解析几何中离心率问题详细总结

1、圆锥曲线中的离心率问题圆锥曲线中的离心率问题 1过椭圆1(ab0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线，与椭圆的另一个交点为 M， x2 a2 y2 b2 与 y 轴的交点为 B，若 AMMB，则该椭圆的离心率为_ 2.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且 BFx轴， 直线AB交y轴于点P若2APPB ，则椭圆的离心率是 3.在椭圆内有一点，且，则椭圆离心率取值范围)0( , 1 2 2 2 2 ba b y a x P 21 PFPF 4.过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的

2、两条渐近线的交点分别为,B C若 1 2 ABBC ，则双曲线的离心率是网 5.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D， 且BF2FD uu ruur ，则C的离心率为 . 6.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c，若椭圆上存 在一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F ，则该椭圆的离心率的取值范围为 7.椭圆 22 22 1() xy ab ab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在 点P 满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 8设 A，F

3、分别是椭圆1(ab0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点 x2 a2 y2 b2 P，使得线段 PA 的垂直平分线恰好经过点 F，则该椭圆的离心率的取值范围是 _ 9以椭圆1(ab0)的左焦点 F(c,0)为圆心，c 为半径 的圆与椭圆的左准线交 x2 a2 y2 b2 于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是_ 10已知 F1、F2为椭圆+=1(a0)的左、右焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， x 2 a 2 y2 b2 BF1 2，则椭圆的离心率的取值范围是_ BF2 1 2F1F2 11在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以O为圆心，1 2 2 2 2 b y a x )0( bac2

4、 为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= a 0 , 2 c a e 12 设椭圆的右顶点为 A，若椭圆上存在一点 P，使1 2 2 2 2 b y a x )0( ba OPA=（O 为原点） ，则椭圆的离心率的取值范围为 2 13 已知为椭圆的左右焦点，抛物线以为顶点，为焦点，设为椭圆与抛物 21,F F 1 F 2 FP 线的一个交点，椭圆离心率为，且,则的值 e 21 ePFPF e 14 A，B 是双曲线 C 的两个顶点，直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 P，Q，且与实轴 垂直，若，则双曲线 C 的离心率= 。0 AQPBe 15已知椭圆的焦点分别为，若该椭圆上存在一

5、点1 2 2 2 2 b y a x )0( ba 1 F 2 F P，使得，则椭圆离心率的取值范围是 0 21 60 PFF 16.设椭圆 c: 1长轴的两端点分别为 A、B,若椭圆上存在一点 M 2 2 x a 2 2 y b (0)ab 使AMB,则该椭圆离心率 e 的值范围 120 1 解析：A 点坐标为(a,0)，l 的方程为 yxa，所以 B 点的坐标为(0，a)，故 M 点的 坐标为，代入椭圆方程得 a23b2，c22b2，e. ( a 2， a 2) 6 3 2【解析】对于椭圆，因为2APPB ，则 1 2,2 , 2 OAOFace 21 世纪教育网 3 【说明说明】本题意在

6、希望学生通过直角三角形直角顶点的轨迹是一个以斜边为直径的圆的 知识点，获得当椭圆内点运动到轴上时得到椭圆的半焦距和短半轴长之间的大Pybc 小关系，进而得到的结论。 2 2 , 0 2 1 2 22222 eeccba 4【解析】对于,0A a，则直线方程为0 xya，直线与两渐近线的交点为 B，C， 22 ,(,) aabaab BC ab ababab ，则有 22 2222 22 (,), a ba babab BCAB ababab ab ， 因 22 2,4,5ABBCabe 5【解析 1】如图， 22 |BFbca, 作 1 DDy轴于点 D1,则由BF2FD uu ruur ，得

7、 1 |2 |3 OFBF DDBD ,所以 1 33 | 22 DDOFc , 即 3 2 D c x ,由椭圆的第二定义得 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由| 2|BFFD,得 2 3 2, c aa a 3 3 e 6 解法 1，因为在 12 PFF中，由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知，得 1211 ac PFPF ，即 12 aPFcPF 设点 00 (,)xy由焦点半径公式，得 1020 ,PFaex PFaex则 xO y B F 1 D D 00 ()()a aexc aex 记得 0 ()(1) ()(1) a

8、 caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 (1) (1) a e xaa e e 则，整 理得 2 210,ee 解得2121(0,1)eee 或，又，故椭圆的离心率 ( 21,1)e 解法 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由椭圆的定义知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即，由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 ,20, a PFacaccca ca 则既所以 2 210,ee 以下同解析 1. 7 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与 A点的距离相等. 而|FA| 22 ab c cc |

9、PF|ac,ac于是 2 b c ac,ac 即 acc2b2acc2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e(0,1) 故e 1,1 2 8 解析：根据题意知，点 A(a,0)，F(c,0)，右准线 x，所以 acc，即 2c2 a2 c a2 c aca20，故 2e2e10，又 0e1，所以椭圆的离心率的取值范围是. 1 2，1) 9 解析：由条件得椭圆的左准线方程为 x，从而由c 得 a2 y/（x-a）*y/x=-1,即 x2+y2-ax=0 (1) 又 b2x2+a2y2-a2b2=0 (2) 由 (1)(2)得 x=ab2/a2-b2

10、a a2bo)上的一点 p 使角OPA=90 那么以 0 为圆心,c 为半径的圆与椭圆有交点,只要 c 比短轴大就可以了,因为圆心角是 90 c=b1e=根号 2/2 13 解：如图：过作椭圆的左准线的垂线，垂足为则,所以PT 2 11 PF PF e PT PF 2 PFPT 所以椭圆的左准线即为抛物线的准线 所以,即，所以， 211 FFAF cc c a 2 2 22 3ca 3 1 2 2 2 a c e 3 3 e 14 分析：直线 l 的任意性，取特殊情况，例如，这样可以得到结果。当然我们应用cx 多项式恒等于 0，可以得到对应的系数为 0，从而得到一个关于基本量的方程，再解出比

11、值的值。)(e a c 解：不妨设双曲线 C 的方程，则， 1 2 2 2 2 b y a x )0 , 0 ( ba) 0 , ( aA ) 0 , (aB 根据已知条件，设，所以，),(yxP),(yxQ ),(yxaPB ),(yaxAQ 由，得，又，所以，0 AQPB0 222 yxa1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 22 b y a ya 即恒成立，所以，得，所以，0) 11 ( 2 22 y ba 0 11 22 ba 22 ba 222 aca 所以，从而。 22 2ca 2 e 15 分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当当P为椭圆的短轴的顶点B1（或B2）

12、时 F1PF2最大（需要证明） ，从而有 0F1PF2F1 B1F2（或 0 211 60 FBF ） ，此时离心率，当椭圆比此时更圆，则就不存在点 0 221 60 FBF 2 1 60cos 0 e P，使得了，根据条件可得F1 B1F260，易得 ，故 e1。 ；如 0 21 60 PFF c a 1 2 1 2 果我们考虑，通过设椭圆点，利用椭圆本身的范围，也可以求出该椭圆离心率),(yxP 的取值范围。e 解法 1：首先证明，在三角形中，由余弦定理， 21F PF 21 2 21 2 2 2 1 21 2 cos PFPF FFPFPF PFF 2 21 2 21 2 21 2 1

13、2 1 PFPF FFPFPF 2 22 2 a ca 当且仅当时，等号成立，即当M与椭圆的短轴的顶点（或）重合时 21 PFPF 1 B 2 B 最大。 21PF F 余同分析。 解法 2：设点。由椭圆第二定义，所以，),(yxPe x c a PF 2 1 e x c a PF 2 2 ，又，所以，)( 2 1 x c a ePF )( 2 2 x c a ePF a c e exaPF 1 ，在三角形中，由余弦定理，exaPF 221F PF ， 0 21 2 2 2 1 2 21 60cos2PFPFPFPFFF 代入并整理得，而，所以， 2 22 2 3 4 e ac x 22 0a

14、x 2 2 22 3 4 0a e ac ，又，所以。1 3 14 0 2 2 e e 10 e1 2 1 e 16 解：设 M (x,y) A(-a ,0) , B(a ,0) ， 又AMB AM k y xa BM k y xa 120 tan，即()0 ()120 2 1 yy xaxa y xa A 2 2ay xya 3 2 xya 2ay 又1, 代入 ()，得 2 2 x a 2 2 y b 2 2 2 (1) y xa b 22 230ab yc y , 0, y y 2 2 2 3 ab c yb 2 2 2 3 ab c b 即 4, 2224 ()3aacc 42 3440ee (2 舍去) ，1 2 e 2 3 2 ee 6 3 e 6 3 12设椭圆的方程为，过右焦点且不与轴垂直的直线与椭圆交于， 22 22 1(0) xy ab ab xP 两点，若在椭圆的右准线上存在点，使为正三角形，则椭圆的离心率的QRPQR 取值范围是 椭圆 x2/a2+y2/b2=1 的右焦点 F(c,0),右准线 l:x=a/c 取线段 PQ 中点为 M 过 P,Q，M 分