线性系统的时域分析法 ppt课件

1、线性系统的时域分析法,经典控制理论中的系统分析方法,时域分析法 根轨迹分析法 频域分析法,任务：分析系统动态性能和稳态性能,直观、准确、提供系统时间响应的全部信息,3.1 系统时间响应的性能指标,1 典型输入 信号,单位阶跃函数 单位斜坡函数 单位加速度函数 单位脉冲函数 正弦函数,时域表达式,复域表达式,3.1 系统时间响应的性能指标,2 动态过程与稳态过程,动态过程：在输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程,可提供稳定性的信息外，还可提供响应的速度和 阻尼情况。,为了评价线性系统时间响应的性能指标，需要研究控制系统在典型输入信号(Test input signal)作用下

2、的时间响应过程,3.1系统时间响应的性能指标,3。1 引言 对系统的响应进行描述，性能进行度量。,3.1 系统时间响应的性能指标,2 动态过程与稳态过程,稳态过程：在输入信号作用下，当t趋于无穷时系统输出量的表现形式。稳态过程又称为稳态响应。,可提供有关稳态误差的信息，用稳态性能描述。,3.1 系统时间响应的性能指标,3 控制系统的时域性能指标(performance index),系统的性能,瞬态（动态）性能 稳态性能,通常在阶跃函数作用下，测定和计算系统的动态性能。 假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态。,3.1 系统时间响应的性能指标,动态性能指标的定义,延迟时间； 上升时间；

3、峰值时间；,超调量,调节时间,所有性能指标均可从响应曲线上获得。（可通过实验的方法得到）,3.1 系统时间响应的性能指标,（a）动态性能指标的定义,描述响应速度的：延迟时间(delay time) ；上升时间(rise time) ；峰值时间(peak time) ；,描述阻尼程度的：超调量(overshoot) ；,综合描述的：调节时间(settling time),3.1 系统时间响应的性能指标,（b）稳态性能,稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标。通常在阶跃信号，斜坡信号、加速度信号作用下进行测定和计算。 稳态误差(steady-state error)是系统控制精度或抗扰动能力的一

4、种度量。,3.2 一阶系统的时域分析,可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。,1 一阶系统的数学模型,2 单位阶跃响应,3.2 一阶系统的时域分析,一阶系统的动态性能指标为： td=0.69T tr=2.2T ts=3T (5%), ts=4T (2%),3 一阶系统的单位脉冲响应,3.2 一阶系统的时域分析,脉冲响应的动态过程与阶跃响应的动态过程有什么关系?,闭环系统的极点=-1/ T,3.2 一阶系统的时域分析,4 一阶系统的单位斜坡响应,3.2 一阶系统的时域分析,通过表可以发现输入信号之间的关系,响应信号之间的关系,3.2 一阶系统的时域分析,问题: 1 求出下列一阶系统的动态性能

5、指标(tr,ts)，定性画出系统的单位阶跃响应曲线. 2 输入信号r(t)=2t.1(t), 求系统1 在稳态时的稳态误差.,1,2,问题: 在某系统的单位阶跃响应曲线上可以获得哪些动态性能指标.,2阶系统单位阶跃响应,3.3 二阶系统的时域分析,1 二阶系统的数学模型,两种标准形式,时间常数、阻尼比 自然频率、阻尼比,3.3 二阶系统的时域分析,2 二阶系统的闭环极点,闭环系统的特征多项式,闭环系统的特征方程,闭环系统的极点,极点性质与阻尼比有关,3.3 二阶系统的时域分析,2 二阶系统的闭环极点,阻尼比,欠阻尼 共轭复根 临界阻尼 相等的负实根 过阻尼 不等的负实根,二阶系统的单位阶跃响应

6、,二阶系统闭环极点分布,欠阻尼,临界阻尼,过阻尼,3.3 二阶系统的时域分析,3 二阶系统单位阶跃响应,二阶系统的单位阶跃响应,欠阻尼情况,3.3 二阶系统的时域分析,2阶系统的单位阶跃响应（不同阻尼比）,3.3 二阶系统的时域分析,2阶系统的单位阶跃响应（不同自然频率）,自然频率分别为10，3，1 rad/s 阻尼比为0。3固定,二阶系统的单位阶跃响应,无阻尼情况,以无阻尼振荡频率等幅振荡,二阶系统的单位阶跃响应,临界阻尼情况,按指数规律单调增加,趋向稳态值.,二阶系统的单位阶跃响应,加响应曲线,二阶系统的单位阶跃响应,过阻尼情况,二阶系统的单位阶跃响应,过阻尼情况下,响应为两个指数衰减函数

7、的叠加. 随着阻尼的增加,两个极点的位置相差越远.,二阶系统的单位阶跃响应,阻尼比小于零的情况,例如,响应振荡发散.,3.3 二阶系统的时域分析,4 欠阻尼二阶系统的动态性能指标计算,上升时间tr,c(tr)=1,3.3 二阶系统的时域分析,峰值时间tp,c(tp)=cmax,dc(tp)/dt=0,3.3 二阶系统的时域分析,调节时间ts,3.3 二阶系统的时域分析,超调量Mp,3.3 二阶系统的时域分析,二阶系统的形成,2）由两个惯性环节的串联反馈组成,3）由一个惯性环节和一个积分环节的串联反馈组成,例题,例题3。1 求系统的动态性能指标，概略绘制单位阶跃响应曲线,解：1）写出闭环传递函数

8、 C(s)/R(s)=,2) 整理为标准形式后，求出特征参数（阻尼比，自然频率）,3）代入公式计算性能指标,3。3 系统性能,例题3.1解题过程,3。3 exp.1,2阶系统单位阶跃响应,例题,解：,例题3.2 开环传递函数G(s)=k/s(s+2), 计算当k=12和6时的各项性能指标。比较k减小一半时，系统的动态性能有哪些变化？,闭环增益？,例题,解：,例题3.2 开环传递函数G(s)=k/s(s+2), 计算当k=12和6时的各项性能指标。比较k增大时，系统的动态性能有哪些变化？,K增大，系统的上升时间减小，超调量增大。 系统的响应速度加快，但振荡幅度增大、频率加快,例题3.2 的曲线,

9、R(s) C(s),解：,若G(s)=6/s(s+2),例题,例题(教材例5.1)3.3 已知某系统的结构和单位阶跃响应的Mp5%， tS4秒，求系统的参数。,指标与标准参数的关系,系统参数与标准参数的关系,例题,例题(教材例5.1)3.3 已知某系统的结构和单位阶跃响应的Mp5%， tS4秒，求系统的参数。,系统参数与指标的关系,3.3 二阶系统的时域分析,特征参数,等阻尼线,极点位置,关系,3。3 系统性能,设调节时间2,超调 5% 画出闭环极点的可能区域,性能指标,极点位置,等调节时间线,等超调量线,3.3 二阶系统的时域分析,5 过（临界）阻尼二阶系统的动态性能指标计算,调节时间ts,

10、当 为不同值时，可解出无因次调节时间 。其曲线为：,指示仪表和显示仪表系统,3.3 二阶系统的时域分析,过（临界）阻尼二阶系统的动态性能指标计算,当阻尼比远远大于1时，T14T2时，过阻尼二阶系统等效为时间常数T1的一阶系统，其ts=4T1. ts=3T1.,3.3 二阶系统的时域分析,5 二阶系统的单位斜坡响应,3.3 二阶系统的时域分析,观察它们的异同,一阶系统的单位斜坡响应,稳态波形近似,3.3 二阶系统的时域分析,误差,典型二阶系统可以跟踪速率函数,但有常值稳态误差.,减小稳态误差的途径： 可减小阻尼比、增大自然频率,6 二阶系统性能的改善,R(s) C(s),E(s),开环增益,3.

11、3 二阶系统的时域分析,例题3。4 已知某系统的结构和单位阶跃响应曲线下如图所示，求系统的 动态性能指标和系统参数。,3。3 exp.4,2阶系统单位阶跃响应,3.3 二阶系统的时域分析,6 二阶系统性能的改善,开环增益,系统快速性、准确性与 系统阻尼性的矛盾,1）误差的比例-微分控制,R(s) C(s),比例控制,1）误差的比例-微分控制,R(s) C(s),E(s),开环增益,6 二阶系统性能的改善,1）误差的比例-微分控制,设：,则：,观察在输入r(t)作用下,输出c(t)的形式.,6 二阶系统性能的改善,1）误差的比例-微分控制,从闭环系统的零极点进行分析,6 二阶系统性能的改善,1）

12、误差的比例-微分控制,闭环传递函数,-a,结论：,零点的微分作用说明如下：Td=1/a,6 二阶系统性能的改善,2）输出量的速度反馈控制,开环传函,开环增益,6 二阶系统性能的改善,两种控制方案的比较,微分控制的附加阻尼产生于系统输入端误差信号的变化率. 为系统提供了附加的实零点. 在相同的阻尼程度下, 比例微分控制产生更大的超调量. 当输入端高频噪声严重时,不宜采用比例微分控制.输出速度反馈控制无需增设放大器.,3.4 高阶系统的时域分析,3.4.1 高阶系统的阶跃响应,闭环系统的传递函数,系统的零极点可以是负实数或具有负实部的共轭复数,3阶系统的时域分析,3阶系统的时域分析,3阶系统的传递

13、函数,当第三个实极点的位置比复极点的实部大10倍以上，三阶系统的动态特性可用一对复极点的2阶系统来近似。,结论：,第三个实极点增加了系统的阻尼。,一个具有实零点的2个极点的系统,a=1, 2,结论：,零点的微分作用说明如下：,第三章习题作业p148,第一次 3-1 3-2 3-3 第二次 3-4 3-5 3-6 第三次 3-7 3-8 3-9,3.5 线性系统的稳定性分析,观察：增益(Gain)分别为1，4， 7时的积分器的初始值为非零时的响应。,3.5.1 初始条件下的运动,3.5 线性系统的稳定性分析,摆的稳定性：平衡位置（在无外力作用时，位置不变(dotx=0)）,系统在平衡位置受到扰动

14、后偏离位置，相对平衡位置的运动。,3.5.1 稳定的概念和定义,平衡位置（状态）的稳定性：它描述系统在受到外界的干扰，偏离了平衡位置，在干扰除去之后，系统是否能回到平衡位置的能力。 1 系统的运动随时间离平衡位置越来越远； 不稳定 系统的运动随时间离平衡位置越来越近，无穷时回到平衡状态。稳定 系统的运动随时间在平衡位置附近振荡。 临界稳定,稳定性,系统结构与参数,系统的脉冲响应,3.5.1 稳定的概念和定义,注意： 1 稳定性是系统自身的固有特性，与外输入的大小、形式无关。 本文所讨论的稳定性是渐进稳定性，临界稳定不是渐进稳定的。,3.5.2 线性系统稳定条件,扰动作用前，系统位于平衡点0，即

15、坐标原点（输入为零，输出也为零）。设扰动信号为理想的脉冲信号，系统的扰动响应就是脉冲响应g(t)。,等于零：稳定 不等于零：不稳定,3.5.2 线性系统稳定条件,Resi0时，g(t) 0,Resi=0时，g(t) 有界,Resi0时，g(t),3.5.2 线性系统稳定条件,反馈系统稳定的充分必要条件是系统传递函数的所有极点均有负的实部。,系统稳定的充分必要条件是系统传递函数的所有极点位于s平面的左半开平平面。,S平面,3.5.2 线性系统稳定条件,解：D(s)=1+G(s)H(s), D(s)=0 即 s3+s2+s+k=0, K=1 s3+s2+s+1=0, Roots -1 ,-1+j

16、,-1 j 系统稳定,k=10, 系统稳定否,例如：单位负反馈系统的 求 K=1时系统的稳定性。,3.5.3 稳定判据,稳定的必要条件,可推出特征根具有负的实部的必要条件是各系数同号且不缺项。,3.5.3 稳定判据,例如,3.5.3 稳定判据,特征方程： ansn+ an-1sn-1+ an-2sn-2+ a1s+ a0=0 劳斯表： Sn an an-2 an-4 an-6 sn-1 an-1 an-3 an-5 an-7 sn-2 (an-1 .an-2 - an . an-3)/ an-1 S S0 a0,劳斯判据,3.5.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,特征方程： ansn+

17、 an-1sn-1+ an-2sn-2+ a1s+ a0=0 劳斯判据：D(s)的正实部根的数目同劳斯表第一列中符号变化的次数相等。 系统稳定的充分必要条件为，劳斯表第一列元素的符号不变化。 4种情况区别对待。,3.5.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例1：特征方程：a2s2+a1s+a0=0 列劳斯表： s2 a2 a0 s1 a1 0 s0 a0,系统稳定的条件为劳斯表的第一列大于零，即 ai0,例2：系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=10/s(s+1)(s+2),判断其稳定性。 解：1)写出特征方程 1+G(s)H(s)=0 2)列劳斯表： 3) 判断并得出结论,3.5.

18、3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例3：特征方程：s4+2s3+3s2+4s+5=0 列劳斯表： s4 1 3 5 s3 2 4 0 s2 1 5 s -6 s0 5,劳斯表第一列元素变号两次，系统有两个正实部根，系统不稳定。,3.5.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例3：特征方程：s5+2s4+2s3+4s2+11s+10=0 列劳斯表： s5 1 2 11 s4 2 4 10 s3 (0)e （22-10）/2=6 0 s2 c 10 s1 d s0 10 c= (4e-12)/e -12/e0,略,3.5.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例4：特征方程：s4+

19、s3+s2+s+k=0 列劳斯表： s4 1 1 k s3 1 1 0 s2 (0)e k 0 s1 (e-k)/e 0 0 s0 k,劳斯表第一列元素变号两次，系统有两个正实部根，系统不稳定。,3.5.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例5：特征方程：s4+s3-3s2-s+2=0 列劳斯表： s4 1 -3 2 s3 1 -1 s2 -2 2 s1 0 0 s0 2,劳斯表中出现全零行,3.5.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,例5：特征方程：s4+s3-3s2-s+2=0 列劳斯表： s4 1 -3 2 s3 1 -1 s2 -2 2 s1 -4 0 s0 2,劳斯表中出

20、现全零行,构造辅助多项式F(s) F(s)=-2s2+2 求导：F(s)=-4s,系统有两个正实部根。关于坐标原点对称的根，可由辅助方程求得。,F(s)=0,s=+1,-1,3.5.3 相对稳定性,s平面,s,z,a,s=z-a, a0 原特征方程 D(s)=0 现特征方程 D(z)=0,坐标变换,3.5.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,特征方程： s3+ 14s2+40s+40k=0 劳斯表： S3 1 40 s2 14 40k s1 (14*40-40k)/14 S0 40k,(14*40-40k)/140 40k0,稳定的条件为0K14,引入：s=z-1 特征方程：Z3+11z

21、2+15z+40k-27=0,稳定的条件为 0.675K4.8,3.5.3 Routh-Hurwitz 稳定判据,劳斯表： S4 1 8 -48 S3 7(1) -28(-4) 0 s2 12(1) -48(-4) s1 0(2) 0 S0 4,系统不稳定 (-2, 2, -3, -4),辅助多项式F(s)=s2-4 F(s)=2s 解F(s)=0, s=2,-2,某系统特征方程： s4+7s3+8s2-28s-48=0，判断系统的稳定性，若不稳定求出不稳定的极点。,6。2 Routh-Hurwitz 稳定判据,P6.11 某反馈系统的特征方程为： s3+（1+k)s2+10s+(5+15k)

22、=0 并且k0,确定系统稳定时的k的取值 范围。求临界稳定时的k值及系统的虚根。 劳斯表：,稳定条件 0k1, K=1,s=jsqrt(10) s3=-20,3.5.3 结构不稳定及改进的方法,1):反馈包围开环传递函数G(s)=k/s(T1s+1)(T2s+1) G(s)=k/s2(T1s+1)(T2s+1) 2）：加比例微分后反馈包围,特征方程： T1T2s3+(T1+T2)s2+s+k=0 T1T2s4+(T1+T2)s3+s2+ks=0 *T1T2s4+(T1+T2)s3+s2+kds+k=0,k1/s,kds+k,1/s2(T1s+1)(T2s+1),3.6 线性系统的误差分析,定义

23、：1） 系统的误差=期望输出-实际输出 一般情况下，期望输出等于输入，所以误差 e(t)=r(t)-C(t) 或 E(s)=R(s)-C(s),Y(s)=YR(S)+YN(s),G1(S),H(S),G2(S),R(S) E(s) N(s) C(s),系统的外作用包括 有用的输入信号和干扰信号,E(s)=ER(S)+EN(s),3.6.1 误差的基本概念,定义2 ：系统的误差定义为系统结构图中的e(t) 或E(s) 误差 E(s)=R(s)-H(s)C(s) 单位反馈（H(s)=1)时,两种定义相同。,误差e(t)是时间的函数。,3.6.1 误差的基本概念,误差=误差的瞬态分量+误差的稳态分量

24、,终值定理：,稳态误差=误差的稳态分量,条件为：sE(s)在虚轴和右半平面是解析的。,3.6.1 误差的基本概念,如何选择控制器减小输入信号引起的稳态误差,抑制扰动对系统的影响，,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,H(S),G(S),R(S) E(s) C(s),讨论给定输入信号作用下产生 的稳态误差,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,K为系统的开环增益; 为系统的型数,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,1 阶跃输入：r(t)=A.1(t), R(s)=A/s,静态位置误差系数,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,斜坡输入：R(s)=B/s2

25、, r(t)=Bt t0,设：,静态速度误差系数,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,斜坡输入：R(s)=C/s3, r(t)=C/2t,设：,静态加速度误差系数,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,输入：r(t)=A+Bt+C/2t2,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,课堂练习：系统如图，求当输入r(t)=3t时的稳态误差。,解：1 判断系统的稳定性 写出特征方程,R(S) E(s) C(s),劳斯表： S3 1 3 s2 4 2 s1 5/2 S0 2,系统稳定,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,课堂练习：系统如图，求当输入r(t)=3t2

26、时的稳态误差。,2 写出误差E(s)。可直接用静态误差系数法求取。,R(S) E(s) C(s),3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,例3-6 某单位反馈系统的开环传递函数如下，求当输入r(t)时的稳态误差。,解：求三个静态误差系数,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,so,3.6.3 扰动作用下的稳态误差计算,首先关注误差的定义： 第一种定义下： 期望的输入为零 E(s)=-C(s),3.6.3 扰动作用下的稳态误差计算,第二种定义下： 结构图中的E(s),若,3.6.3 扰动作用下的稳态误差计算,例题3-7 温度控制系统利用加热器来克服户外的低温，以减小电路温度的变化幅度。 温度控制系

27、统的框图如所示，环境温度的降低可以看作一个负的阶跃干扰信号N(s), 电路的实际温度为C(s)。求干扰N(s)对输出的稳态影响.,电路,加热控制,3.6.3 扰动作用下的稳态误差计算,解：,3.6.3 扰动作用下的稳态误差计算,解：,3.6.4 提高系统控制精度的措施,例题：确定G1(s)的传递函数，使系统在单位斜坡作用下无稳态误差。,解：,当G1(s)=0，斜坡函数作用下的稳态误差为？,3.6.4 提高系统控制精度的措施,3.6.4 提高系统控制精度的措施,若,判断系统的稳定性,劳斯表： S3 1 3 s2 2 5 s1 1/2 S0 5,系统稳定,3.6.4 提高系统控制精度的措施,当 a=4,3.6.4 提高系统控制精度的措施,选：,则，ess=0,当 G1(s)=bs+a,3.6.4 提高系统控制精度的措施,例题：教材