.终边经过点(a,a)(a0)的角的集合是(),2.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2015是不是这个集合的元素.,【解题探究】1.典例1中,在0,2内,哪个角的终边经

7、过点(a,a) (a0)? 提示: 的终边经过点(a,a)(a0). 2.典例2中,在0,2内终边在图中阴影区域内的集合(包括边界)是什么? 提示:,【解析】1.选D.终边经过点(a,a)(a0)的角的集合为 终边经过点(a,a)(a0)的角的集合为 所以终边经过点(a,a)(a0)的角的集合是,2.因为150= .所以终边在阴影区域内角的集合为 因为2015=215+5360= +10, 又 所以2015= S,即2015是这个集合的元 素.,【方法技巧】 1.用弧度表示角的注意点 (1)注意角度与弧度不能混用. (2)各终边相同的角需加2k,kZ. (3)求两个角的集合的交集时,注意应用数

8、轴直观确定,可对k进行适当地赋值.,2.解决“弧度”与“角度”概念问题的关键点 (1)引入弧度制后,角的集合与实数集建立了一一对应关系. (2)用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任意非零角,单位不同,数量也不同. (3)“角度”与“弧度”可以按照“180=rad”这一等量关系进行相互转化.,【变式训练】用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.,【解析】(1)以OB为终边的330角可看成-30角,化为弧度,即- , 而 所以终边落在阴影部分内的角的集合为|2k- 2k+ , kZ. (2)因为30= rad,210= rad,

9、这两个角的终边所在的直线相同,因此终边在直线AB上的角为=k + ,kZ,而终边在y轴上的角为=k+ ,kZ,从而终边落在阴影 部分内的角的集合为|k+ k+ ,kZ.,类型三 弧长公式与面积公式的应用 【典例】1.(2015福州高一检测)已知扇形的圆心角为120,半径 为 cm,则此扇形的面积为_. 2.已知半径为10的O中,弦AB的长为10.求弦AB所对的圆心角的弧 度值.,【解题探究】1.题1中据已知条件,可利用扇形的哪个面积公式求解? 提示:由于已知扇形的圆心角和半径,可利用扇形面积公式S= lR. 2.圆心角的角度值是多少? 提示:圆心角的角度值是60.,【解析】1.设扇形弧长为l,

10、 因为 所以 所以 答案:cm2,2.由O的半径r=10=AB,知AOB是等边三角形, 所以=AOB=60= .,【延伸探究】 1.(改变问法)若题2中条件不变,改为求所在扇形的弧长l. 【解析】因为= ,r=10, 故l=r= .,2.(改变问法)若题2条件不变改为求弧所在的弓形面积S. 【解析】S扇形= 而SAOB= 所以S=S扇形-SAOB=,【方法技巧】弧度制下扇形面积公式的应用 (1)涉及的公式:弧长l=|r,周长2r+l,面积S= lr= r2. (2)解题策略:先分析题目条件中已知哪些量,然后利用相关的公式直接求解或解方程组求解.,【补偿训练】(2015石家庄高一检测)已知扇形A

11、OB的周长为8cm,面积为3cm2,则其圆心角为(),【解析】选A.由题意 解得,规范解答 弧长与扇形面积问题 【典例】(12分)(2015沈阳高一检测)已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?,【审题指导】 要求扇形面积的最大值,首先利用半径,圆心角表示出扇形面积,再利用周长40建立半径与圆心角的关系,用其中的一个表示另一个后代入,配方求最值.,【规范解答】设扇形的半径和弧长分别为r和l, 由题意可得2r+l=40,2分 所以l=40-2r,4分 由l=40-2r0,解得0r20, 6分,所以扇形的面积 S= lr= (40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100, 8分 因为0r20, 所以当r=10时,面积取得最大值100,9分 当r=10时,弧长l=20,圆心角为2,11分 所以当半径为10、圆心角为2时,扇形的面积最大,最大值为100. 12分,【