线性代数期末考试试卷+答案合集

1、.大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2 分，共 10 分）1311. 若 05x0 ，则_。122x1x2x302若齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，则应满足。x1 x2x3 03已知矩阵 A， B， C( cij) sn ，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。a11a124矩阵 Aa21a22的行向量组线性。a31a325 n 阶方阵 A 满足 A23A E0 ，则 A 1。二、判断正误（正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“”。每小题 2 分，共 10 分）1.若行列式 D 中每个元素都大于零，则D 0 。（）2.零向量一定可以表示成任

2、意一组向量的线性组合。（）3.向量组 a1， a2， ， am 中，如果 a1 与 am 对应的分量成比例，则向量组a1， a2， ， as 线性相关。（）01004.1000，则 A 1A 。（A001）000105.若 为可逆矩阵 A 的特征值，则 A1 的特征值为。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共 10 分 )1.设 A 为 n 阶矩阵，且A2 ，则 A AT（）。 2n2 n 1 2n 1 42.n 维向量组1，2， ，s （3sn ）线性无关的充要条件是（）。 1， 2， ， s 中任意两个向量都线性无关 1， 2， ， s

3、 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 1， 2， ， s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示1 / 17. 1， 2， ， s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是 ( )。 任意 n 个 n 1维向量线性相关 任意 n 个 n 1维向量线性无关 任意 n 1个 n 维向量线性相关 任意 n 1个 n 维向量线性无关4.设 A ， B 均为 n阶方阵，下面结论正确的是( )。 若 A ， B 均可逆，则 AB 可逆若 A， B 均可逆，则A B 可逆 若 A B 可逆，则AB 可逆若 AB 可逆，则A ， B 均可逆5.若 1，2，3，4 是线性方程组A0 的基础解系，则1234 是 A0

4、 的（） 解向量 基础解系 通解 A 的行向量四、计算题 (每小题 9 分，共 63 分 )xabcd1. 计算行列式axbcd。abx cdabcxd解x abcdx a b c dbcdax bcdx a b c d x bcdabx cdx a b c dbx cdabcx d x a b c dbcx d1bcd1bcd1x bcd0x00( x a b c d )bxc( x a b c d )00x(x a b c d ) x31d01bcxd000x3012. 设 ABA 2B ，且 A 110, 求 B 。014211522解 . ( A 2E) B A( A 2E) 1221

5、， B ( A 2E) 1 A4321112232 / 17.110021343. 设B0110,C021 3且矩阵满足关系式 X (C B)E, 求 。0011002100010002a11224. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111,2a , 3。2121a22x1x2x335.为何值时，线性方程组x1x2x32有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多x1 x2x32解时求其通解。 当1且2 时，方程组有唯一解；当2 时方程组无解211当1时，有无穷多组解，通解为0c1 1c2 000112136. 设 14, 29, 301011,4. 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将

6、其余向370317量用该极大无关组线性表示。1007.设 A010 ，求 A 的特征值及对应的特征向量。021五、证明题(7分 )若A是 n 阶方阵，且AAA1，A I 0。其中I为单位矩阵。I，证明3 / 17.大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 52.13.ss， nn4.相关5. A 3E二、判断正误1.2.3.4.5.三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题1.x abcdx a b c dbcdax bcdx a b c d x bcdabx cdxabcdbx cdabcx d xabcdbcx d1bcd1bcd1x bcd0x003( x a b c d )bx cd

7、( x a b c d )0x(x a b c d ) x1001bcx d000x2.211522( A 2E)B A( A 2E) 1221， B ( A 2E) 1 A4321112233.123410000123，B )2100C B012(C3210000014321C B 1000100012 100 ， X E C B 12 10012101210012101214 / 17.4.a1122a1， a2，a31a11 ( 2a 1)2 (2a 2) 当 a1或 a1 时，向量组 a1， a2， a3 线性相212821a22关。5. 当1且2 时，方程组有唯一解；当2时方程组无解

8、211当1时，有无穷多组解，通解为0c1 1c200016.1213121312134901001420142( a1， a2， a3， a4 )137034100016161031703170013131002010200110000则r a1， a2， a3， a43 ，其中 a1， a2， a3 构成极大无关组，a42a12a2a37.100EA010( 1) 3002100010特征值123 1，对于 1 1， 1EA 000，特征向量为 k 0l 002001五、证明题AIAAAA IAIAIA 2 IA0 ，IA05 / 17.一、选择题（本题共4 小题，每小题 4 分，满分 16

9、 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设 A ， B 为 n 阶方阵，满足等式 AB0 ，则必有（）(A) A0 或 B 0 ; (B)AB0 ； （ C） A0 或 B 0 ; (D) AB 0 。2、 A 和 B 均为 n 阶矩阵，且 ( AB)2A22 ABB2 ，则必有（）(A)A E ；(B)BE ；（C） AB . (D)ABBA。3、设 A 为 m n 矩阵，齐次方程组 Ax0 仅有零解的充要条件是（）(A)A 的列向量线性无关；(B)A 的列向量线性相关；（C） A 的行向量线性无关；(D)A 的行向量线性相关 .4、 n 阶矩阵 A 为奇异矩阵的充要条件是（

10、）(A)A 的秩小于 n ；(B)A0 ；(C)A 的特征值都等于零；(D)A 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4 小题，每题4 分，满分 16 分）5、若 4 阶矩阵 A 的行列式 A5 ， A 是 A 的伴随矩阵，则A =。6、 A 为 n n 阶矩阵，且 A2A2E0 ，则 ( A2E) 1。121x117、已知方程组 23a2x23无解，则 a。1a2x342222x1x22x1x3 是 正 定 的 ， 则 t 的 取 值 范 围8 、 二 次 型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x13x2tx3是。三、计算题（本题共2 小题，每题8 分，满分 16 分）1x1119、计

11、算行列式 D11x11111y11111y10、计算 n 阶行列式6 / 17.x1 3x2xnx1x2 3xnDnx1x2xn 3四、证明题（本题共2 小题，每小题8 分，满分 16 分。写出证明过程）11、若向量组1,2 , 3 线性相关，向量组2 , 3 , 4 线性无关。证明：(1)1 能有 2 ,3 线性表出；(2)4 不能由1 ,2 , 3 线性表出。12、设 A 是 n 阶矩方阵， E 是 n 阶单位矩阵， AE 可逆，且 f ( A) (E A)(E A) 1 。证明（ 1） ( Ef ( A)( E A) 2E ；（ 2）f ( f ( A)A 。五、解答题（本题共3 小题，

12、每小题 12 分，满分 32 分。解答应写出文字说明或演算步骤）20013、设 A 032，求一个正交矩阵 P 使得 P 1 AP 为对角矩阵。023x1x2x3014、已知方程组 x12x2ax30 与方程组 x1 2x2 x3a 1 有公共解。x14x2a 2 x30求 a 的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1 ，2 ， 3 是它的三个解向量，且7 / 17.213， 22143354求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2 、 D； 3 、A； 4 、A。二、填空题5、 -125;6、；7 、-1 ；8、 t3 。25三、计算题9、解：第一行减第二行

13、，第三行减第四行得：xx0011 x11D0yy01111yx0001x10第二列减第一列，第四列减第三列得： D0y（4 分）00101y按第一行展开得x10D x 0y001y按第三列展开得Dxyx 0x2 y2 。（4 分）1 y10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子nxi 3 ，再通过行列式的变换化i 1为上三角形行列式8 / 17.1x2xnn1x23xn（ 4Dnxi 3分）i 11x2xn31x2xnn030xi3i10033n1n（4 分）xi3i 1四、证明题11、证明：(1) 、 因为 2 ， 3 ,3 线性无关，所以2 ， 3 线性无关。，又 1 ， 2 ，

14、3 线性相关，故1 能由2， 3线性表出。(4分 )r (1 ， 2 ， 3 )3 ，（ 2）、（反正法）若不，则4 能由1 ， 2 ,3 线性表出，不妨设 4k1 1k22k33 。由（ 1）知， 1能由2 ， 3线性表出，不妨设 1t1 2t23 。所以 4k1 (t1 2t23 )k22k3 3 ，这表明2 ， 3 ,4 线性相关，矛盾。12 、证明（ 1） (E f ( A)( EA) E(E A)( EA) 1 ( EA)( EA)( EA)( EA) 1 ( EA) ( E A) ( E A) 2E（4 分）（ 2） f ( f ( A) Ef ( A) Ef ( A) 19 /

15、17.由（ 1）得： Ef ( A) 11 ( EA) ，代入上式得2f ( f ( A) E (EA)( EA) 1 1 (EA)1 ( EA)( EA)(EA) 1 1 (EA)2221 (E A)1 (E A) A（4 分）22五、解答题13、解：（ 1）由EA0 得 A 的特征值为11， 22 ， 35 。（4 分）0（ 2） 11的特征向量为11 ，1122 的特征向量为20，0035 的特征向量为31。（3 分）1（ 3）因为特征值不相等，则1 ,2 , 3 正交。（ 2 分）10110（4）将 1,2 , 3 单位化得 p11， p201（2 分）， p321021010101（

16、 5）取 P p1 , p2 , p32210122100（6） P 1 AP 02 0（1 分）00514、解：该非齐次线性方程组Axb 对应的齐次方程组为Ax010 / 17.因 R( A) 3，则齐次线性方程组的基础解系有1 个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。（ 5 分）另一方面，记向量21( 23 ) ，则AA(2 123 ) 2A 1A 2 A 3 2b b b 0直接计算得(3,4,5,6)T0，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为3 24 3xk1k， kR 。（ 7 分）5 46 515、解：将与联立得非齐次线性方程组:x1x2x

17、30,x12x2ax30,x14x2a2 x30,x12x2x3a 1.若此非齐次线性方程组有解 ,则与有公共解 ,且的解即为所求全部公共解 .对的增广矩阵 A 作初等行变换得 :11101110A12a001a 10.（4 分）1 4 a 200 0 (a 2)(a 1)01 2 1 a 10 01 aa 11当 a1时，有 r ( A) r ( A)23 ，方程组有解 ,即与有公共解 ,其全部公共解即为的通解，此时1010A0100，000000001则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为:0,111 / 17.1所以与的全部公共解为k0， k 为任意常数 .（4 分）12 当 a2 时，

18、有 r ( A)r ( A) 3 ，方程组有唯一解 ,此时10000101A01，01000000故方程组的解为 :1, 即与有唯一公共解 x1.（4 分）1112 / 17.线性代数习题和答案第一部分选择题(共 28 分)一、 （本大 共14 小 ，每小 2 分，共 28 分）在每小 列出的四个 中只有一个是符合 目要求的， 将其代 填在 后的括号内。 或未 均无分。1. 行列式 a11a12=m ， a13a11=n， 行列式 a11a12a13 等于（）a21a 22a23a21a 21a22a23A. m+nB. - (m+n)C. n- mD. m - n1002. 矩 A= 020

19、 ， A- 1等于（）00310031001A.00B.010220110003110000231C.10D.000001031203123. 矩 A=101 ， A* 是 A 的伴随矩 ， A * 中位于（ 1， 2）的元素是（）214A. 6B. 6C. 2D. 24.设 A 是方 ，如有矩 关系式AB=AC， 必有（）A. A =0B. B C 时 A=0C. A 0 时 B=CD. | A| 0 时 B=C5.已知 3 4 矩 A 的行向量 性无关， 秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 两个向量 1， 2， s 和 1， 2 ， s 均 性相关， （）A. 有不全

20、 0 的数 1， 2， s 使 1 1+ 2 2+ + s s=0 和 1 1+ 2 2+ s s=0B.有不全 0 的数 1， 2， s 使 1（ 1+ 1） + 2（ 2+ 2） + + s（ s+ s） =0C.有不全 0 的数 1， 2， s 使 1（ 1- 1） +2 （ 2- 2） + + s（ s- s） =0D.有不全 0 的数 1， 2， s 和不全 0 的数 1， 2， s使 1 1+ 2 2+ +s s=0和 1 1+ 2 2+ s s=07. 矩 A 的秩 r， A 中（）A. 所有 r- 1 子式都不 0B.所有 r- 1 子式全 0C.至少有一个 r 子式不等于0D

21、.所有 r 子式都不 013 / 17.8.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， 1， 2 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（）12 是 Ax=0 的一个解B. 1 11 2 是 Ax=b 的一个解A. +2+2C. 1- 2 是 Ax=0 的一个解D.2 1- 2 是 Ax=b 的一个解9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（）A. 秩 (A)nB. 秩 (A)=n - 1C.A=0D. 方程组 Ax=0 只有零解10.设 A 是一个 n( 3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A. 如存在数 和向量 使 A = ，则 是 A 的属于特征值 的特征向量B.如存在数 和非零向量 ，使 ( E

22、- A) =0，则 是 A 的特征值C.A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如 1， 2， 3 是 A 的 3 个互不相同的特征值， 1， 2， 3 依次是 A 的属于 1， 2， 3 的特征向量，则 1， 2 ， 3 有可能线性相关11.设 0 是矩阵 A 的特征方程的3 重根，A 的属于 0 的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k 3B. k312.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.| A|2 必为 1B.|A|必为 1C.A - 1=ATD. A 的行（列）向量组是正交单位向量组T）13.设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵， B=C AC .则

23、（A. A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23B.34A.4263100111C. 023D.120035102第二部分非选择题（共72 分）二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11115.356.9253616.设 A =111， B=123.则 A +2B=.11112417.设A =(aij) 33 ， |A|=2，Aij表 示 |A | 中 元素aij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3）

24、, 则(a11A 21+a12A 22+a13A 23)2+(a21A 21+a22A 22+a23A 23)2+(a31A 21+a32A 22+a33A 23)2=.18.设向量（ 2，-3， 5）与向量（ -4， 6，a）线性相关，则 a=.19.设 A 是 3 4 矩阵，其秩为 3，若 1， 2 为非齐次线性方程组Ax=b 的 2 个不同的解，则它的通解为.14 / 17.20.设 A 是 m n 矩阵， A的秩为 r(n) ，则齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为.21.设向量 、 的长度依次为2 和 3，则向量 + 与 - 的内积（ + ， - ） =.22.设

25、3 阶矩阵 A 的行列式 |A|=8，已知 A 有 2 个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为.0106223.设矩阵 A=133 ，已知 = 1 是它的一个特征向量，则 所对应的特征值为.2108224.设实二次型 f(x 1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为 3，则其规范形为.三、计算题（本大题共7 小题，每小题 6 分，共 42 分）12023125.设 A = 340， B=.求（ 1） AB T；（ 2） |4A |.2401213112513426.试计算行列式2011 .153342327.设矩阵 A= 110，求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A +2B.123213028.给定向量组 1=1， 2=3 ， 3=0， 4 =1.02243419试判断 4 是否为 1， 2， 3 的线性组合；若是，则求出组合系数。121022426629.设矩阵 A=102.2333334求：（ 1）秩（ A）；（2） A 的列向量组的一个最大线性无关组。022D，使 T - 1AT =D.30.设矩阵 A= 234的全部特征值为 1， 1和 - 8.求正交矩阵 T 和对角矩阵24331.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,x2,x3)