邱谦信号分析与处理作业

1、信号分析与处理作业邱谦 研二12班 104972101995 信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一,对于确定性信号,可以用Fourier 变换来考察其频谱性质,而对于广义平稳随机信号,由于它一般既不是周期的,又不满足平方可积,严格来说不能进行Fourier 变换,通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况,可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息,应用极其广泛。功率谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，涉及的问题很多。结合matlab，功率谱估计可以分为经典谱估计法与现代谱估计法。经典谱估计经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接

2、法与间接法。直接法是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。间接法先计算N点样本数据的自相关函数，然后取自相关函数的傅里叶变换，即得到功率谱的估计。周期图法Schuster 于1899 年首先提出周期图法,也称直接法,取平稳随机信号X ( n) 的有限个观察值x (0) , x (1) , ,x ( N - 1) 对功率谱S () 进行估计: 其中XN(w)是有限长序列XN = (n) (n = 0 ,1 ,2 ,N - 1) 的傅氏变换。这个方法的主要优点是方法简便,

3、计算效率高,不需要先估计自相关函数。周期图法的缺点是谱估计的方差不会随着N 的增大而趋于0 也就是说,在记录的信号长度一定的条件下,要保证足够高的谱分辨率,谱估计的方差会很大,谱的正确性会很差。Matlab代码示例：clear;Fs=1000; %采样频率n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n);window=boxcar(length(xn); %矩形窗nfft=1024;Pxx,f=periodogram(xn,window,nfft,Fs); %直接法plot(f,10*log10(Pxx

4、);仿真结果：周期图法的改进之Bartlett法 Bartlett 谱估计法的主要目标是改善方差,基本原理是:将长度为N 的数据分为L 段,每段长度为M,先对每段数据用周期图法进行谱估计,然后对L 段求平均得到长度为N 的数据的功率谱。由上述原理可得功率谱为:Bartlett法的分辨率比周期图法低，他的改善是以牺牲分辨率为代价的。Matlab代码示例：clear;Fs=1000;n=0:1/Fs:1;xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n);nfft=1024;window=boxcar(length(n); %矩形窗noverlap=

5、20; %数据无重叠p=0.9; %置信概率Pxx,Pxxc=psd(xn,nfft,Fs,window,noverlap,p);index=0:round(nfft/2-1);k=index*Fs/nfft;plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1);plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1);figure(1)plot(k,plot_Pxx);pause;figure(2)plot(k,plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc);仿真结果：周期图法的改进之Welch法Welch 谱估计法是对Bart

6、lett 法的改进, 旨在保持Bartlett 法方差性能的同时,改善其分辨率,又称加窗交叠平均法,其基本原理是:对数据分段时,使每一段有部分重叠,然后对每一段数据用一个合适的窗函数进行平滑处理,最后对各段谱求平均。由上述原理可得功率谱为: 其中U = ( n) ,( n) 是窗函数。因为Welch 法允许各段数据交叠,所以数据段数L 会增加,使方差得到更大的改善,但是数据的交叠有减小了每一段数据的不相关性,使方差的减小不会达到理论程度。相对于分段平均周期图法，加窗平均周期图法可以减小频率泄漏，增加频峰的宽度。Matlab代码示例：Fs=600;n=0:1/Fs:1;xn=cos( 2* pi

7、* 40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn( size( n) ) ;nfft=512;window=boxcar( 100) ; %矩形窗window1=hamming( 100) ; %海明窗window2= blackman( 100) ; %blackman 窗noverlap =20; %数据无重叠range=oneside; %频率间隔为0 Fs/2,计算一半的频率Pxx,f=pwelch( xn,window,noverlap,nfft,Fs,range);Pxx1,f=pwelch( xn,window1,noverlap,nfft,Fs,range);Pxx

8、2,f=pwelch( xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range);plot_Pxx=10*log10(Pxx);plot_Pxx1=10*log10(Pxx1);plot_Pxx2=10*log10(Pxx2);figure(1)plot(f,plot_Pxx) ;figure( 2)plot(f,plot_Pxx1) ;figure(3)plot(f,plot_Pxx2) ; plot_Pxx1=10*log10( Pxx1);plot_Pxx2=10*log10( Pxx2);figure(1)plot(f,plot_Pxx) ;figure(2)plot(f,

9、plot_Pxx1) ;figure(3)plot(f,plot_Pxx2) ;仿真结果：现代谱估计 现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。 参数模型谱估计是以参数模型为基础的现代谱估计是把随机序列看成是由一个具有特定参数和结构的信源模型发出的。如果模型结构选择得正确，就可以从截取的一段样本中推算出模型的参数，从而可以预测或外推出窗外的数据是什么。显然，模型的选择越正确，参数的测算越准确，窗外数据的预测就越准确，所得的谱估计也就越精确。常用的模型有AR模型，MA模型，ARMA模型等。在MATLAB中

10、，主要有基于AR模型的功率谱估计pyulear函数、pburg函数、pcov函数、pmov函数和pmem函数。基于非参数建模的功率谱估计是现代功率谱估计方法。该方法主要基于矩阵特征分解的功率谱估计，它将相关矩阵的特征向量空间分解为信号子空间和噪声子空间，由此衍生出特征向量与MUSIC算法的信号功率谱估计。其中特征向量谱估计与MUSIC 算法谱估计都是基于噪声子空间的功率谱估计。在MATLAB中，有可以利用函数pmusic来实现MUSIC 算法的功率谱估计；也有可以利用函数peig来实现特征向量的功率谱估计。 现代谱估计与经典谱估计的主要区别就在于，现代谱估计一般采用信号模型法，信号模型法将原始

11、信号视为白噪声通过一系统的输出信号，通过对输出信号的观测，按照一定的准则，求出相应的系统函数，这样再由输入白噪声和以求得的系统函数就很容易得到输出信号的功率谱。有已知白噪声和系统函数求的的输出序列，实际上是对原始观测到的输出信号的两端进行了估计或延拓。数据长度加宽以后，频谱分辨率会得到改善！ 短时傅里叶变换里的加窗是要综合考虑信号的频谱分辨率和时域分辨率的需要，与谱估计的目的不一样，谱估计是要得到最大的频谱分辨率。对于短时傅里叶变换，考虑极限情况，当窗函数为无线长的矩形序列时（相当于普通的傅里叶变换），则频谱分辨率无穷大（理论上原始信号的全部频率都可以知道），而时域分辨率为0（无法确定某个频率

12、的信号出现在哪个时间段）。反之，若窗函数为冲激函数，则频谱分辨率为0，而时域分辨率却为最大（有短时傅里叶定义代入冲激窗函数，则该时刻的频率准确可知）！这种极限情况都不满足时频分析的目的，这就要求考虑合适长度的窗函数。各种谱估计适用的范围：周期图法应用比较广泛，主要是由于它与序列的频谱有对应关系，可以采用FFT快速算法来计算。但是，这种方法需要对无限长的平稳序列进行截断，相当于对其加矩形窗，使之成为有限长数据。同时，这也意味着对自相关函数加三角窗，使功率谱与窗函数卷积，从而产生频谱泄漏，容易使弱信号的主瓣被强信号的旁瓣所淹没，造成频谱的模糊和失真，使得谱分辨率较低。这种方法适用于长信号序列的情况，在