概率论与数理统计总结

1、第一章 随机事件与概率第一节 随机事件及其运算1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为=,其中 表示基本结果，又称为样本点。3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母a、b、c等表示，表示必然事件，表示不可能事件。4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母x、y、z等表示。5、 时间的表示有多种：（1） 用集合表示，这是最基本形式（2） 用准确的语言表示（3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系：如果属于a的样本点必属于事件b，即事件 a 发生必然导致

2、事件b发生，则称a被包含于b，记为ab;（2）相等关系：若ab且ba，则称事件a与事件b相等，记为ab。（3）互不相容：如果ab=，即a与b不能同时发生，则称a与b互不相容7、事件运算（1）事件a与b的并：事件a与事件b至少有一个发生，记为 ab。（2）事件a与b的交：事件a与事件b同时发生，记为a b或ab。（3）事件a对b的差：事件a发生而事件b不发生,记为 ab。用交并补可以表示为。（4）对立事件：事件a的对立事件（逆事件），即 “a不发生”，记为。对立事件的性质：。8、事件运算性质：设a，b，c为事件，则有（1）交换律：ab=ba，ab=ba（2）结合律：a(bc)=(ab)c=abc

3、 a(bc)=(ab)c=abc（3）分配律：a(bc)(ab)(ac)、 a(bc)(ab)(ac)= abac（4）棣莫弗公式（对偶法则）： 9、事件域：含有必然事件，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类称为事件域，又称为代数。具体说，事件域满足：（1）;(2)若a，则对立事件；（3）若an，n=1,2，则可列并 。10、两个常用的事件域： （1）离散样本空间（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域； （2）连续样本空间（如r、r2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步扩展而成的事件域。第二节 概率的定义及其确定方法1、概率的公理化定义：定义在事件域上的一个实值函数p（a）满足：（

4、1）非负性公理：若a，则p(a)0；（2）正则性公理：p()1（3）可列可加性公理：若a,，a2，a3互不相容，则有 ，即，则称p（a）为时间a的概率，称三元素（，p）为概率空间2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）它的基本思想是： （1）与考察事件a有关的随机现象可大量重复进行；（2） 在n次重复试验中，记n(a)为事件a出现的次数，称 fn(a)= ， 为事件a出现的频率；（3） 频率的稳定值就是概率；（4） 当重复次数n较大时，可用频率作为概率的估计值。3、确定概率的古典方法：它的基本思想是：（1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个

5、；（2） 每个样本点发生的可能性相等（等可能性）；（3） 若事件a含有k个样本点，则事件a的概率为p（a）=。4、确定概率的几何方法：它的基本思想是：（1） 如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）大小可用sn表示；（2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；（3） 若事件a为中某个子区域，且其度量为sa,则事件a的概率为p（a）= .5、确定概率的主观方法：一个事件a的概率p（a）使人们根据经验，对该事件发生的可能性大小所做出的个人信念。6、概率是定义在事件域上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不

6、满足三条公理就不能称为概率。第三节 概率的性质：1、 p()02、 有限可加性：若有限个事件a,，a2，a3互不相容，则有 ，3、 对立事件的概率：对任一事件a，有4、 减法公式（特定场合）：若ab,则p(ab)p(a)p(b)5、 单调性：若ab，则p（a） p（b）6、 减法公式（一般场合）：对任意两个事件a、b，有p(ab)p(a)p(ab)7、 加法公式：对任意两个事件a、b，有p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)。对任意n个事件a1，a2，an，有8、 半可加性：对任意两个事件a、b，有.9、 事件序列的极限：（1） 对中任一单调不减的事件序列，称为可列并为极限fn的极限事件

7、，记为。（2） 对中任一单调不增的事件序列，称为可列交为极限en的极限事件，记为。若,则称概率p是上连续的10、 概率的连续性：若p为事件域上的概率，则p既是上连续的，又是下连续的11、 若p是上满足p（）=1的非负集合函数，则p是可列可加性的充要条件是p具有有限可加性和下连续性。第四节 条件概率 1、条件概率：设a、b是两个事件，若p(a)0，则称p(a|b)=为事件b发生条件下，事件a发生的条件概率。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。2、乘法公式：（1）若p(b)0,p(ab)=p(b)p(a|b) （2）若p(a1a2an-1)0，则有。3、全概率公式：设事件互不相容

8、，且，如果，则对任一事件a有，i=1,2,，n。 。4、贝叶斯共公式：设事件，互不相容，且，如果p（a）0，,则，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（，），通常叫bi的先验概率。，（，），通常称为bi的后验概率。 第五节 独立性1、两个事件的独立性：如果满足，则称事件、是相互独立的，简称a与b独立。否则称a与b不独立或相依。若事件、相互独立，且，则有2、若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。3、多个事件的独立性：设有n个事件a1，a2，an，如果对任意的1ijkn，以下等式均成立则称此n个事件a1，a2，an相互独立

9、。4、若n个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。特别把其中部分换为对立事件后，所得诸事件亦相互独立。5、试验的独立性：假如实验e1的任一结果（事件）与试验e2的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。6、n重独立重复试验：假如一个试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n次独立重复试验。假如一个试验只可能有两个结果：a与，则称其为伯努利试验。假如一个伯努利试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n重伯努利试验。第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布1、 随机变量：定义在样本空间上的实值函数x=x()称为随机变量。（1） 离散随机变量：仅

10、取有限个或可列个值的随机变量（2） 连续随机变量:取值充满某个空间（a，b）的随机变量。这里a可为-，b可为+。2、分布函数：设x是一个随机变量，对任意实数x，称函数为x的分布函数，记为xf(x)。分布函数具有如下三条基本性质：（1） 单调性：f（x）是单调非减函数，即对任意的x1x2,有f(x1)f(x2)；（2） 右连续性：f（x）是x的右连续函数，即对任意的x0，有，即f(x0+0)=f(x0)；（3） 有界性:对任意的x，有0f(x) 1，且f(-)=0，f(+)=1可以证明：具有上述三条性质的函数f（x）一定是某一个随机变量的分布函数。如果将x看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 f

11、(x)的值就表示x落在区间 内的概率3、离散型随机变量的概率分布列: 若离散型随机变量的可能取值为xn(n=1,2,)则称x取xi的概率为pi=p(xi=)p(x=xi)，i=1,2,，则称上式为离散型随机变量的概率分布列，简称分布列。有时也用列表的形式给出：。分布列具有两条基本性质： （1） 非负性;， （2）正则性:。离散随机变量x的分布函数，它是有限级或可列有限级阶梯函数。离散随机变量x取值于区间（a，b 上的概率为p(axb)=f(a)-f(b).常数c可看作仅取一个值的随机变量x，即p(x=c)=1，它的分布常称为单点分布或退化分布。4、连续随机变量的概率密度函数: 记连续随机变量x

12、的分布函数是f(x)，若存在非负可积函数p（x），对任意实数x，有，则称为连续型随机变量。p（x）称为的概率密度函数，简称密度函数。密度函数p（x）具有下面2个基本性质：（1） 非负性:;（2） 正则性：。5、离散分布：分布在离散场合可以是分布列或分布函数；连续分布：分布在连续场合可以是密度函数或分布函数。存在既非离散又非连续的分布。6、设随机变量x的分布函数f(x)，则可用f(x)表示下列概率： （1）p(xa)= f(a)； （2）p(xa)=1-p(xa) =1-f(a)；(4) p(x=a)= p(xa)- p(xa)= f(a)- f(a-0);(5) p(xa)=1- p(xa)=

13、1- f(a-0);(6) p(|x|a)=p(-axa)= p(x0,有,或。切比雪夫不等式给出随机变量取值的大偏差（指事件|x-e(x)| ）发生的概率的上限，该上限于分布的方差成正比。4、 随机变量的标准化：对任意随机变量x，如果x的数学期望和方差存在，则称 为x的标准化随机变量，此时有e(x*)=0，var（x*）=1。第四节 常用离散分布1、 二项分布：设随机变量x的概率分布列为， ，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。（1） 背景： 重贝努里试验中成功的次数服从参数为，的二项分布。记为，其中p为一次伯努利试验中成功发生的概率。（2） n=1时的二项分布b（1，p）称为二

14、点分布，或0-1分布，（0-1）分布是二项分布的特例。当xb（1，p）时，x可表示一次伯努利试验中成功的次数，它只能取0或1。（3） 二项分布b（1，p）的数学期望和方差分别是：e(x)=np，var（x）=np（1-p）。（4） 若，则y=n-xb（n，1-p），其中y=n-x是n重伯努利试验中失败的次数。2、 泊松分布：（1） 设随机变量的概率分布列为，k=0,1,2，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为xp()，其中参数。（2） 背景：单位时间（或单位面积、单位产品等）上某稀有事件（这里的稀有事件是指不经常发生的事件）发生的次数服从泊松分布p()，其中为该稀有事件发生的强度。（3） 泊

15、松分布p()的数学期望和方差分别是：e(x)= ,var（x）=。（4） 二项分布的泊松近似（泊松定理）：在n重伯努利试验中，记事件a在一次试验中发生的概率为pn（与试验次数n有关），如果当n+时，有npn，则。3、 超几何分布（1） 若x的概率分布列为，k=0,1，r。则称x服从超几何分布，记为xh（n，n,m）,其中r=minm，n，且mn，nn。n，n,m均为正整数。（2） 背景：设有n个产品，其中有m个不合格品。若从中不放回的随机抽取n个，则其中含有的不合格品的个数x服从超几何分布h（n，n,m）。（3） 超几何分布h（n，n,m）的数学期望和方差分别是:e（x）=,var（x）=。（

16、4） 超几何分布的二项近似：当nn时，超几何分布h（n，n,m）可用二项分布b（n，m/n）近似，即，其中p=m/n。（5） 实际应用中，再不返回抽样时，常用超几何分布描述抽搐样哦泥中不合格品数的分布；在返回抽样时，常用二项分布b（n，p）描述抽出样品中不合格聘书的分布；当批量n较大，而抽出样品数n较小时，不返回抽样可近似看成返回抽样。4、 几何分布：（1） 若x的概率分布列为p（x=k）=（1-p）k-1p，k=1,2，则称为x服从几何分布，记为xge（p），其中0pm+n|xm)=p(xn)。5、 负二项分布：（1） 若x的概率分布列为，k=r，r+1，。则称x服从负二项分布或巴斯卡分布，

17、记为xnb（r，p），其中r为正整数，0p1。（2） 背景：在伯努利试验序列中，成功事件a第r次出现时的试验次数x服从负二项分布nb（r，p），其中p为每次试验中事件a发生的概率。（3） r=1时的负二项分布为几何分布，即nb（r，p）=ge（p）。（4） 负二项分布nb（r，p）的数学期望和方差分别是:e(x)=r/p,var(x)=r(1-p)/p2。（5） 负二项分布的随机变量可以表示成r个独立同分布的几何分布随机变量之和，即若xnb（r，p），则x=x1+x2+xr，其中x1，x2，xr是相互独立、服从几何分布ge（p）的随机变量。6、 常用离散分布表分布列pk 期望方差0-1分布pk

18、=pk（1-p）1-k，k=0,1p二项分布pk=k=0,1，nnp泊松分布pk=k=0,1，几何分布pk= p（x=k）=（1-p）k-1p，k=1,2，超几何分布pk= k=0,1，r。r=minm，n负二项分布nb（r，p）pk= k=r，r+1，。r/pr(1-p)/p2第五节 常用连续分布1、 正态分布(1) 若x的密度函数和分布函数分别为，-x+; ,-x+;则称x服从正态分布，记作xn（，2），其中参数-0。（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量（服从正态分布的变量）。测量误差就是量具偏差、测量环境的影响、测量技术的的影响等因素随机

19、因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。（3） 关于参数：l 是正态分布的数学期望，即e（x）=，称为正态分布的位置参数。l 是正态分布的对称中心，在的左侧和p（x）下的面积为0.5；在的右侧和p（x）下的面积为0.5；所以也是正态分布的中位数l 若xn（，2），则x在离越近取值的可能性越大，离越远取值的可能性越小关于参数：l 2是正态分布的方差，即var（x）=2；l 是正态分布的标准差，越小，正太分布越集中；越大，正态分布越分散；又称为正态分布的尺度参数l 若xn（，2），则其密度函数p（x）在处有两个拐点（4） 标准正态分布：称=0，=1时的正态分布n（0,1）；记u为标准正态变

20、量，(u)和(u)为标准正态分布的密度函数和分布函数。(u)和(u)满足：l (-u)= (u)l (-u)=1- (u)。对u0, (u)的值有表可查（5） 标准化变换：若xn（，2），则u=（x-）/n（0,1），其中u=（x-）/称为x的标准化变换（6） 若xn（，2），则对任意实数a与b，有p（xb）=，p（ax）=1-, p（axb）=-。（7） 正态分布的3原则：设xn（，2），则p（|x-|0。（2） 背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击来到的时间x（寿命）服从指数分布。（3） 指数分布exp（）的数学期望和方差分别是e(x)=,var(

21、x)=。（4） 指数分布的无记忆性：若xexp（），则对任意s0,t0,有p（xs+t|xs）=p(xt)。4、 伽玛分布（1） 伽玛函数：称（）=为伽玛函数，其中参数0。伽玛函数具有如下性质： （1）=1； （1/2）=； （+1）=（）； （n+1）=n（n）=n！（n为自然数）。（2） 伽玛分布：若x的密度函数为即称x服从伽玛分布，记作xga（，），其中0为形状参数，0为尺度参数。（3） 背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇到第k次冲击时即告失效，则第k次冲击来到的时间x（寿命）服从形状参数为k的伽玛分布ga（k，）。（4） 伽玛分布ga（，）的数学期望和

22、方差分别为e（x）=，var（x）=。（5） 伽玛分布的两个特例: =1时的伽玛分布就是指数分布，即ga（1，）= exp（）。 称=n/2，=1/2时的伽玛分布为自由度为n的2（卡方）分布，记为2（n），其密度函数为 ，2（n）分布的期望和方差分别是e(x)=n，var（x）=2n。（6） 若形状参数为整数k，则伽玛变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和，即若xga（k，），则x=x1+x2+xk是相互独立且都服从指数分布exp（），的随机变量。5、 贝塔分布(1) 贝塔函数:称b（a，b）=为贝塔函数，其中参数a0,b0。贝塔函数具有如下性质：b（a，b）= b（b，a）；b（a，b）

23、=。(2) 贝塔分布：若x的密度函数为， 则称x服从贝塔分布，记作xbe（a，b），其中a0,b0都是形状参数。(3) 背景：很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、射击的命中率等都是在区间（0，1）上取值的随机变量，贝塔分布be（a，b）可供描述这些随机变量之用。(4) 贝塔分布be（a，b）的数学期望和方差分别是，(5) a=b=1时的贝塔分布就是区间（0,1）上的均匀分布，即be（1,1）=u（0,1）。6、常见连续分布表密度函数p（x）期望方差正态分布，-x0柯西分布cau(, ),-x0第六节 随机变量函数的分布1、 设连续随机变量x的密度函数为px（x），y=g（x）。（1） 若y=g(x)严格单调，其反函数h（y）有连续导函数，则y=g（x）的密度函数为，其中a=ming(-), g(+),b=maxg(-), g(+)。（2） 若y=g(x)在不重叠的区间i1,i2，上逐段严格单调，其反函数h1（y），h2