实变函数复习题(学生用)new

1、实变函数复习题 一、填空题1. 设,则 . 2. 若, , 则 。3. 给出与之间的一一对应关系 .4. 设, 则 。5. 设，写出的所有的构成区间 。6. 设,若 ,则称是开集.7. 设,若 ,则称是闭集.8. 设为可测集，且，则 。9. 设为的内点，则 。(填大于、等于或小于)10. 设是有理数集，则 。11. 设I为中的开区间，则 。12. 设C是Cantor集，则 。13. 叙述可测函数的四则运算性 。14. 叙述可测函数与简单函数的关系 。15. (鲁津定理)设是上有限的可测函数,则,存在闭子集,使在 上是连续函数,且.16. 叙述伯恩斯坦定理 。17叙述可测集与开集的关系 。18.

2、 叙述测度的可数可加性 。19. 叙述叶果洛夫定理 。20. 叙述在可测集上几乎处处收敛于的定义 。 21. 叙述中开集的结构定理 。22. 叙述中的集合是Lebesgue可测集的卡氏定义(即C.Caratheodory定义) 。23. 叙述测度的可数可加性 。24. 叙述可测函数的定义 。25. 叙述F.Riesz定理(黎斯定理) 。 二、单选题1. 是实数全体，则是 ( )A. 可数集； B.不可数集； C.有限集； D.不可测集.2. 有限个可数集的并集是 ( )A.可数集； B.不可数集； C.有限集； D.以上都不对.3. 若是有限集或可数集,是不可数集, 则 ( )A. 是可数集；

3、 B. 是不可数集；C. ； D. .4. 设是一族开集, 则一定是 ( )A. 开集; B. 闭集; C. 型集; D. 开集，也是闭集.5. 点集ERn的全体边界点所成的集合称为E的 ( )A. 开核; B. 边界; C. 导集; D. 闭包.6. 设是一族闭集,则一定是 ( ) A.开集; B.闭集; C.型集; D. 开集，也是闭集.7. 设是一列闭集,则一定是 ( )A.开集; B.闭集; C.型集; D. 开集，也是闭集.8. 设是中有理数全体，则 ( )A.0; B.; C.1; D.不存在.9. 关于Cantor集,下述说法不成立的是 A. 无内点; B. 中的点都为孤立点;

4、C. 中的点都为聚点; D. 是闭集.10. 设是任一可测集, 则 ( ) A.是开集; B是闭集;C.,存在开集,使得; D是型集或型集.11. 设是一列可测集合,且,则有 ( )A.; B. ;C. ; D. .12. 设是一列可测集合,且,则有 ( )A.; B. ;C. ; D. .13. 关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 ( ) A. 简单函数一定是可测函数; B. 简单函数列的极限是可测函数; C. 简单函数与可测函数是同一概念; D. 简单函数列的极限与可测函数是同一概念.14. 设是可测集上的几乎处处有限的可测函数列, 则下述命题错误的是( )A是可测函数; B是可测函

5、数;C. 若(依测度收敛), 则是可测的; D若(依测度收敛), 则 a.e. 于E.15. 若是连续函数，则它必是. ( )A. 可测函数； B. 单调函数； C.简单函数； D.连续函数列的极限.16. 设其中E是0,1的不可测集，则下列函数在0, 1可测的是 ( ) A.； B.； C.； D.。17. 设是可测集上的可测函数,则对任意的实数,有 ( ) A是闭集; B是开集; C. 是零测集; D以上都不对.18. 设是定义在上的实值函数.令, , 则下述哪个说法不成立的是 ( )A与都是定义上的非负函数;B,; C. ;D在上可测与都在上可测. 19. 设是可测集上的几乎处处有限的可

6、测函数,则下述命题中错误的是( ) A是可测函数; B是可测函数;C. 若,则是可测的; D若,则.20. 设在可测集上,. 则 ( )A.,; B. ,; C. 于; D. .21. 设是可测集上的可测函数,则是 ( ) A. 在上基本一致连续; B. 在上几乎处处连续; C.存在简单函数列使于; D. .22. 集合E的全体内点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包23. 集合E的全体聚点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包24. 集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包25. E-E

7、所成的集合是 ( ) A、开核 B、边界 C、外点 D、E的全体孤立点26. E的全体边界点所成的集合称为E的 ( ) A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包27. 设是上有理点全体，则下列各式不成立的是（ ）（A） (B) (C) =0，1 (D) 28. 若是一开集列，则是： （ ） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断29. 若是一开集列，则是： （ ） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断30.若是一闭集列，则是： （ ） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断31.若是一闭集列，则是： （ ） A、开集B、闭集C、既非开集又非闭集D、无法判断 三、判

8、断题 1、任意集合都有子集 。 （ ）2、E的孤立点必然属于E. （ ）3、当充分大以后都有. （ ）4、 若，且， a, e于E（ ）5、函数在上可测，当且仅当对于每一个实数,集合可测. （ ）6、若，则一定是可数集 （ ）7、设是中的紧集，则是中的有界闭集. ( )8、凡博雷尔集都是可测集. ( )9、若在可测集E上可测，则也可测。 （ ）10、若，且， a, e于E（ ）11、设都可测，则也可测，且。（ ）12、若在可测集E上可测，则在E的任意可测子集上也可测（ ）。13、若在可测集E上可测，则在E的任意子集上可测（ ）14、设A,B是两个集合，则。 （ ）15、和都是闭集。 （ ）16

9、、对任意，都存在。 （ ）17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。 （ ）18、若是无限集，且，则是可数集。 （ ） 19、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对某个实数， 为可测集。 （ ）20、设是零测集，是上的实函数，则为上的可测函数。（ ）21、若在可测集E上可测，则也可测。 （ ）22、设是可测集上的非负简单函数，则一定存在。（ ）23、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则一定存在。 （ ）四、证明题1. 证明：自然数集与奇数集对等。2. 证明在圆周上去掉一点后余下的点所成之集与实数集对等。3. 证明：由直线上互不相交的开区间所组成的集合至多