池塘养鱼的最优方案模型

1、池塘养鱼的最优方案模型摘要：根据题目给出的七个已知条件和问题，我们判断这是一个关于如何在有限的资源和条件下获得最大利润的养鱼问题。本文分别考虑了年初一次性投放鱼苗年后一次性卖出和边投边卖尽可能利用鱼塘资源两种情况，并且在建模过程中运用了常微分方程，计算出鱼的重量关于时间的函数表达式，又运用等比数列求和公式来最终确定最优的年初投放鱼苗的方案。在模型收益函数的计算中，本文不仅考虑了不同质量范围的鱼所用的饲料费和收入的不同，而且还考虑了不同质量的鱼所占的存活空间的不同，提出了鱼塘的单位面积的收益率的概念来作为衡量标准，以此来进行资源的最优化利用，并结合相关图像最终确定最优养鱼方案。文中所提出的数学方

2、法及手段均用软件进行了实现。关键词 养鱼方案微分方程等比数列matlab空间利用效用最大化一、问题提出设某地有一池塘，其水面面积约为，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。(1)鱼的存活空间为1；(2)每1kg鱼每天需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的价格为2.5元/kg；(3)鱼苗的价格忽略不计，每1kg鱼苗大约有500条鱼；(4)鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg；(5)池内鱼的繁殖与死亡均忽略；(6)q为鱼重，则此种鱼的售价为： (7)池内只能投放鱼苗。二 、问题分析 养殖户为了获取较大的利润，必然会面对

3、确定养殖方案的问题。因此如何在限定的条件下找出最佳的出售时机以制定最优的养鱼方案成为了解决此问题的关键。在这里，由于各种无法预测的不确定因素带来的影响，使得养鱼者的实际收益与预期收益会发生一定的偏差，从而有蒙受损失和获得额外收益的机会1。因而，我们在建立模型的时候，不考虑这些不确定因素，将模型理想化处理。为了这三年养鱼获得最大的利润，我们想到尽可能的将鱼苗养到成鱼，价格卖到最高，但养鱼期间所花费的饲料费用又不得不考虑。要求解利润的大小，首先要进行数据分析2，得出成本费用和销售价格的计算方法，利润即为销售价格减去成本费用；其次综合分析求解利润的目标函数，通过计算机对大量的数据进行处理，进而得出最

4、优的养鱼方案。事实上，现实生活中的情况是复杂多变的，养鱼也存在很多人为和自然的因素。为此，我们将必须模型简化，建立了两种方案。三、模型假设1. 假设在养鱼期间没有发生鱼病。2. 假设在投入鱼苗和捕捞过程中不存在鱼的损失或死亡。3. 假设不存在鱼的相互斗争、繁殖、变异。4. 假设池塘水质清洁，污染小，适合鱼类健康成长。5. 假设捕捞上来的鱼都可以正常卖出。6. 假设市场上鱼的售价和饲料价格在三年之内没有变化。7. 假设三年养鱼期都是平年。8. 假设鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg。四、符号说明以下为文中所使用的符号：最初放入的鱼的数量。鱼每天增重

5、的比例。每条鱼在养殖t天后的重量。每条鱼在养殖t天后所需要的饲料费用。 三年养鱼的总收益。每条鱼在养殖t天后平均每天产生的利润。每天放入鱼苗的数目。最初放入的鱼苗平均重量。五、模型的建立与求解模型假设第一年按池塘的最大容量投放鱼苗，等到鱼苗全部长到成鱼形态，再全部捕捞上来，一次性全部卖出，剩余两年按照第一年的方案实行。由条件可知，池塘的水面面积为，成鱼的质量为2kg,而每条鱼的存活空间规定为1，从而我们可以推断出最初投放的鱼苗的最大数目n= 条，即在每年的年初最多能投放的鱼苗数为5000条，并且每年年末卖出5000条均重达2kg的成鱼，单位售价为15元/kg,经计算一年的收入是元。再分析平均每

6、年所要花费的费用，来最终确定净利润的大小。根据本题所给条件，池塘养鱼的主要费用来源于鱼饲料。已知鱼所消耗的饲料与其自身质量有着较为密切的关系，每1kg鱼每天需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的价格为2.5元/kg。故要知道饲料所用的总费用，必须要知道鱼的生长情况。同时问题已经给出鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg。假设每条鱼每天增重的比例为k，而且每条鱼苗的平均质量为1/500kg，根据以上分析建立了如下模型。设为鱼每天增重的比例，鱼苗已过一年365天长为成鱼，得到方程： 计算可得即鱼每天增重的比例是0.0191。因此我们可以得到每条鱼每天的

7、生长重量与时间的函数为： 用matlab画出该函数的图像如下：图1 模型I的鱼的重量随时间的函数关系图根据函数图像我们可以观察到在前200天，鱼的成长比较缓慢，但是在300天以后，遇到成长速到相当快。可推算出在前期平均每天所有的费用比较少，在后期，平均每天所用的费用较大。假设每条鱼在养殖t天后所需的饲料费用为： 从而我们可以计算出5000尾鱼苗产长到成鱼所需消耗得的饲料费用：即 = 因此可以求出三年的收益总额为：即由模型I我们可以得到的总收益为.24元。模型由于考虑到池塘的水面面积，鱼必要的生活空间为1，每一千克鱼所需要消耗的饲料费等等条件，我们尝试通过微分方程和线性回归相结合的方法，寻找出养

8、鱼的最佳方案。由条件已知鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg。每一千克鱼苗大约有500条鱼，可以得到平均每一条鱼苗的重量为0.002kg，即：=0.002kg，我们可以先建立微分方程3，得到鱼的生长函数如下： 再由已知条件鱼苗的初始重量为0.002kg和当时间t为365天，鱼的重量为2kg，代入上式得可以列出初试条件如下： 代入可以计算得得到k0.，因此得到养殖t天后每条鱼的重量函数关系为： 用matlab画出其函数图像如下:图2 模型II的鱼的重量随时间的函数关系图根据图像可以看出，鱼苗在前150天的生长基本很不明显，在150天到250天之间的体

9、重开始有较为明显的增长，在后期体重增长更为突出。再利用以上公式，可以计算出从鱼苗长到成鱼各个阶段所需要的生长天数，整理得到下表：鱼的重量（kg） 所需饲养的天数（天）0.002-0.20 0-2430.2-1.00 244-3281.00-1.5 329-3491.5-2.00 350-365表1鱼的重量与饲养天数的关系表我们要用有限的资源来产生更多的利润，故在考虑收益问题时，我们考虑到每条鱼所能带来的利润不仅与饲料费和单价有关，还与鱼所生活的空间有关，因为不同大小的鱼单价、费用和生活空间的大小各不相同，所以在计算利润时，我们将以每一平方米鱼塘所能产生的收益大小作为标准，来求最佳养鱼方案。已知

10、当鱼的质量与时间的函数式为 又已知鱼重与鱼价之间的关系式为：根据以上函数关系式可以求得每条鱼养殖t天后所用的饲料费： 又已知鱼的存活空间为1千克每平方米，故我们可以求出在不同质量范围内的鱼，一千克所能获利的大小，即在不同质量范围的鱼群中每平方米鱼塘的收益多少。设鱼的单价为b元/kg,则每条鱼的收入为 再结合费用函数，最终我们求得每平方米鱼塘的收益函数为： 即 故当鱼质量q0.2kg时，其单价为0元/kg，该类鱼每平方米鱼塘的收益函数为负值，即 此时，鱼还没有产生效益，只有投入的费用，并没有收入，故不能卖出，并且在养殖后期，对于不能成长到产生收益的鱼苗应该考虑不予投入养殖，以免产生收不回的坏账。

11、当鱼质量0.2kgq1kg时，虽然其单价为6元/kg此时价格不为0了，说明有收入产生，可是经计算该类鱼每平方米鱼塘的收益函数仍然为负值，即 其函数图像为图3 质量为0.2kgq1kg的鱼的单位面积收益函数图像根据计算和图像我们可以直观的看到此质量范围内的每条鱼的收入小于成本，故质量在0.2kgq1kg范围的鱼不能卖出，同理在养殖后期，该段时间也应该考虑在不能投放小鱼的养殖时间，以免因为时间不足而得不到利润。当鱼质量1kgq1.5kg时，虽然其单价为10元/kg，经计算该类鱼每平方米鱼塘的收益函数为正值，说明此质量范围内的每条鱼的收入大于成本，已经开始产生了经济效益，养鱼人可以考虑卖出，根据单位

12、面积该种质量范围的鱼所产生的利润大小来衡量是按此种方式进行投放和在何时间段投放及卖出，据计算其函数表达式如下：该函数图像为图4 质量为1kgq1.5kg的鱼的单位面积收益函数图像当鱼质量1.5kgq2kg时，虽然其单价为10元/kg，经计算该类鱼每平方米鱼塘的收益函数也为正值，即 该函数图像为图5 质量为1.5kgq2kg的鱼的单位面积收益函数图像综上所述，我们可以得到在不同质量范围的鱼群中每平方米鱼塘的收益函数为 根据图像我们可以知道，该分段函数在各自的定义域内为一个递减函数，故养鱼人要有利可图则只要求收益函数值在为正值，并且各质量范围中（即在各分段函数中）的最大值是各段函数的左端点的函数值

13、，也就是这些左端点是各质量范围内的鱼可得到的最大利润值。结合表1和以上收益函数，当鱼的质量为1kg时，单价为10元/kg，此时需要生长的时间是328天，经计算该类鱼的每平方米收益值为 每条1kg的鱼可以获利 当鱼的质量为1.5kg时，单价为15元/kg，需要生长的时间是349天，故此类鱼的每平方米收益值为 每条1.5kg的鱼可以获利 当鱼的质量为2kg时，单价为15元/kg，需要生长的时间是365天，故此类鱼的每平方米收益值为 每条2kg的鱼可以获利 然后我们将鱼在不同重量情况下的收益情况汇成下表：鱼的重量（kg）饲养时间（天）每平方米收益（元）每条鱼的收益（元）0.2 243-6.4755-

14、1.29511.0 3283.47073.47071.5 3498.466412.69952.0 3658.46416.928表2 不同时期的鱼的收益情况求出了每条鱼所能带来的利润与饲料费、单价和生存空间的关系函数之后，我们开始确定养鱼方案。第一年：首先是要解决年初的投鱼苗问题，在这里我们采用与模型不同的年初投鱼苗方式，模型采用的是年初一次性按池塘的最大容量投放鱼苗，等到鱼苗全部长到成鱼形态，再全部捕捞上来，一次性全部卖出。模型采用更有效的资源利用方式，为了尽量每天都能获取利润，本模型采用边投边卖的模式来养鱼，由于鱼的生长需要时间，故在前期只能每天连续投一定数量的鱼苗，等第一天投放的鱼苗到可以

15、产生利润准备卖出时，才开始每天边投边卖。从已知条件我们知道池塘的水面面积为，且每条鱼的生存空间必须保持在1，鱼可以四季生长，每天的生长重量与自重成正比，我们试想让大鱼和小鱼混合成长，尽可能地保持池塘中的鱼尽可能地多，但是也要保证鱼的必要生长空间，即保持总体重量不大于10000kg。又根据我们所求的得收益函数，我们可以知道，当鱼的质量为1.5kg时，该类鱼每平方米的收益率是最大的为8.4664元/每平方米；而当鱼的质量为2kg时，此时每条鱼的利润比其它质量的鱼都大。所以我们首先考虑了两种年初的投放方案，第一种是当鱼苗成长到1.5kg就可以卖出，首次卖鱼时间为第一年的第350天；第二种是当鱼苗成长

16、到2kg再可以卖出，首次卖鱼时间为第二年的第一天，即第366天。第一种投放方式：假设第一年每天投入条鱼苗，但不能超过10000公斤，建立函数： 通过等比数列的求和公式： 求得最终解 第二种投放方式：假设第一年每天投入条鱼苗，但不能超过10000公斤，建立函数： 解得 可以卖鱼时，第一种投放方式每天产生利润： 元第二种投放方式每天产生利润元，由于第一种投放方式所产生的利润比第二种多，而且方案一开始卖鱼的时间比第一种方案早，故最终第一年的投放方式选择第一种。第二年：第二年我们也是继续采用边投边卖的方式进行养殖，每天投放127条鱼苗，同时卖出127条1.5kg的鱼。第三年：由于考虑到一条鱼苗要长到1

17、.5kg所需的时间为349年，所以我们在该年的倒数第349天即第731天开始，不再投放127条鱼苗，因为在此时间段以后，投放这些鱼苗到了第三年末质量达不到1.5kg，养鱼人并不能得到预期的收益。但是结合图像 我们可以知道在范围内的鱼也是能得到利润的，且在该范围内以1kg的鱼利润最大3.4707元/条。一条1kg的鱼所需的生长时间为328天，故同上所述，在该年的倒数第328天即768天不能再投放鱼苗，由于在第731天以前鱼塘的空间已经用了养殖要生长到1.5kg的鱼，所以在第731天到第767天投放一定数量的鱼苗用于养殖到1kg卖出.该数量的计算为，即在第731天到第767天每天投放190条的鱼苗

18、，到了768天就停止投放鱼苗，以免在养殖期结束之后因为鱼太小而不能盈利，反而形成了额外的费用。因此我们可以推算出，在该年末，即第1075天到第1095天，每天不仅可以卖出127条1.5kg的鱼，还可以同时卖出190条1kg的鱼。整理以上三年的投鱼和卖鱼方式，整理得到下表：年段天数方案第一年1-349 每天投放127条鱼苗。350-365 每天投放127条鱼苗，并且卖出127条1.5kg的鱼。第二年366-730第三年731-746747-767 每天投放190条鱼苗，并且卖出127条1.5kg的鱼。768-1074 停止投放鱼苗，每天只卖127条1.5kg的鱼。1075-1095 每天卖127条1.5kg的鱼和190条1kg的鱼。表3 三年的投鱼和卖鱼方案根据表格我们可以更直观地得到，三年中每天卖127条1.5kg的鱼的时间一共有764天，每天卖190条1kg的鱼的时间一共有21天，且每条1.5kg的鱼的净利润为12.6995元，每条1kg的鱼的净利润为3.4707元。因此，在模型所提出的方案总收益为 建议方案：在所建立的两个模型中，综合各个方面和各个方案的收益总额，我们认为模型为最优方案。在该方案汇总所设计的能获取较大利润为.122元，采用边投边卖、大鱼小鱼混合的养鱼方式，并尽可能得利用了鱼塘的资源，使得效用和利润都达到了最大化，具有一定的可行性。而模型虽然收益总额不如模型