2010年考研数学一真题及答案

1、2010年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 极限limxx2(x-a)(x+b)x=(a)1 (b)e(c)ea-b (d)eb-a【考点】c。【解析】【方法一】这是一个“1”型极限limxx2(x-a)(x+b)x=limx1+a-bx+ab(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)a-bx+aba-bx+ab(x-a)(x+b)x=ea-b 【方法二】原式=limxexlnx2(x-a)(x+b)而limx xlnx2(x-a)(x+b)=limx xln(1+a-bx+ab(x-a)(x+b) =li

2、mx xa-bx+ab(x-a)(x+b) (等价无穷小代换) =a-b则limxx2(x-a)(x+b)x=ea-b【方法三】对于“1”型极限可利用基本结论：若lim (x)=0, lim (x)=0,且lim xx=a则lim1+xx=ea,求极限由于limxxx=limxx2-(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)x =limx(a-b)x2+abx(x-a)(x+b)=a-b则limxx2(x-a)(x+b)x=ea-b【方法四】limxx2x-ax+bx=limxx-ax+bx2-x =limx(1-ax)-xlimx1+bx-x=eae-b=ea-b 综上所述，本题正确答案是c。

3、【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2) 设函数z=z(x,y)由方程fyx,zx=0确定，其中f为可微函数，且f20,则xzx+yzy= 。(a)x (b)z(c)-x (d)-z【答案】b。【解析】因为 zx=-fxfz=-f1-yx2+f2-zx2f21x=f1yx+f2zxf2,zy=-fyfz=-f11xf21x=-f1f2 所以xzx+yzy=f1y+f2zf2-yf1f2=f2zf2=z综上所述，本题正确答案是(b)。【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的偏导数和全微分(3) 设m,n为正整数，则反常积分01mln2(1

4、-x)nxdx的收敛性(a)仅与m的取值有关 (b)仅与n的取值有关(c)与m,n的取值都有关 (d)与m,n的取值都无关【答案】d。【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在x0+和x1-时无界01mln2(1-x)nxdx=012mln2(1-x)nxdx+121mln2(1-x)nxdx 在反常积分012mln2(1-x)nxdx中，被积函数只在x0+时无界。由于mln2(1-x)nx0，limx0+mln2(1-x)nx1nx=0已知反常积分0121nxdx收敛，则012mln2(1-x)nxdx也收敛。在反常积分121mln2(1-x)nxdx中，被积函数只在x1-时

5、无界，由于mln2(1-x)nx0limx1-mln2(1-x)nx11-x=limx1-ln2m(1-x)(1-x)12=0 (洛必达法则)且反常积分121dx1-x收敛，所以121mln2(1-x)nxdx收敛综上所述，无论m,n取任何正整数，反常积分01mln2(1-x)nxdx收敛。综上所述，本题正确答案是d。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分(4) limni=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=(a)01dx0x1(1+x)(1+y2)dy (b) 01dx0x1(1+x)(1+y)dy(c)01dx011(1+x)(1+y)dy (d)01dx011(1+x)(1+y

6、2)dy【答案】d。【解析】因为limni=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=limni=1n j=1n nn(1+in)n2(1+(jn)2) =limni=1n j=1n 1(1+in)(1+(jn)2)1n2 =01dx011(1+x)(1+y2)dy综上所述，本题正确答案是c。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5) 设a为mn矩阵，b为nm矩阵，e为m阶单位矩阵，若ab=e,则(a)秩ra=m,秩rb=m (b)秩ra=m,秩rb=n(c)秩ra=n,秩rb=m (d)秩ra=n,秩rb=n【答案】a。【解析】因为ab=e为m阶单位矩阵

7、，知rab=m又因 rabmin(ra,r(b),故mra,mr(b)另一方面，a为mn矩阵，b为nm矩阵，又有ram,r(b)m可得秩ra=m,秩rb=m综上所述，本题正确答案是a。【考点】线性代数矩阵矩阵的秩(6) 设a为4阶实对称矩阵，且a2+a=0，若a的秩为3，则a相似于(a)1 1 1 0 (b) 1 1 -1 0(c)1 -1 -1 0 (d)-1 -1 -1 0【答案】d。【解析】由a=,0知an=n，那么对于a2+a=0推出来(2+)=02+=0所以a的特征值只能是0、-1再由a是实对称矩阵必有a，而是a的特征值，那么由ra=3,可知d正确综上所述，本题正确答案是d。【考点】

8、线性代数特征值与特征向量实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(7) 设随机变量x的分布函数fx=0, x0,12, 0x1. ,则px=1=(a)0 (b)12(c)12-e-1 (d) 1-e-1【答案】c。【解析】px=1=f1-f1-0=1-e-1-12=12-e-1综上所述，本题正确答案是c。【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布随机变量分布函数的概念及其性质(8) 设f1(x)为标准正太分布的概率密度，f2(x)为-1,3上均匀分布得概率密度，若fx=af1x, x0,bf2x, x0,(a0,b0)为概率密度，则a,b应满足(a)2a+3b=4 (b)3a+2b=4(c)

9、a+b=1 (d)a+b=2【答案】a。【解析】根据密度函数的性质1=-+f(x)dx=-0af1xdx+0+bf2xdx=a-0f1xdx+b0+f2xdxf1x为标准正态分布的概率密度，其对称中心在x=0处，故-0f1xdx=12f2x为-1,3上均匀分布的概率密度函数，即f2x=14， -1x30，其他0+f2xdx=0314dx=34所以1=a12+b34,可得2a+3b=4综上所述，本题正确答案是a。【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）(9) 设x=e-t,y=0tln(1+u2)du，则

10、d2ydx2t=0= 。【答案】0。【解析】【方法一】dydx=y(t)x(t)=ln(1+t2)-e-t=-etln(1+t2)d2ydx2=ddt-etln1+t21xt=e2t2t1+t2+ln1+t2则d2ydx2t=0=10+0=0，【方法二】由参数方程求导公式知，d2ydx2t=0=y0x0-x(0)y(0)x(0)3xt=-e-t,xt=e-t,x0=-1,x0=1yt=ln1+t2,yt=2t1+t2,y0=0,y0=0代入上式可得 d2ydx2t=0=0。【方法三】由x=e-t得，t=-lnx，则y=0-lnxln(1+u2)dudydx=-1xln(1+ln2x)d2ydx

11、2=1x2ln1+ln2x-2lnx1+ln2x当t=0时x=1，则d2ydx2t=0=0综上所述，本题正确答案是0。【考点】高等数学一元函数微分学基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10) 02xcosxdx= 。【答案】-4。【解析】令x=t,则x=t2,dx=2tdt02xcosxdx=02t2costdt=20t2dsint= =2t2sint0-40tsintdt =4tcost0-40costdt=-4综上所述，本题正确答案是-4。【考点】高等数学一元函数积分学基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(11) 已知曲线l的方程

12、为y=1-x,x-1,1,起点是-1,0,终点是(1,0)，则曲线积分l xydx+x2dy= 。【答案】0。【解析】如图所示l=l1+l2,其中l1:y=1+x,(-1x0),l2:y=1-x,(0x0使得 0|tlnt|m则01tnlntdtm01tn-1dt=mn由limnmn=0及夹逼定理知limnun=0【考点】高等数学函数、极限、连续极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质(18) 求幂级数n=1(-1)n-12n-1x2n的收敛域及和函数。【解析】limnun+1un=limnx2n+2(2n-1)x2n(2n+1)=x2x21-1x

13、1即-1x1时，原幂级数绝对收敛x=1时，级数为n=1(-1)n-12n-1，由莱布尼茨判别法显然收敛，故原幂级数的收敛域为-1,1。又n=1(-1)n-12n-1x2n=xn=1(-1)n-12n-1x2n-1令fx=n=1(-1)n-12n-1x2n-1,x(-1,1)则fx=n=1(-1)n-1x2(n-1)=11+x2所以fx=0xftdt=acrtanx+c由于f0=0，所以c=0所以fx=arctanx所以幂级数的收敛域为-1,1，和函数为xarctanx,x-1,1。【考点】高等数学无穷级数幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法

14、，初等函数的幂级数展开式(19) 设p为椭球面s:x2+y2+z2-yz=1上的动点，若s在点p处的切线平面与xoy面垂直，求点p的轨迹c,并计算曲面积分i= x+3|y-2z|4+y2+z2-4yzds,其中 是椭圆球面s位于曲线c上方的部分。【解析】求轨迹c令fx,y,z=x2+y2+z2-yz-1,故动点p(x,y,z)的切平面的法向量为n=2x,2y-z,2z-y由切平面垂直xoy面，得2z-y=0又已知p为椭球面s:x2+y2+z2-yz=1上的动点，所以x2+y2+z2-yz=12z-y=0x2+34y2=12z-y=0为p的轨迹c再计算曲面积分因为曲线c在xoy面的投影为dxy:

15、 x2+34y2=1又对方程x2+y2+z2-yz=1两边分别对x,y求导可得2x+2zzx-yzx=0 ,2y+2zzy-z-yzy=0解之得 zx=2xy-2z , zy=2y-zy-2z ds=1+zx2+zy2dxdy=1+(2xy-2z)2+(2y-zy-2z)2dxdy =4x2+5y2+5z2-8yz|y-2z|dxdy=4+y2+z2-4yz|y-2z|dxdy于是i= x+3|y-2z|4+y2+z2-4yzds=dxy x+3dxdy =3dxy dxdy=3123=2【考点】高等数学多元函数积分学两类曲面积分的概念、性质及计算(20) 设a=110-1011,b=a11.

16、已知线性方程组ax=b存在2个不同的解(i) 求,a；(ii) 求方程组ax=b的通解。【解析】(i) 因为已知线性方程组ax=b存在2个不同的解，所以ra=ran故a=110-1011=-111=+1-12=0知=1,-1当=1时，a=111000111 a11,显然ra=1,ra=2，此时方程组无解，=1舍去，当=-1时，a=-1110-2011-1a11 10-101000032-12a+2因为ax=b有解，所以a=-2即，=-1，a=-2(ii) =-1，a=-2时，已知a 10-101000032-120所以ax=b的通解为x=123-10+k101其中k为任意常数。【考点】线性代数

17、线性方程组非齐次线性方程组有解的充分必要条件，非齐次线性方程组的通解(21) 已知二次型fx1,x2,x3=xtax在正交变换x=qy下的标准形为y12+y22,且q的第三列为(22,0,22)t(i) 求矩阵a；(ii) 证明a+e为正定矩阵，其中e为3阶单位矩阵。【解析】(i) 二次型fx1,x2,x3=xtax在正交变换x=qy下的标准形为y12+y22，可知二次型矩阵a的特征值是1,1,0。又因为q的第三列为(22,0,22)t，可知3=(1,0,1)t是矩阵a在特征值=0的特征向量。根据实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，设a关于1=2=1的特征向量为=(x1,x2,x3)t，则

18、t3=0,即x1+x3=0取1=(0,1,0)t,2=(-1,0,-1)ta=1,2,01,2,3-1=0-101000100-11100011-1=0-10100010010-1201212012=120-12010-12012(ii) 由于矩阵a的特征值是1,1,0,那么a+e的特征值为2,2,1，因为a+e的特征值全大于0，所以a+e正定。【考点】线性代数二次型二次型及其矩阵表示，二次型的秩，二次型的标准形和规范形，二次型及其矩阵的正定性(22) 设二维随机变量x,y的概率密度为fx,y=ae-2x2+2xy-y2,-x+,-y0,等价于-x+时，fy|xyx=f(x,y)fxx=ae-2x2+2xy-y2ae-x2=1e-x2+2xy-y2=1e-(x-y)2 , -y+【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常用二维随机变量的分布(23) 设总体x的概率分布为x123p1-22其中参数(0,1)未知，以ni表示来自总体x的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数(i=1,2,3),试求常数a1,a2,a3使t=i=13aini为的无偏估计量，并求t的方差。【解析】记p1=1-,p2=-2,p3=2,则nib(n,pi) i=1,2,3故eni= n