最全最实用的高等数学公式大全

1、高数工本阶段公司空间解析几何和向量代数：空间 点的距离：d M 1M 2(x2x1 )2( y2y1 )2(z2z1 )22向量在轴上的投影：Pr j u ABAB cos ,是 与 轴的夹角。ABuPr j u (a1a2 )Pr ja1 Pr ja2a b ab cosaxbxay byazbz ,是一个数量 ,两向量之间的夹角：cosaxbx ay byazbzax22222bz2ayazbxbyijkc a baxayaz , ca例：线速度：vwr .b sin .bxbybzaxa yaz向量的混合积：( ab )cbxbybzabc cos ,为锐角时， ab ccxcycz代表

2、平行六面体的体积 。平面的方程：1、点法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n A, B,C, M 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平面的距离： dAx0By0A2B2空间直线的方程： x x0y y0z z0t, 其中 smnp二次曲面：Cz0 DC 2xx0mt m,n, p; 参数方程： yy0ntzz0pt1、椭球面： x2y2z21a2b2c2、抛物面： x2y2（同号）22qz,p, q2 p3、双曲面：单叶双曲面： x2y2z21a2b2c 2双叶双曲面： x2y

3、2z2（马鞍面）a2b2c21多元函数微分法及应用全微分： dzzzduuuudxdydxdydzxyxyz全微分的近似计算：z dz f x ( x, y) xf y (x, y)y多元复合函数的求导法：zf u(t ), v(t)dzzuzvdtutvtzf u(x, y), v( x, y)zzuzvxuxvx当u，时，u( x, y)vv( x, y)duu dxu dydvv dxv dyxyxy隐函数的求导公式：隐函数F ( x, y)，dyFx ，d 2 yFx)Fxdy0dxFydx 2()x Fyy Fydx隐函数F ( x, y, z)， zFx ，zFy0xFzyFzF

4、(x, y,u, v)0( F ,G )FFFuFvJuv隐函数方程组：0(u,v)GGGuGvG (x, y,u, v)uvu1 ( F ,G )v1 (F ,G )xJ( x, v)xJ(u, x)u1 ( F ,G )v1 (F , G )yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在几何上的应用：x(t)空间曲线y(t )在点 M (x0 , y0 , z0 )处的切线方程： xx0yy0zz0z(t)(t0 )(t0 )(t0 )在点 M 处的法平面方程：(t0 )( xx0 )(t0 )( yy0 )(t 0 )( zz0 )0F ( x, y, z) 0FyFzFzFx,FxFy若空间

5、曲线方程为：,则切向量 T G y,G ( x, y, z) 0G z GzG x G xG y曲面 F ( x, y, z)0上一点 M ( x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量： n Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 03、过此点的法线方程：xx0y y0zz0Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy

6、( x0 , y0 , z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )方向导数与梯度：函数 zf ( x, y)在一点 p( x, y)沿任一方向 l的方向导数为： ff cosf sinlxy其中 为 x轴到方向 l 的转角。函数 zf ( x, y)在一点 p( x, y)的梯度： gradf ( x, y)fif jxy它与方向导数的关系是： fgrad f (x, y) e，其中 ecosisinj ，为 l 方向上的l单位向量。f 是 gradf (x, y)在 l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设f x ( x0, y 0 )f y ( x0 , y0 )，令：f xx( x0

7、 , y0 )A,f xy( x0 , y 0 )B ,f yy ( x0 , y0 ) C0ACB2时， A0, ( x0 , y 0 )为极大值00 , ( x0 , y 0 )为极小值B 2A则： AC0时，无极值ACB2时不确定0 ,重积分及其应用：f ( x, y) dxdyf (r cos, r sin) rdrdDDz2z2曲面 zf ( x, y)的面积 A1dxdyxyDM xx ( x, y)dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：xD,yDM( x, y)dM( x, y)dDD平面薄片的转动惯量：对于 x轴 I xy 2( x, y)d,对于 y轴 I yx 2(

8、x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）对 z轴上质点 M (0,0, a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：Fx f( x, y) xd，Fyf( x, y) yd，Fzfa( x, y) xd333D ( x2y2a2 ) 2D ( x 2y2a 2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2柱面坐标和球面坐标：xr cos柱面坐标： yr sin,f ( x, y, z)dxdydzF (r , z)rdrddz,zz其中： F (r , , z)f (r cos, r sin, z)xr sincos球面坐标： yr sinsin，dvrdr sind drr 2

9、 sindrddzr cos2r ( , )f (x, y, z)dxdydzF ( r ,)r 2 sindrddddF (r , ,)r 2 sindr000重心：x1x dv,y1ydv,z1z，其中MxdvMMdvM转动惯量：I x( y22，I y( x22，I z(x2y2) dvz) dvz) dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设 f (x, y)在 L上连续， L的参数方程为： x(t) ,(t),则：y(t)f (x, y)dsf (t ),(t)2 (t )2 (t)dt()特殊情况：xty(t )L第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设 L 的参数方程为x

10、( t ) ，则：y( t )P ( x , y ) dxQ ( x , y ) dy P ( t ),( t )( t )Q ( t ),( t )( t ) dtL两类曲线积分之间的关系： PdxQdy( P cosQ cos ) ds，其中和分别为LLL 上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：(QP ) dxdyPdxQdy 格林公式：(QP ) dxdyPdxQdyDxyLDxyL当 Py , Qx ，即：QP2时，得到D 的面积：Adxdy1xdyydxxy2DL平面上曲线积分与路径无关的条件：1、 G 是一个单连通区域；2、，Q ( x , y )在G内具有一阶连续偏导数，且Q

11、P 。注意奇点，如( 0 , 0 )，应P ( x , y )xy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在Q P 时，PdxQdy才是二元函数的全微分，其中：xyu ( x , y )( x , y )u ( x , y )P ( x , y ) dxQ ( x , y ) dy，通常设x 0y 00。( x 0, y 0 )曲面积分：对面积的曲面积分：f ( x, y, z) dsf x, y, z( x, y)1zx2 ( x , y )zy2 ( x, y) dxdyD xy对坐标的曲面积分：P ( x, y, z) dydzQ( x, y, z)dzdx，其中：R(

12、x , y, z) dxdyR( x, y, z) dxdy，取曲面的上侧时取正号；R x, y, z( x , y) dxdyD xyP( x, y, z) dydz，取曲面的前侧时取正号；P x( y , z), y, zdydzD yzQ( x, y, z) dzdx，取曲面的右侧时取正号。Q x, y ( z, x), zdzdxD zx两类曲面积分之间的关系： PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos) ds高斯公式：( PQR ) dvPdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos ) dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：散度： di

13、vPQR ,即：单位体积内所产生的流体质量，若 div0, 则为消失 .xyz通量： AndsAn ds(P cosQ cosR cos)ds，因此，高斯公式又可写成：div AdvAn ds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：( RQ )dydz (PR )dzdx( QP )dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件： RQ ， PR ， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量场沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzA t dsA常数项级数：等比数列：1qq 2q

14、 n11q n1q等差数列：123n( n1)n2调和级数：1111 是发散的23n级数审敛法：、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛1设：limnu n，则时，级数发散1n时，不确定12、比值审敛法：时，级数收敛U n1设：lim1，则时，级数发散U n1n时，不确定1、定义法：3sn u1u 2u n ; limsn 存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1u2u3u4或u1 u2u3,un的审敛法 莱布尼兹定理：(0)unun1s u1 ,其余项 rn的绝对值 rn un 1。如果交错级数满足，那么级数收敛且其和lim un0n绝对收敛与条件收敛：(1)u1u 2u

15、n，其中 u n 为任意实数；(2) u1u 2u3u n如果收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；( 2)如果发散，而收敛，则称(1)为条件收敛级数。( 2)(1)调和级数：1 发散，而( 1) n 收敛；nn级数：1收敛；n 2p级数：1 时发散n pp时收敛1幂级数：23nx1时，收敛于11 xx1xx xx1时，发散对于级数 ( 3) a0a1 xa2 x 2an xn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在 R，使xR时发散 ，其中 R称为收敛半径。xR时不定10时， R求收敛半径的方法：设lim an 1，其中 an， an1是 (3)的系数，则0

16、时， Rnan时， R0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f ( x)f ( x0 )( xx0 )f ( x0 ) ( xx0) 2f ( n ) ( x 0 ) ( xx0 ) nf ( n 1)2!n!余项： Rn( ) ( xx0 ) n 1 , f ( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是： lim Rn0(n1)!nx00时即为麦克劳林公式：f ( x )f ( 0)f ( 0)2f ( n ) ( 0)nf ( 0) xxx2!n!一些函数展开成幂级数：(1 x) m1 mxm( m 1) x 2m( m 1) ( m n 1) x n( 1 x 1)x3x 52!x2 n1n

17、!sin xx(1) n 1(x)3!5!( 2 n1)!欧拉公式：eixe ixeixcos xi sin xcos x2或eixe ixsinx2三角级数：f (t )A0Ansin( ntn )a 0( a ncos nxb n sin nx )2n1n 1其中， a0aA 0， a nAn sinn， b nAn cosn ，t x。正交性： 1,sinx, cos x, sin 2 x, cos 2 x sin nx , cos nx任意两个不同项的乘积在 , 上的积分。0傅立叶级数：f ( x )a0( ancos nxbnsin，周期22nx )n1a n1f ( x ) cos

18、 nxdx( n0,1,2)其中1b nf ( x )sin nxdx( n 1,2,3 )112111211（相加）325 282 23 24 26111211121（相减）2 24 26 2242 23 24 212正弦级数：a n，bn2f ( x) sin n xdxn1,2,3f ( x)b n sin nx是奇函数00余弦级数：bn0，an2f ( x) cos nxdxn0,1,2f ( x )a 0a ncos nx 是偶函数20周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数：f ( x )a0(a nnxn x ，周期2l2cosbn sin)n1lla n1 lnx(n0,1,2)l

19、f ( x) cosdx其中lllf ( x ) sin nx dxb n1(n1, 2,3)l ll微分方程的相关概念：一阶微分方程：yf ( x, y)或P ( x, y ) dx Q ( x, y) dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为 g ( y) dyf ( x) dx 的形式，解法：g ( y )dyf ( x) dx得：G ( y) F ( x) C 称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成dyf ( x, y)，即写成y 的函数，解法：dx( x, y )x设 uy ，则 dyux du ， udu(u )， dxduu分离变量，积分后将y 代替 u，xdxdxdxx(u )x即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：dyP ( x ) yQ ( x )dx当 Q ( x )0时 , 为齐次方程，yCeP ( x ) dx当 Q ( x )0时，为非齐次方程，y(P ( x ) dxP ( x )