高中数学 学业分层测评20（含解析）北师大版选修2-1

1、学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线【解析】点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，即点P到直线x2的距离与它到点(2,0)的距离相等，符合抛物线的定义，故点P的轨迹是抛物线【答案】D2已知双曲线方程为x21，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L()A4条B3条C2条D1条【解析】因为双曲线方程为x21，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0

2、)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条【答案】B3已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1Cx2Dx2【解析】抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px2p2pyp2，所以y22pyp20，所以p2，所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1.【答案】B4过双曲线2x2y22的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l的条数为()A1B2 C3D4【解析】由2x2y22得x21，a21，b22，当直线l与两支相交时需|

3、AB|2a2.由|AB|4可得直线l有两条；当直线l只与右支相交时，需|AB|4，由|AB|4可得直线l只有1条综上，符合题意的直线l共有3条【答案】C5设双曲线1的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.B5C.D【解析】设双曲线的渐近线方程为ykx，这条直线与抛物线yx21相切，联立方程得整理得x2kx10，则k240，解得k2，即2，故双曲线的离心率e.【答案】D二、填空题6直线yx4与双曲线x2y21的交点坐标为_【解析】联立方程组得消去y得x2(x4)21，则x，代入yx4得y.故直线yx4与双曲线x2y21的交点坐标为.【答案】7已知直线l过点P(0,2

4、)且与椭圆x22y22只有一个公共点，则直线l的方程为_【导学号：32550096】【解析】当直线l斜率不存在时，方程为x0，与椭圆x22y22有两个公共点，舍去；当直线l斜率存在时，设方程为ykx2，代入椭圆方程得x22(kx2)22，整理得(2k21)x28kx60，由64k246(2k21)0，解得k.【答案】yx2或yx28已知抛物线y24x，过点Q(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_【解析】设直线AB的方程为tyx4(tR)，由得x2(84t2)x160，(84t2)241664t216t40，x1x284t28，yy4(x1x2)

5、32.【答案】32三、解答题9已知双曲线C：2x2y22与直线l上一点P(1,2)求直线l的斜率k为何值时，l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点？【解】设直线l的方程为y2k(x1)，代入C的方程，并整理得(2k2)x22(k22k)xk24k60，当k时，方程组有唯一解当k时，由0，得k.所以当k或k或k不存在时，l与C只有一个交点如图，当k或k或k时，l与C有两个交点当k时，l与C无交点10已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45的直线l与椭圆相交于A，B两点(1)求AB的中点坐标；(2)求ABF2的周长与面积【解】(1)由1，知a，b，c1.F1(1,0)，F2(

6、1,0)，l的方程为yx1，联立消去y得5x26x30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1x2，x1x2，x0，y01(或y0x011)，中点坐标为M.(2)由题意知，F2到直线AB的距离d，|AB|，SABF2|AB|d，ABF2的周长4a4.能力提升1曲线x24y252与x2y237的交点个数是()A4B3C2D1【解析】将方程x24y252与x2y237相减可得3y215，则y有两个值，依据任何一个曲线方程可知y的一个值对应两个x值，因此，两曲线共有4个交点【答案】A2(2014全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，

7、B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.BC.D【解析】由已知得F，故直线AB的方程为ytan 30，即yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立将代入并整理得x2x0，x1x2，线段|AB|x1x2p12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d.SOAB|AB|d12.【答案】D3已知双曲线x21，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为_【解析】法一：显然直线AB存在斜率，设AB斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB方程为y1k(x2)，由得(3k2)x2(4k22k)x4k24k40，x1x24，k6.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，y1y22，且x1，x1.两式相减得(x1x2)(x1x2).显然x1x20，6，即kAB6.【答案】64已知点A(1,2)在椭圆1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P使|PA|2|PF|最小【解】a216，b212，c24，c2