高中数学：第二章：函数-二次函数（竞赛精讲）

1、2.2 二次函数一、 基础知识：1 二次函数的解析式（1）一般式：（2）顶点式：，顶点为（3）两根式：（4）三点式：2二次函数的图像和性质（1）的图像是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴方程为，开口与有关。（2）单调性：当时，在上为减函数，在上为增函数；时相反。（3）奇偶性：当时，为偶函数；若对恒成立，则为的对称轴。（4）最值：当时，的最值为，当时，的最值可从中选取；当时，的最值可从中选取。常依轴与区间的位置分类讨论。3三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。二、 综合应用：例1：已知，若时，恒成立，

2、求的取值范围。例2设满足条件：（1）当时，（2）当， （3）在R上的最小值为0。求的解析式；求最大的使得存在，只要就有。设实数a、b、c满足a2bc8a70 b2c2bc6a60 求a的取值范围.分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a来表示bc及bc，从而用韦达定理构造出a为变量的一元二次方程，由0建立a的不等式.解：由得：bca28a7 由得：(bc)2a22a1 即bc(a1) 由得b，c为方程x2(a1)x(a28a7)0的两个实数根，由于b，cR，所以0即：(a1)24(a28a7)0即：a

3、210a90得：1a9例3。已知二次函数和一次函数，其中满足，（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A、B；（2）求线段在轴上的射影的范围。命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.(1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的

4、图象交于不同的两点.(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=,x1x2=.|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2 abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的对称轴方程是.(2,)时，为减函数 |A1B1|2(3,12),故|A1B1|().例4已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b是常数，且a0)满足条件：f(x1)=f(3x)，且方程f(x)=2x有等根。求f(x)的解析式；是否存在实数m，n (mn)，使f(x)的定义域和值域分别为m,n和4m,4n？如果存在，求出m,n的值；如果不存在，请说明理由。解析：方程f(x)=2

5、x有等根0b=2f(x1)=f(3x)f(x)=f(2-x)图象的对称轴为x=-=1a=-1f(x)=-x2+2xf(x)=-(x-1)2+114n1n抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1n时，f(x)在m,n上为增函数若满足题设条件的m,n存在，则mnm=-2,n=0，这时定义域为-2,0，值域为-8,0存在m=-2,n=0，满足条件。例5对于函数y=f(x)，若存在实数x0，满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点。已知F1(x)=f(x), F2(x)=fF1(x), F3(x)=fF2(x), , Fn(x)=fFn-1(x) (nN*,n2)。若f(x)存在不动点，试问F2

6、(x), F3(x), ,Fn(x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以证明。设f(x)=2x-x2。求使所有Fn(x)0（nN*,n2）成立的所有正实数x值的集合。y=f(x)存在不动点x0，则f(x0)=x0，下证x0是Fn(x)的不动点。F2(x0)=fF1(x0)=ff(x0)f(x0)=x0 x0也是F2(x)的不动点。若Fn-1(x)存在不动点x0，即Fn-1(x0)=x0 Fn(x0)=fFn-1(x0)=f(x0)=x0 Fn(x)存在不动点x0综上所述：对于任意nN*,n2，Fn(x)都存在不动点，并且有相同的不动点。方法一：f(x)02xx20x2要使Fn(x)0 (n2)

7、fFn-1(x)02Fn-1(x)Fn-1(x)20Fn-1(x)2依此类推，要使F2(x)0fF1(x)0ff(x)02f(x)f(x)20f(x)22xx22x2或xfx2所求x的取值范围为(2,+)。例6：求实数的取值范围，使得对于任意实数和任意实数，恒有。设，原不等式化为：恒成立记，则 ， ， 例7：已知函数，方程的两根是，又若，试比较的大小。解法一：设F(x)f(x)xax2(b1)xca(xx1)(xx2) f(x)a(xx1)(xx2)x作差：f(t)x1a(tx1)(tx2)tx1 (tx1)a(tx2)1 a(tx1)(tx2)又tx2t(x2x1)x1tx10 f(t)x1

8、0 f(t)x1解法二：同解法一得f(x)a(xx1)(xx2)x令g(x)a(xx2) a0，g(x)是增函数，且tx1 g(t)g(x1)a(x1x2)1另一方面：f(t)g(t)(tx1)t a(tx2)g(t)1 f(t)tx1t f(t)x1例8已知函数，方程的两个根为，且（1） 求证：也是方程的根；（2） 设的另两个根是，且，试判断的大小。解：（1）易证。（2）由方程的两个根为，设所以记，则是的两根，而，且，故。例9设,方程的两个根，若，设的对称轴为，求证构造可以推出结论。设,当时，求证：适合的最小实数A的值为8。，所以A的最小值为8例10设,方程的两个根满足，（1）当时，证明；（

9、2）设的图像关于直线对称，证明该题是一九九七年全国普通高考理工类数学第24题，它综合考查二次函数、二次方程和不等式的基础知识，以及灵活运用数学知识和方法分析、解决问题的能力，当年没有几个考生能完整解答此题。可以从代数与几何两个角度展开思考： 从代数角度看，f(x)是二次函数，从而方程f(x)-x=0即ax2+(b-1)x+c=0 (a0)是二次方程，由于x1,x2是它的两个根，且方程中x2的系数是a，因此有表达式：f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) ,进而，利用二次函数的性质和题设条件，可得第（1）问的证明。 从几何角度看，抛物线y=f(x)-x开口向上，因此在区间x1,x2的外部，f(

10、x)-x0，（1）的左端得证。其次，抛物线y=f(x)的开口也向上，又x1=f(x1)，于是为了证得（1）的右端，相当于要求证明函数f(x)在区间0,x1的最大值是f(x1)，这相当于证明f(0)f(x1)，也即Cx1，利用韦达定理和题设，立即可得。 至于（）的证明，应用配方法可得x0=，进而利用韦达定理与题设，即得证明。 证明：欲证：xf(x)x1 只须证：0f(x)-xx1-x 方程f(x)-x=0的两根为x1,x2, f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 式即: 0a(x-x1)(x-x2)x1-x a0，x(0,x1)，x1-x0， a(x1-x)0 式两边同除以a(x1-x)0，

11、得：0x2-x，即：xx2+x 这由已知条件：0xx1x2，即得：xx2+x， 故命题得证。 （2）欲证x0，因为x0=，故只须证：x0-=-0 由韦达定理，x1+x2=，=，代入式，有- =-0 即：x2 由已知：0x1x2，命题得证。 三、练习1二次函数,若,则等于:A. B. C.c D.2已知二次函数，设方程 有两个实数根如果，设函数的对称轴为，求证：；如果，且的两实根的差为2，求实数的取值范围（1）即为：它的两根满足的充要条件是：又，所以：因为：，所以：，即：（1） 由题意得： 即：消去得：，此不等式等价于：解得：3已知函数f(x)=6x6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x

12、)=fg1(x), g3(x)=fg2(x), , gn(x)=fgn-1(x), 。求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切nN*, gn(x0)=x0都成立；若实数x0，满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。设区间A=(-,0)，对于任意xA，有g1(x)=f(x)=a0, g2(x)=fg1(x)=f(0)0，且n2时，gn(x)0。试问是否存在区间B (ABf)，对于区间内任意实数x，只要n2，都有gn(x)0？解:数学归纳法：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；当n=k时，在gk(x0)=x0 (kN*)成立，则gk+1(x0)=fgk(x)=f(x0)=g1(x0)=x0，即当n=k+1时，命题成立。对一切nN*，若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0。由