空间向量的知识点归纳的总结

1、实用标准文案 空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ?bOB?a?OAAB?a?bBA?OB?OA?)?a(ROP? ;?ab?a?b? 运算律：加法交换律：?)b?cc?(ab)?a?( 加法结合律： ? ?b(a?b)?a 数乘分配律： 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或

2、重合，那么这些向量也叫做共线?bba/a 。平行于向量或平行向量，记作?bbbaaa的有向线段所在的直线可能是同当我们说向量）时，表示、共线（或、/ 一直线，也可能是平行直线。?bbbb0aaa。 （，），使/2（）共线向量定理：空间任意两个向量、存在实数 4. 共面向量 1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。（ 说明：空间任意的两向量都是共面的。pb,aba共面的条件是存在实数不共线，）共面向量定理：如果两个向量（2与向量p?xa?ybyx,。使 pcb,a,，存在一个5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量 p?xa?yb?zcz,yx,。唯一的有序

3、实数组 ，使a,b,ca,b,ccb,a,叫做基向量，空若三向量叫做空间的一个基底，不共面，我们把 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 PC,ABO，都存在唯一的三个有序实数是不共面的四点，则对空间任一点推论：设 OP?xOA?yOB?zOCzy,x。 ，使 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： A(x,y,z)xyzO?，使在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组 精彩文档 实用标准文案 A)(x,y,zxyzO?zkyi?OA?xi?中的坐标，叫作向量在空间直角坐标系，有序实数组xz)z,y,A(xy 叫纵坐标，记作叫横坐标，叫竖坐标。，

4、 1，这个基底叫单位正交基底，用2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为（,ki,j 表示。 3）空间向量的直角坐标运算律：（)?,ab?a)b(b,b,b)a?b?(a?b,a?ba?(a,a, ，则，若 321112223133?)a,?aa,)(R?b,a?b)a?(,a?b?(a?ba ， 313121322ba?a?b?abab? ， 322131?)?(?b,ab?a?Rb,a?ba/ ， 3211320a?b?ab?ab?ab? 。 321312)zy,B(x,A(x,y,z)z?y,z(AB?x?x,y ，则若。 211212122211一个向量在直角坐标系中的坐标等于

5、表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标。 )bb?(a,a)b,b,a?(a ，（4）模长公式：若322113 222222bbb?a?a?|b|a|?|?b?b?a?a?a ，则 313212 b?a?ababba?321213?cosa?b 。（5）夹角公式： |b|a|?| 222222b?bb?a?a?a312321)x,y,z,A(x,yz)B( （6）两点间的距离公式：若，211122 2 222)?y?y)z?(zAB|AB|?(x?x)(? ，则 112212 222)y)(?z?)(x?xz?(y?d? 或12221BA,1 7. 空间向量的数量积。Ob,a，作，

6、在空间任取一点（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量?bAOB?abaOA?,OB0?a,b?a,b?，且规定记作；叫做向量与的夹角，则，? ?a,bb?baa?b?,a?a,b 与互相垂直，记作：。；若显然有，则称 2 OA?aOAa|a| ，则有向线段的长度或模，的长度叫做向量2。（）向量的模：设记作： ?cos?a,b|a|?|b|ba,ab, 的数量积，记叫做）向量的数量积：已知向量（3，则?bba?a?,b|?b|?cos?a|a| 作，即。 ）空间向量数量积的性质：（4 20a?b?b?a?,?|ea?acosaeaa|a? 。 精彩文档 实用标准文案 ）空间向量数量积运算律

7、：（5?a?a?b?b)?(ba?b)(?a)?b?a( 。（交换律）c?a?b?aa?(b?c)? 。（分配律） ：空间向量的坐标运算：（6） 1.向量的直角坐标运算 b)b,b,(a,a,a)b(a 则，设321213bb),a?b)(a?b,a?b(a?b,a?b,a?baa ；(1) ； (2) 311331322122?bbab,?a)aab(,a?aaa (R)； (4) (3)； 313123122OA?OBAB)zz?x,y?y,(x)z,)(x,y,z(x,y . ，则，A2.设B= 112122211221rr ),z)b?(x,y?a(x,y,z ，则3、设221112r

8、rrrrrrrrr ?0?xyy?zzx0?ba?b?a0)a?b(bbPa. ； 211221ab?abab?322113b)b(b,ba(,a,a),a?aosc?,b，. ，则4.夹角公式 设 311232222222?b?b?ba?aa321132 5异面直线所成角rr rr|zz?yy?|xx|?b|a?221121?rr|,bcoscos?|a=. 222222|ba|?|z?x?yx?y?z?221121n?p 6平面外一点的距离到平面?nAB 的一条斜线，已知的一个法为平面为平面 ?|AB?|n?A?d 向量，的距离为：到平面 |n 【典型例题】 ? ABCD标出化简结果的向量

9、。，化简下列向量表达式，例1. 已知平行六面体DBAC?BCAB?AAAD?AB? ； ；11D C ?)AAAD?CC?(AB?ADAB? 。； 32BA M G D C ABOC,A,B 和不共线的三点，问满足向量式：例2. 对空间任一点CB,P,A,yx?z?1zOCyOB?xOAOP? 是否共面？（其中 ）的四点 OABCBCOAN,OB,ACM,的中点，分别是对边已知空间四边形，其对角线，例3. GN2MNGMG?OCOB,OA, ，用基底向量点在线段上，且表示OG。 向量 精彩文档 实用标准文案 OABC54BC?6?8AB?AC?OA45?OAC?，中，例4. 如图，在空间四边形

10、 BCOA60?OAB 与，求的夹角的余弦值。 O A C B 45AC?135?OA,?OA,AC，说明：由图形知向量的夹角易出错，如易错写成 切记！BCDABCD?ABCACDBE4ABF?BC?为中，与例5. 长方体，的交点，为111111111 CBBBBE?AF 的交点，又。与，求长方体的高11 空间向量与立体几何练习题z 一、选择题 DABC?ABCD2 的正方体1.如图，棱长为在空间直角坐标DC111111AB11DD,BCEFF,E ）分别是的坐标为（ 中点，则系中，若1F1)?(?1,2,(1,2,?1) B.A. 1)?(1,?2,(?1,?2,1) C. D.CyD(O)

11、BAE11ABDFFBECDBEDBABCDA与则是正方体，如图，21111111111 x4 ）所成角的余弦值是（ 151A B 21783 DC 172 图PDABCDEP?ABCD若是正方形，中点，在四棱锥中，底面为3. c?bPCaPA?PB?BE ）（，则 ， 111111cb?ca?a?b B.A. 222222 311113c?bacba? C. D. 222222 图 精彩文档实用标准文案 二、填空题 AC?BC?0C2,7)(?3,A(1,2,3)B的坐标为_. ,则点4.若点,且ABCD?ABCDBCAAD中，直线夹角的余弦值为_. 与平面5在正方体111111三、解答题

12、?，所成的角为 中, AB与底面ABCD、在正四棱柱1ABCD-ABCD11111 4B?AC?B的正切值 ）求二面角（1）求证（2CBD?面AB111 P?ABCAB?AC?3 中，2在三棱锥P BCDPAE?4BAC?90?APABC?PA面,是在,中点,点, 上 ?PC?BDDEBE?2CEAC的余；(2)求直线,(1)且求证：夹角与DdBDEA. (3)求点的距离到平面的值弦值； CA E B aADBCABBCaPABCDABCDBADAD，=，3在四棱锥，中，底面是一直角梯形，=90，=2PDABCDPA 与底面成且30底面角，PDPDEBEAE ，为垂足，求证：；（1）若CDAE

13、 （2）求异面直线所成角的余弦值与 BBA共面；、E、F、D）求证：D分别是的正方体4、已知棱长为1，CE、F、CC的中点（11111BAAB ）求直线3与平面D所成的角DEF（到平面的2（）求点DEF的距离；11 精彩文档 实用标准文案 ABECDABCDAB 为棱5、已知正方体的棱长为2，点的中点，求：1111CBCDDDEBC 所成角的大小；（）（）二面角与平面的大小；111 【模拟试题】ABCDCD,GBC,BDM,AC的中点，化简下列分别是1. 已知空间四边形，设，连结1(BD?BC)ABCDBC?AB?； （各表达式，并标出化简结果向量：1） （2）； 21(AB?AG?AC)。）

14、 （3 2 OAC 外一点ABCD2. 已知平行四边形，从平面引向量。HG,E,F,kODOHkOC,?OE?kOA,OFkOB,OG?。1（）求证：四点 共面；EGAC/ （2）平面。平面 1BA?BE?DFDCAABCD?B ，3. 如图正方体中， 11111111114DFBE 与求所成角的余弦。11 C，（304. 已知空间三点A（，2，），B2，16），（1，）。1，5AC,AB 为一组邻边的平行四边形的面积求以向量S；3aaaAC,AB ，求向量若向量分别与向量|垂直，且的坐标。| ?DBCAABCD?90AD?AB4,?BAD5,AA?3, 已知平行六面体5.，中， ?AC60D

15、AA?BAA? 的长。，求 精彩文档 实用标准文案 参考答案 1. 解：如图， AD?AC?CD?AB?BC?CD （1）；111?BC?BDAB(BD?BC)?AB） （2。 222 AG?BM?MG?AB ； 1MGAG?AM?AG?(AB?AC)? （3。） 2 AD?ABACABCD ，（1）证明：四边形是平行四边形，2. 解： OEOG?EG? ，)ABk(OC?OA)?kAC?k(?ADk?k?OC?OA? OE?OF?OE?OH?k(OBOA?OD?OA) EHEF?H,F,G,E 共面； ACEG?k?ABk(OB?OA)?kOEEF?OF? ，2）解：，又（ AC/,EG/EFAB 。EG/AC 所以，平面平面。 3. 1xyz?O 解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系13,1)E(1,1)F(0,(0,0,0)DB(1,1,0) ，则， 114411,1)?(0,DF?BE(0,?,1) ， 1144 17 ?BE?DF， 1141115BE?DF?0?0?(?)?1?1?。 11 4416 精彩文档 实用标准文案 1515 16?,DF?cosBE 。 1117171744 1AB?AC?cos?BAC(AB?2,?1,3),AC?(1,?3,2),? 4. 分析： 2|ACAB|