高中数学 第一章 导数及其应用阶段通关训练 新人教A版选修2-2

1、第一章 导数及其应用阶段通关训练(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2017永安高二检测)曲线y=x3在点x=2处的切线方程是()A.12x-y-16=0B.12x+y-32=0C.4x-y=0D.4x+y-16=0【解析】选A.由题意,可对函数y=x3进行求导得y=3x2,当x=2时,y=23=8,y=322=12,所以切线方程为y-8=12(x-2),即12x-y-16=0.2.在下面所给图形阴影部分的面积S及相应的表达式中,正确的有()A.B.C.D.【解析】选D.应是S=f(x)-g(x)dx,应是S=2dx-(2x-8)dx,和正确.【补偿训练】曲线y=x2+

2、2x与直线x=-1,x=1及x轴所围图形的面积为()A.2B.C.D.【解析】选A.S=-(x2+2x)dx+(x2+2x)dx=-+=+=2.3.当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是()A.-5,-3B.C.-6,-2D.-4,-3【解题指南】讨论x的范围利用分离参数法,转化为最值问题.【解析】选B.当x(0,1时,得a-3-4+,令t=,则t1,+),a-3t3-4t2+t,令g(t)=-3t3-4t2+t,t1,+),则g(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),显然在1,+)上,g(t)0,g(t)单调递减,所以g(t)max=g(1)

3、=-6,因此a-6;同理,当x-2,0)时,得a-.由以上两种情况得-6a-,显然当x=0时也成立.故实数a的取值范围为.4.设f(x)=(其中e为自然对数的底数),则f(x)dx的值为()A.B.C.D.【解析】选A.f(x)dx=x2dx+dx=x3+lnx=-0+ln e-ln1=+1=.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.联立所以O(0,0),B(1,1),所以S阴影=(-x)dx=(-)=-=,所以P=.6.(2017沈阳高三检测)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数,f(x)是f(x)的

4、导函数,当x0,时,0f(x)0,则函数y=f(x)-sinx在-2,2上的零点个数为()A.2B.4C.5D.8【解析】选B.因为当x(0,)且x时,f(x)0,所以当x时,f(x)0.y=f(x)-cosx,当x时,y0,y=f(x)-sinx为增函数,计算可知:x=0时,y0;x=时,y0;x-,0)时,y0,故y=f(x)-sinx在-,上有且只有2个零点,根据周期性可知:y=f(x)-sinx在-2,2有且只有4个零点.二、填空题(每小题5分,共20分)7.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-,+)内单调递减,则实

5、数m=_.【解析】若f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,则m2-4=0,m=2.若g(x)=-3x2+4x+m0恒成立,则=16+43m0,解得m-,故m=-2.答案:-28.计算定积分(+2x)dx=_.【解析】dx的几何意义表示单位圆面积的四分之一,所以dx=,2xdx=x2=1,所以原定积=dx+2xdx=+1.答案:+19.(2017永安高二检测)曲线f(x)=x3-x+3在点P(1,3)处的切线方程是_.【解析】设切线方程为y-3=k(x-1),因为f(x)=3x2-1,所以当x=1时,f(x)=2,即k=2,所以y-3=2(x-1),整理得2x-y+1=0.答案:

6、2x-y+1=010.(2016全国卷)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=_.【解析】y=lnx+2的切线为:y=x+lnx1+1(设切点横坐标为x1),y=ln(x+1)的切线为:y=x+ln(x2+1)-(设切点横坐标为x2),所以解得x1=,x2=-,所以b=lnx1+1=1-ln2.答案:1-ln2【补偿训练】已知等差数列an的前n项和为Sn,且S10=(1+2x)dx,S20=17,则S30等于()A.15B.20C.25D.30【解析】选A.S10=(1+2x)dx=(x+x2)=12,又因为an为等差数列,所以2(S20-S10

7、)=S10+S30-S20.所以S30=3(S20-S10)=3(17-12)=15.三、解答题(共4小题,共50分)11.(12分)(2017安庆高二检测)求由曲线xy=1及直线x=y,y=3所围成平面图形的面积.【解析】作出曲线xy=1,直线x=y,y=3的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.求交点坐标:由得故A;由得或(舍去),故B(1,1);由得故C(3,3),故所求面积S=S1+S2=dx+(3-x)dx=(3x-lnx)+=4-ln3.12.(12分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标.(2)若直线ll1,

8、且l也过切点P0,求直线l的方程.【解析】(1)由y=x3+x-2,得y=3x2+1.由已知令3x2+1=4,解得x=1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.又因为点P0在第三象限,所以切点P0的坐标为(-1,-4).(2)因为直线ll1, l1的斜率为4,所以直线l的斜率为-.因为l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),所以直线l的方程为y+4=-(x+1),即x+4y+17=0.13.(13分)在区间0,1上给定曲线y=x2,试在此区间内确定点t的值,使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.【解析】S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面

9、积,即S1=tt2-x2dx=t3.S2的面积等于曲线y=x2与x轴,x=t,x=1围成的面积减去矩形面积.矩形边长分别为t2,(1-t),即S2=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+.所以阴影部分的面积S为S=S1+S2=t3-t2+(0t1).因为S(t)=4t2-2t=4t=0,得t=0,t=.当t=时,S最小,所以最小值为S=.14.(13分)已知函数f(x)=-ax2+(1+a)x-lnx(aR).(1)当a0时,求函数f(x)的单调递减区间.(2)当a=0时,设函数g(x)=xf(x),若存在区间m,n,使得函数g(x)在m,n上的值域为k(m+2)-2,k(n+2)-2,求实数

10、k的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-(a0).当a(0,1)时,1.由f(x)或0x1.所以当x(0,1),x(,+)时,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递减区间为(0,1),(,+).当a=1时,恒有f(x)0,所以f(x)单调递减,所以f(x)的单调递减区间为(0,+).当a(1,+)时,1.由f(x)1或0x0,所以g(x)g()0在上恒成立.所以g(x)在上单调递增.由题意,得原问题转化为关于x的方程x2-xlnx=k(x+2)-2在上有两个不相等的实数根问题.即方程k=在上有两个不相等的实数根.令函数h(x)=,x.则h(x)=.令函数p(x)=

11、x2+3x-2lnx-4,x.则p(x)=在上恒有p(x)0.故p(x)在上单调递增.因为p(1)=0,所以当x时,有p(x)0即h(x)0即h(x)0,所以h(x)在(1,+)单调递增.因为h()=+,h(1)=1,h(10)=6h(),所以k的取值范围为.【能力挑战题】(2016全国卷)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解题指南】(1)求导,根据导函数的符号确定,主要根据导函数零点来分类.(2)借助第一问的叙述,通过分类讨论确定a的取值范围.【解析】(1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).()设a0,则当x(-,1)时,f(x)0,所以f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.()设a-,则ln(-2a)0;当x(ln(-2a),1)时,f(x)0,所以f(x)在(-,ln(-2a)和(1,+)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.若a1,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时,f(x)0;当x(1,ln(-2a)时,f(x)0,则由(1)知,f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b0且b(b-2)+a(b-1)2=a0,所以f(x)有