高考考前数学专题辅导统计与概率

1、金太阳新课标资源网 高考考前数学专题辅导统计与概率一、知识点归纳：(一)统计部分1.标准差: 方差:在频率直方图中计算众数、平均数、中位数：众数= 样本数据的频率分布直方图中_的横坐标；中位数 频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该_；平均数= 频率分布直方图中_.2.最小二乘法求回归直线方程： (二) 概率部分1、条件概率：（1）条件概率：设A和B为两个事件且P(A)0，称为在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率 =特殊分布的分布列：二项分布：在n次独立重复试验中，事件A恰好发k次的概率P（=k）=记作： B(n，p),则；D(X)= .3、性质：若

2、X是随机变量,为常数, 则是随机变量,且（）；（）二、经典例题集锦:1.频率分步直方图1.为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的名志愿者中随机抽样名志愿者的年龄情况如下表所示（）频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在岁的人数； 20 25 30 35 40 45 年龄 岁（）在抽出的名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取人参加中心广场的宣传活动，从这人中选取名志愿者担任主要负责人，记这名志愿者中“年龄低于岁”的人数为，求的分布列及数学期望分组（单位：岁）频数频率合计 20 25 30 3

3、5 40 45 年龄 岁解：（）处填，处填；补全频率分布直方图如图所示.名志愿者中年龄在 的人数为 人 6分（）用分层抽样的方法，从中选取人,则其中“年龄低于岁”的有人，“年龄不低于岁”的有人 故的可能取值为，； ， ， 13分要会画频率分布直方图，并通过直方图，能计算数据的平均数和众数和中位数2.几何概型2. 行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘)一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A区域中一等奖，奖10元，落在B、C区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖一位顾客一次购物消费268元，ABC() 求该顾客中一等奖的概率；(

4、) 记为该顾客所得的奖金数，求其分布列；() 求数学期望(精确到0.01)() 设该顾客中一等奖为事件 （）的可能取值为20，15，10，5，0 ，（每个1分）所以的分布列为:略（） 3古典概型1）“组合”型古典概型3.（2011西城二模理17）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（）求选出的4名选手均为男选手的概率.（）记为选出的4名选手中女选手的人数，求的分布列和期望.解：（）事件表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知 . （）的可能取值为. ， ， . 的分布列：略2）“排列”型古典概型4

5、. （北京2008年高考试题）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率 请同学们一定要会做了（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列解：（）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是（）随机变量可能取的值为1，2事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则所以，的分布列:略3）摸球（综合）问题（有放回和无放回）5. 一个盒子中装有5张卡片，

6、每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.（）从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率；（）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率；（III）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数的分布列和期望.解：（）因为1,3,5是奇数，2、4是偶数，设事件A为“两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数” （）设表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为奇数”， 由已知

7、，每次取到的卡片上数字为奇数的概率为， 则. 8分（）依题意，的可能取值为. 所以的分布列为:略. 6. 某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分（I）求一次摸奖中一等奖的概率；（II）求一次摸奖得分的分布列和期望解：（I）每次有放回地抽取，取到红球的概率为；取到白球的概率为；取到黑球的概率为； 一次摸奖中一等奖的概率为 （II）设表示一次摸奖的得分，则可能的取值为0，1，2 ； 一次摸奖得分的分布列为:略期望为 注意: 必需写7（2011年西城期末理

8、17）一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为.（）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取3次，求恰有次抽到号球的概率；（）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列.解：（）设先后两次从袋中取出球的编号为，则两次取球的编号的一切可能结果有种， 其中和为的结果有，共种，则所求概率为. （）每次从袋中随机抽取个球,抽到编号为的球的概率.所以，次抽取中，恰有次抽到6号球的概率为（）随机变量所有可能的取值为. 9分， ， . 所以，随机变量的分布列为:略4.强行终止的概率问题8、（20

9、11东城二模理17）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为（）求的值；（）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望解：（）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故， 解得或 又，所以 （）依题意知的所有可能取值为2，4，6， ， ，所以随机变量的分布列为：略所以的数学期望9. 某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”顾客从中任意取出1个球，

10、记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖（）求分别获得一、二、三等奖的概率；（）设摸球次数为，求的分布列和数学期望解：（）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C 1分则P(A)=， P(B) 三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况P(C)（）设摸球的次数为，则 8分， ， ，（各1分）故取球次数的分

11、布列为:略(约为2.7) 13分5.给出概率考查“事件的相互独立”10（2011西城一模理）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.（）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（）求的值；（）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有且相互独立.（）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为. （）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有， 所以，. （）的所有可能取值为. 所以， = 分布列为：略所以，. 6独立重复试验

12、与古典概率综合考查11（2011朝阳一模理17）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 知教师甲投进每个球的概率都是（）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？ 解：（）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知XB(6，). ()X的分布列为：略所以=.或因为XB(6，)，所以. 即X的数学期望为

13、4 5分 （）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A， 则答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为 10分（）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B 则.即教师乙在这场比赛中获奖的概率为.显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等12(2011海淀一模). 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.() 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；()随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；() 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.解：()设随机选取一件产品

14、，能够通过检测的事件为 1分事件等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” 2分 4分() 由题可知可能取值为0,1,2,3. ,. 8分布列：略()设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为 10分事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，. 13分7独立重复试验与“独立事件”综合考查13、（2011丰台二模理16）.张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，HCA1A2B1B2L1L2A3

15、（）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由解：（）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则 4分所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为（）依题意，的可能取值为0，1，2 ， ， 随机变量的分布列为：略 （）设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以 因为，所以选择L2路线上班最好 14. (2011门头沟一模理17) 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行

16、销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.（）求该产品不能销售的概率；（）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E(X).解：（）记“该产品不能销售”为事件A，则. 所以，该产品不能销售的概率为. （）由已知，可知X的取值为. ， ，. 所以X的分布列为：略 E(X)8.条件概率15（2007年山东理18）设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方程实根的个数(重根按一个计).(I)求方程

17、 有实根的概率;(II) 求的分布列和数学期望;(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程 有实根的概率.解：:（I）基本事件总数为，若使方程有实根，则，即。当时，；当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，,目标事件个数为 因此方程 有实根的概率为(II)由题意知，则，故的分布列为：略 的数学期望(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程 有实根” 为事件N，则，.9.创新问题16.（2011年石景山期末理16）某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为

18、，“实用性”得分为，统计结果如下表：作品数量 实用性1分2分3分4分5分创新性1分131012分107513分210934分1605分00113（）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（）若“实用性”得分的数学期望为，求、的值解：（）从表中可以看出，“创新性为分且实用性为分”的作品数量为件，“创新性为分且实用性为分”的概率为 4分（）由表可知“实用性”得分有分、分、分、分、分五个等级，且每个等级分别有件，件，件，件，件5分“实用性”得分的分布列为：又“实用性”得分的数学期望为，10分作品数量共有件， 解得， 17.（2011海淀查漏补缺题）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人视觉视觉记忆能力偏低中等偏高超常听觉记忆能力偏低0751中等183偏高201超常0211由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为（）试确定、的值；（）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；（）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变