解析单位1和部分的概念以及在分数乘除法中的应用

1、再议“单位1”与“部分” 山东滨州西海小学王训彬2013年12月16日近些年以来，小学数学的分数部分，已经不再提整体（整体1）与部分这两个概念了。其中整体（整体1）这个概念已经被单位“1”这个概念所取代，而部分这个概念则是彻底去掉了。因为说到部分，人们往往就自然而然的认为，部分小于整体。对小学生来说，恐怕更是如此。可是当时分数这个地方的部分概念，却不是如此，比如在语句“甲等于乙的”中，乙是单位1，甲是部分，可这个部分则是大于单位1的。也许正是因为与学生的固有认识格格不入，这一概念被数学家抛弃了。然而，对于学过单位1与部分概念的我来说，却忘不了这两个概念在解决分数乘除法所表现出的巨大灵活性和有效

2、性！因此在今天的教学中我还是不断地试图向学生渗透这两个概念。一、 单位1今天教材中是这样定义单位1的：一个物体或多个物体组成的一个整体，可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位1。从定义可以看出，单位1，仍是表示一个整体，就是以前的整体1。之所以改称单位1，只不过是因为现在没有了部分的概念，单单突出一个整体（整体1）的概念，显得太不自然！如何判断那个量是单位1单位1这一概念贯穿分数教学始终，是深入理解分数的定义，探索分数四则运算不可或缺的手段。可以说活不夸张地说，这一概念的重要性一点也不亚于分数本身的概念。既然这样我们就需要知道如何判断那个量是单位1。这还要通过分数的定义来分析，教材是这样定义分

3、数的：把单位1等分成若干份，表示其中一份或几份的数叫做分数。从定义可以看出那个被等分的量就是单位1。根据这点我们不难判断出：1、 提到“谁”的几分之几，“谁”就是单位1比如在语句“乙的”中，分明说“乙”的 ，所以乙是单位1。下面我们详细分析一下：根据分数的定义，我们不难看到语句所表达的意义是把乙等分成2份，表示其中的一份，因此被等分的对象是乙，所以乙是单位1。再比如在语句“乙等于丙的”中，明明说“丙”的，因此丙是单位12、 在比较语句中，比“谁”，“谁”是单位1比如在语句“甲比乙大”中，说的是比“乙”，因此“乙”是单位1。而在语句“乙比甲小”中，说的是比“甲”，因此“甲”是单位1。为什么呢，我

4、们对语句“甲比乙大”分析一下，不难看出这句话的完整意义是说“甲比乙大乙的”，既然是“乙”的，当然乙是单位1。3、 一个带单位的分数量，一个单位就是它的单位1比如：语句“千克”中，量千克的单位是千克，因此1千克就是该量的单位1。因为千克表示的是“1千克的”，既然是“1千克”的，当然1千克就是单位1。二、 部分虽然今天还把这一概念称为“部分”，不大恰当，但我实在找不到更有意义的词来称呼它，所以只好继续沿用这一过时的叫法了。现在我已找不到部分的确切定义了，但我们可以这样理解它：如果一个量是某一个单位1的几分之几，这个量就是这个单位1的一个部分。比如在语句“乙的”中，我们已经知道乙是单位1，那么量“乙

5、的”就可以理解为“单位1的”,所以量“乙的”就是单位1-乙的一个部分，而且还是一个大于单位1的一个部分！另外任何单位1也可以看做他自身的一个部分，比如上面的乙这个量，就可以看做乙的一分之一，所以此时的乙既是单位1，又是部分！因此从这个角度来说，单位1也是一个特殊的部分。因此部分可以小于，也可大于，甚至可以等于单位1。另外，同一个单位1的两个部分的和，仍是这个单位1的部分！比如乙是甲的，丙是甲的，则易知乙与丙的和就是甲的，所以从我们上面对部分的理解就可以看出乙与丙的和还是甲的一个部分。类似的还有，同一个单位1的两个部分的差，仍是这个单位1的部分。这里就不在详细讨论这一结论了。感兴趣的朋友可以仿照

6、对“同一个单位1的两个部分的和，仍是这个单位1的部分”的分析，自己来分析。三、 单位1与部分的两个属性这两个量可能与其他量不同，因为它们有两个属性1、 他们都有自己的实际大小，比如在语句“乙是6，甲是8，则乙是甲的”中，“乙”这个量是部分，它的实际大小是6，甲是单位1，它的实际大小是8。2、 它们都有自己的相对大小（占单位1的几分之几）比如上例中甲是单位1，它占自身的是，乙是部分，占单位1的。四、 单位1以及部分与分数乘除法的关系也许正是这两个概念的两个属性，才使得它们在分数乘除法中有着极其灵活的应用。为此我们首先看这样一个例子：第二小组有6人，是第一小组的，第一小组有多少人？这是青岛版六年级

7、上册P28页的一个例子，也是分数除法的一种典型例题。解：设第一小组有x人。X=6X=6且慢，我们不要急着做下去，我们用上面的知识分析一下。问法：第一小组有多少人？显然是要计算第一小组的人数，我们找到与第一小组的人数有关的条件，那就是“第二小组有6人，是第一小组的”。可以看到第一小组的人数是单位1，因此本题就是一个求单位1的实际大小的问题。第二小组显然是部分，它的实际大小是6人，而则是这个部分的相对大小，即该部分占单位1的分数。而X=6就揭示了单位1的算法，下面我们把x，6，, 对应的意义对应写在X=6的下面，看看X=6到底是什么意义。X = 6 单位1的实际大小 = 部分的实际大小 该部分占单

8、位1的分数由此，我们看到了单位1实际大小的算法：只要知道该单位1某个部分的两个属性，就可以利用这部分的实际大小属性该部分的相对大小属性（即该部分占单位1的分数）计算出来！由此我们得到了第一个公式：1、 单位1的实际大小 = 部分的实际大小 该部分占单位1的分数简述为：算单位1用除法！将公式1变形一下，就可以得出部分的求法：2、 部分的实际大小=单位1的实际大小该该部分占单位1的分数简述为：算部分用乘法！将公式变形一下，也可以得出该部分占单位1的分数的算法：3、 部分占单位1的分数=部分的实际大小单位1的实际大小从公式3可以看出算一个数占另一个数的几分之几，也用除法！至此，我们已经可以来解决分数

9、乘除法的大部分问题了，下面我们就通过几个具体的实例来看一下如何用这些知识来解决问题。例1、 实验小学有1200名学生，六年级人数占全校的，六年级一班人数占六年级的，六年级一班有多少人？分析：看问法，“六年级一班有多少人？”，寻找与六年级一班人数有关的条件，显然是“六年级一班人数占六年级的”，可以看到在这个条件中，六年级人数是单位1，六年级一班人数是部分，这部分占单位1的。求部分用乘法，有公式2知：六年级一班人数=六年级人数，所以还需要计算六年级的人数。与六年级的人数有关的条件是“六年级人数占全校的”，在这个条件中全校人数是单位1，六年级人数是部分，所以还得用乘法：六年级人数=全校人数=1200

10、，把算式1200代入六年级一班人数=六年级人数中，且发现1200可以先算，不用加括号：1200例2：光明小学绿化面积为960平方米，是向阳小学的2倍，而南山小学的绿化面积相当于向阳小学的，南山小学的绿化面积是多少？分析：看问法，“南山小学的绿化面积是多少？”，查找与南山小学有关的条件“南山小学的绿化面积相当于向阳小学的”，知向阳小学为单位1，要计算的南山小学是部分，所以用乘法：南山小学的绿地面积=向阳小学的绿化面积但向阳小学的绿化面积未知，所以接下来考虑向阳小学的绿化面积的条件“光明小学绿化面积为960平方米，是向阳小学的2倍”，知向阳小学的绿化面积为单位1，光明小学的绿化面积为部分，算单位1

11、用除法，所以有：向阳小学的绿化面积=光明小学的绿化面积2=9602，代入上式得到：9602注意：这里我们把倍数问题与“单位1和部分”统一了起来，“是向阳小学的2倍”，完全就是“向阳小学的”的意思。当然你也完全可以用倍数的知识来解决这一步。从根本上来说，倍数问题和分数问题是一回事。如甲是乙的1.5倍，从分数的角度来说就是甲是乙的。似乎有这样一个不成文的规定，小数或整数倍数，人们习惯用倍数来称呼它，而对于分数倍数，人们则习惯于称呼它为几分之几。但这只是一种习惯，改变不了两者是一回事的本质。因此分数问题亦可以转化为倍数来考虑。倍数问题也可以转化为分数问题来考虑。例：学校对一块空地进行绿化，把它设计为

12、3部分，草地，花坛，小路。其中小路面积与草地面积的比为1:7，小路面积又是花坛面积的，已知草地面积比花坛面积大36平方米，求小路的面积。分析：小路面积与草地面积的比为1:7，理解为“草地面积是小路的7倍”，进一步理解为“草地面积是小路的”小路面积又是花坛面积的，理解为“小路面积又是花坛面积的倍”，进而“花坛面积是小路的4倍”，再进一步“花坛面积是小路的”所以，小路面积是单位1，花坛，草地是部分，因而草地与花坛的差（36平方米）也是部分：36（7-4）就是小路的面积。本例放在这里可能不是太合适，不过我就是想告诉大家，倍数问题和分数问题是一回事，他们是一个事物的两个不同的名字，明白之后，完全可以互

13、化。下面看一个难一点的。例3：学校组织学生郊游，中午吃饭时用了55个碗，其中一人一个饭碗，两人一个汤碗，3人一个菜碗，问你能算出共有多少学生吗？分析： 问法“你能算出共有多少学生吗？”，考虑与学生人数有关的条件：“其中一人一个饭碗，两人一个汤碗，3人一个菜碗”。这里换个角度来理解，一人一个饭碗理解为饭碗是人数的，两人一个汤碗理解为汤碗是人数的，3人一个菜碗理解为菜碗是人数的。方法一：要求的人数在条件中是单位1，用除法，但饭碗，汤碗，菜碗这三个部分的实际大小都不知道，怎么办？还记得吗“同一个单位1的两个部分的和，仍是这个单位1的部分”，所以饭碗，汤碗，菜碗这三个部分的和仍是部分，而这个部分的实际

14、大小我们是已知的55！所以有：55（1+）这种特殊的部分，使我们用算术法求解一些难题时常用到的！方法2：有条件易得相等关系饭碗+菜碗+汤碗=55，而饭碗，汤碗，菜碗是三个部分，求部分用乘法，因此设共x人，则饭碗=x，汤碗=x，菜碗=x,代入相等关系中得到：例4：第28届奥运会上中国健儿获得了32枚金牌，比第27届多，第27届中国获得了多少块金牌？分析：从问法知,要考虑第27届的情况，“比第27届多”，所以第27届的金牌数是单位1用除法，而第二十八届的是部分，其实际大小是32，占单位1的（1+）（此处可以这样理解，既然第27届的金牌数是单位1，比第27届多就可以理解为“比单位1多”，当然占单位1

15、的1+了）。所以：32(1+)自己考虑为何要加括号？例5、小明下载了30首古诗，小红下载的比小明的多3首，小红下载了多少首？分析：问法“小红下载了多少首”，考虑与小红有关的条件“小红下载的比小明的多3首”，小明下载的是单位1，小红下载的是部分。且慢，出错了！小明下载的是单位1不错，但小红下载的却不能看做部分！回忆一下如果一个量是某一个单位1的几分之几，这个量就是这个单位1的一个部分，小红下载的却不能表示成小明的几分之几！而是比小明的多3首！因此本例只能当做两个量相比较的方法来解决！（这一方法见作者的从“问啥考虑啥”说开去）小红下载的 比 小明的 多3首 大量 小量算大量用加法：小红下载的=小明的+3当然“小明的”这个量是部分，可以用乘法求出来！30，代入上面：30+3例6：已知甲是8，乙是6，求甲是乙的几分之几？分析：有公式3知，这种题用除法。看问法甲是乙的几分之几，乙是单位1，是除数，甲是部分，是被除数，所以86例7：已知甲是8，乙是6，求甲比乙大几分之几？乙比甲小几分之几？分析：“求甲比乙大几分之几？”实际上是说，甲比乙大的部分（即差）是乙的几分之几，由于问法中的乙是单位1，所以