第一章导数及其应用

1、第一章导数及其应用一、主要应用方向：（1）切线问题（2）求值问题（极值，最值）（3）面积问题二、知识点归类：1 导数的概念：导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率导数的物理意义，通常指物体运动的瞬时速度注意：切线上的已知点是在曲线上还是在曲线外强调：切点既在曲线上也在切线上2 导函数与一点处的导数f(x0) 的关系：是一个函数，表示函数f(x)在某给定区间（a,b）内的导函数，此时是在（a,b）上x的函数，即是在（a,b）内点x处的导数f(x0)是一个数值，表示f(x)在x=x0处的导数值，即f(x0)是函数在某一点的导数。3 复合函数求导（1）求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选

2、好中间变量（2）要分清每一步的求导是对哪个变量求导注意：开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟练后，中间步骤可省略（换元）强调：掌握几种常见函数复合成的复合函数求导（几种常见函数的复合函数 例如可以相乘，根号，分式，指对数复合等）4 函数的单调性设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果0,则f(x)为增函数，若0,则f(x)为减函数增函数 0恒成立减函数 0恒成立注意：0是增函数的充分不必要条件强调：求单调区间时0或0都对，因为一点不影响其单调性，但一般都是大于0（书上例题），多个单调区间用逗号，不能用并集符号。单调区间是定义域的子集5 求函数的极值，单调区间步骤：（1）求（2）令=0例如

3、x=x0（3）列表（4）结论xX00 增（减）极大（小）值增（减）注意：可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点例如y=x3(极值点导数为零)导数为零的点是极值点的必要不充分条件强调：极值和最值的区别和联系函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体概念。函数的极值可以有多个，但最大（小）值最多只有一个。如果连续函数在开区间（a,b）内只有一个极值点，那么极值也是最值。6利用导数求函数的最值 步骤（1）求（可导函数）（2）令=0例如x=x1，x=x2 (3) f(x1)f(x2)与端点处的函数值比较大小 确定最值 注意：在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否

4、为极值点不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y=|x|,在x=0处不可导，但它是最小值点 强调：生活中的优化问题（利润最大，用料最省，效率最高等）7 曲边梯形的面积定义：直线x=a,x=b(ab)y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形定积分的几何意义 ：曲边梯形的面积以直代曲求曲边梯形的面积的步骤：（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限注意：位于X轴上方时，定积分的取值为正值 位于X轴下方时，定积分的取值为负值。强调：(1)曲边梯形面积可直接求或者分开求（有的分好多部分）（2）积分上下限。大部分题目以X

5、为积分变量，但也有以Y为积分变量（需要转化成X是Y的函数）8 微积分基本定理 重点是求原函数 计算9 定积分的简单应用（1）在几何中的应用：求平面图形的面积（2）在物理中的应用：变速直线运动的路程 变力做功第一章导数及其应用一、主要应用方向：（1）切线问题（2）求值问题（极值，最值）（3）面积问题二、知识点归类：1 导数的概念：导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率。导数的物理意义，通常指物体运动的瞬时速度。2 导函数与一点处的导数f(x0) 的关系：是一个函数 ，f(x0)是一个数值。3 复合函数求导（1）求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量（2）要分清每一步的求导是对

6、哪个变量求导4 函数的单调性设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果0,则f(x)为增函数，若0,则f(x)为减函数增函数 0恒成立减函数 0恒成立注意：0是增函数的充分不必要条件5 求函数的极值，单调区间例f(x)定义域是(a,b)步骤：（1）求（2）令=0得 x=C（3）列表（4）结论x（a,c）c(c,b)0 增（减）极大（小）值增（减）极值点导数为零6利用导数求函数的最值步骤（1）求（可导函数）（2）令=0例如x=x1，x=x2 (3) f(x1)f(x2)与端点处的函数值比较大小 确定最值7 曲边梯形的面积定义：直线x=a,x=b(ab)y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形定积分的几何意义 ：曲边梯形的面积以直代曲求曲