函数的奇偶性PPT精品课件.ppt

1、函数的奇偶性,点此播放讲课视频,在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子,除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称,而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像,点此播放讲课视频,观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢,1,1,f(x)=x2,1,2,例如：对于函数f(x)=x3,有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1,f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8,f(-x)=(-x)3=-x3,f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x,x,x,结论:当自变

2、量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x,点此播放讲课视频,x,x,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4,而函数f(x)=x2 ， 却是另一种情况，如下,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1,f(-x)=(-x)2=x2,f(-1)=f(1) f(-2)=f(2) f(-x)=f(x,结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x,而函数f(x)=x2 ， 却是另一种情况，如下,函数奇偶性的定义,偶函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数,

3、奇函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数,对于奇、偶函数定义的几点说明,2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件,3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立,1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性,练习: 说出下列函数的奇偶性,f(x)=x4 _,f(x)=x _,f(x)=x -2 _,f(x)=x5 _,f(x)=x -3 _,f(x)= x -1 _,奇

4、函数,奇函数,奇函数,奇函数,偶函数,偶函数,对于形如 f(x)=x n ( ) 的函数，在定义域R内: 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数,例1. 判断下列函数的奇偶性,1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a,解: 定义域为R f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) f(x)为奇函数,解: 定义域为R f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a =3x4+6x2 +a 即 f(-x)= f(x) f(x)为偶函数,说明：用定义判断函数奇偶性的步骤,先求出定义域，看定义域是否关于原点对称

5、,再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立,思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗,x,y,0,1,2,f(x)=2x+1,1,分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1 f(-x) - f(x)且f(-x) f(x) f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称,1) f(x)= (2) f(x)=x2 x- 4 , 4,解: 定义域不关于原点 对 称 或 f(-4)=(-4)2 =16; f(4)在定义域里没有意义. f(x)为非奇非偶函数,解: 定义域为 0 ,+)

6、 定义域不关于原点对称 f(x)为非奇非偶函数,思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗,思考3,在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢,有。例如：函数 f(x)=0,是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明,x,y,0,1,f(x)=0,1,奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数,根据奇偶性, 函数可划分为四类,本课小结,两个定义: 对于函数f(x)定义域内的任意 一个x,两个步骤:（判断函数的奇偶性,如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数,1）先求出定义

7、域，看定义域是否关于原点 对称 （2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立,练一练,判断函数的奇偶性,点此播放讲课视频,作业,课本 P44页 A组 10,课外思考题,1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性: (1). F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x,2.判断函数 的奇偶性,3. 已知函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x);当x0,f(x)等于(,x(1-x) B. x(1-x) C. -x(1+x) D. x(1+x,4.已知函数f(x),g(x)均奇函数，F(x) = a f(x) + b g(x) ,(a,b不为0的常数)则F