误差棒标准差标准误差

1、页眉标准差 (Standard Deviation)和 标准误差 (Standard Error)本文摘自Streiner DL.Maintaining standards: differencesbetween the standarddeviation andstandarderror, and when to use each. Can J Psychiatry 1996; 41: 498 502.标准差 (Standard Deviation)标准差，缩写为 S.D., SD, 或者 s ( 就是为了把人给弄晕？ ) ，是描述数据点在均值（ mean）周围聚集程度的指标。如果把单个数据

2、点称为“ Xi , ” 因此 “X1 ” 是第一个值，“ X2 ” 是第二个值，以此类推。均值称为“ M”。初看上去 (Xi - M) 就可以作为描述数据点散布情况的指标，也就是把每个 Xi 与 M的偏差求和。换句话讲，是（单个数据点数据点的平均）的总和。看上去挺有逻辑性的，但是它有两个缺点。第一个困难是 ：上述定义的结果永远是 0。根据定义，高出均值的和永远等于低于均值的和，因此它们相互抵消。可以取差值的绝对值来解决（也就是说，忽略负值的符号），但是由于各种神秘兮兮的原因，统计学家不喜欢绝对值。另外一个剔除负号的方法是取平方，因为任何数的平方肯定是正的。所以，我们就有 (Xi - M) 2。

3、另外一个问题 是当我们增加数据点后此等式的结果会随之增大。 比如我们手头有 25 个值的样本，根据前面公式计算出 SD是 10。如果再加 25 个一模一样的样本，直觉上 50 个大样本的数据点分布情况应该不变。但是我们的公式会产生更大的SD值。好在我们可以通过除以数据点数量 N来弥补这个漏洞。所以等式就变成 (Xi - M) 2/ N.根据墨菲定律，我们解决了两个问题，就会随之产生两个新问题。第一个问题（或者我们应该称为第三个问题， 这样能与前面的相衔接） 是用平方表达偏差。假设我们测量自闭症儿童的 IQ。也许会发现 IQ 均值是 75, 散布程度是 100 个 IQ 点平方。这 IQ 点平方

4、又是什么东西？不过这容易处理：用结果的平方根替代，这样结果就与原来的测量单位一致。 所以上面的例子中的散布程度就是 10 个 IQ 点，变得更加容易理解。最后一个问题是目前的公式是一个有偏估计， 也就是说，结果总是高于或者低于真实的值。解释稍微有点复杂， 先要绕个弯。在多数情况下， 我们做研究的时候，更感兴趣样本来自的总体（ population ）。比如，我们探查有年轻男性精神分裂症患者的家庭中的外现情绪（ expressed emotion ，EE)水平时，我们的兴趣点是所有满足此条件的家庭（总体），而不单单是哪些受研究的家庭。我们的工作便是从样本中估计出总体的均值（mean）和 SD。因

5、为研究使用的只是样本，所以1 / 5页眉这些估计会与总体的值未知程度的偏差。理想情况下，计算 SD的时候我们应当知道每个家庭的分值 (score) 偏离总体均值的程度，但是我们手头只有样本的均值。根据定义，分值样本偏离样本均值的程度要小于偏离其他值， 因此使用样本均值减去分值得到的结果总是比用总体均值 （还不知道） 减去分值要小， 公式产生的结果也就偏小（当然 N 很大的时候，这个偏差就可以忽略） 。为了纠正这个问题，我们会用 N-1 除，而不是 N。总之，最后我们得到了修正的标准差的（估计）公式（称为样本标准差）：顺带一下，不要直接使用此公式计算SD，会产生很多舍入误差 (roundinge

6、rror)。统计学书一般会提供另外一个等同的公式，能获得更加精确的值。现在我们完成了所有推导工作，这意味着什么呢？假设数据是正态分布的，一旦知道了均值和SD，我们便知道了分值分布的所有情况。对于任一个正态分布， 大概 2/3（精确的是 68.2%）的分值会落在均值 -1 SD 和均值 +1 SD之间， 95.4%的在均值 -2 SD 和均值 +2 SD之间。比如，大部分研究生或者职业院校的入学考试（ GRE,MCAT,LSAT和其他折磨人的手段）的分数分布（正态）就设计成均值 500，SD 100。这意味 68%的人得分在 400 到 600 之间，略超过 95%的人在 300 到 700 之

7、间。使用正态曲线的概率表，我们就能准确指出低于或者高于某个分数的比例是多少。相反的，如果我们想让 5%的人淘汰掉，如果知道当年测试的均值和 SD，依靠概率表，我们就能准确划出最低分数线。总结一下， SD告诉我们分值围绕均值的分布情况。现在我们转向标准误差（ standard error）。标准误差 (Standard Error)前面我提到过大部分研究的目的是估计某个总体(population)的参数，比如均值和 SD（标准方差）。一旦有了估计值，另外一个问题随之而来：这个估计的精确程度如何？这问题看上去无解。 我们实际上不知道确切的总体参数值， 所以怎么能评价估计值的接近程度呢？挺符合逻辑的

8、推理。 但是以前的统计学家们没有被吓倒，我们也不会。我们可以求助于概率： （问题转化成）真实总体均值处于某个范围内的概率有多大？（格言： 统计意味着你不需要把话给说绝了 。）回答这个疑问的一种方法重复研究（实验）几百次，获得很多均值估计。然后取这些均值估计的均值，同时也得出它的标准方差（估计）。然后用前面提到的概率表，我们可估计出一个范围，包括 90%或者 95%的这些均值估计。如果每个样2 / 5页眉本是随机的，我们就可以安心地说真实的（总体）均值90%或者 95%会落在这个范围内。我们给这些均值估计的标准差取一个新名字：均值的标准误差（thestandard error of the me

9、an ），缩写是 SEM,或者，如果不存在混淆，直接用SE代表。但是首先得处理一个小纰漏：重复研究（实验）几百次。现今做一次研究已经很困难了，不要说几百次了（即使你能花费整个余生来做这些实验）。好在一向给力的统计学家们已经想出了基于单项研究（实验）确定SE的方法 。让我们先从直观的角度来讲：是哪些因素影响了我们对估计精确性的判断？一个明显的因素是研究的规模。 样本规模 N越大，反常数据对结果的影响就越小，我们的估计就越接近总体的均值。所以，N应该出现在计算SE公式的分母中：因为N越大，SE越小。类似的，第二因素是：数据的波动越小，我们越相信均值估计能精确反映它们。所以， SD应该出现在计算公式

10、的分子上： SD越大， SE越大。因此我们得出以下公式：2( 为什么不是 N? 因为实际是我们是在用 N除方差 SD，我们实际不想再用平方值，所以就又采用平方根了。 )所以， SD实际上反映的是数据点的波动情况，而SE则是均值的波动情况。置信区间 (Confidence Interval)前面一节，针对SE，我们提到了某个值范围。我们有或者的信心认为真95%99%实值就处在当中。我们称这个值范围为“置信区间”，缩写是CI。让我们看看它是如何计算的。看正态分布表，你会发现95%的区域处在 -1.96 SD 和+1.96SD之间。回顾到前面的GRE和 MCAT的例子，分数均值是500，SD是100

11、，这样 95%的分数处在 304 和 696 之间。如何得到这两个值呢？首先，我们把 SD 乘上 1.96 ，然后从均值中减去这部分，便得到下限 304。如果加到均值上我们便得到上限 696。CI 也是这样计算的，不同的地方是我们用 SE替代 SD。所以计算 95%的 CI 的公式是： 95%CI= 均值 ( 1.96 xSE) 。选择 SD, SE 和 CI好了，现在我们有SD,SE和 CI。问题也随之而来：什么时候用？选择哪个指标呢？很明显， 当我们描述研究结果时， SD是必须报告的。 根据 SD和样本大小，读者很快就能获知 SE和任意的 CI 。如果我们再添加上 SE和 CI，是不是有重

12、复之嫌？回答是：“ YES”和“ NO”兼有。3 / 5页眉本质上，我们是想告之读者通常数据在不同样本上是存在波动的 。某一次研究上获得的数据不会与另外一次重复研究的结果一模一样。 我们想告之的是期望的差异到底有多大：可能波动存在，但是没有大到会修改结论，或者波动足够大，下次重复研究可能会得出相反的结论。某种程度上来讲， 这就是检验的显著程度， P level 越低，结果的偶然性就越低，下次能重复出类似结果的可能性越高。 但是显著性检验， 通常是黑白分明的： 结果要么是显著的，要么不是。如果两个实验组的均值差别只是勉强通过了P 0.05 的红线，也经常被当成一个很稳定的结果。如果我们在图表中加

13、上CI，读者就很容易确定样本和样本间的数据波动会有多大，但是我们选择哪个CI 呢？我们会在图表上加上 error bar （误差条，很难听），通常等同于 1 个 SE。好处是不用选择 SE或者 CI 了（它们指向的是一样的东西），也无过多的计算。不幸的这种方法传递了很少有用信息。一个 error bar (-1 SE,+1 SE )等同于 68%的 CI；代表我们有 68%的信心真的均值（或者 2 个实验组的均值的差别）会落在这个范围内。糟糕的是，我们习惯用 95%，99% 而不是 68%。所以让忘记加上SE吧，传递的信息量太少了，它的主要用途是计算 CI。那么把 error bar 加长吧，

14、用 2 个 SE如何？这好像有点意思， 2 是 1.96 的不错估计。有两方面的好处。首先这个方法能显示 95%的 CI ，比 68%更有意义。其次能让我们用眼睛检验差别的显著性 （至少在 2 个实验组的情况下是如此） 。如果下面 bar 的顶部和上面 bar 的底部没有重叠，两个实验组的差异必定是显著的 （5%的显著水平）。因此我们会说，这 2 个组间存在显著差别。如果我们做 t-test ，结果会验证这个发现。 这种方法对超过 2 个组的情况就不那么精确了。 因为需要多次比较（比如，组 1 和组 2，组 2 和组 3，组 1 和组 3），但是至少能给出差别的粗略指示。在表格中展示 CI 的时候，你应该给出确切的数值（乘以 1.96 而不是 2）。总结SD反映的是数据点围绕均值的分布状况，是数据报告中必须有的指标。SE则反映了均值波动的情况，是研究重复多次后，期望得到的差异程度。 SE自身不传递很多有用的信息， 主要功能是计算 95%和 99%的 CI。 CI 是显著性检验的补充，反映的是真实的均值或者均值差别的范围。一些期刊已把显著性检验抛弃了， CI 取而代之。这可能走过头了。因为这两种方法各有优点， 也均会被误用。 比如，一项小样本研究可能发现控制组和实验组间的差别显著（ 0.05 的