数学分析专题选讲教案(3.1)new

1、楚雄师范学院数学系课程教案-数学分析专题选讲教案3-1-教案7 (数学分析专题选讲,周学时三节,单四双二)周 次 第5周 (2009.3.23-2009.3.29)课 题第三专题 微分中值定理中的若干基本方法3.1微分中值定理的应用学 时2学时教学内容（主要）一.中值定理的应用教 学 目 标1.深刻理解中值定理2.能熟练应用中值定理证明和解决问题.教学重点1.应用中值定理证明和解决问题的技能技巧教学难点1.应用中值定理证明和解决问题的技能技巧教学方法与手段 1.分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法2.借助多媒体辅助教学教 学 进 程 (教学设计)第三专题 微

2、分中值定理中的若干基本方法3.1 微分中值定理的应用一.中值定理的应用定理1(中值定理).设满足条件: (1).在连续; (2).在可导;(3).,则至少存在,使得,即方程在至少有一根. 图 3.1.1例1.不求的导数,讨论根的范围.解:因满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,故由中值定理,在至少有一根.又至多有个根,且互不相交,故在内各有一根. 图 3.1.2例2.设，且,证明:方程 在至少有一根.证明:令,则满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).故由中值定理,方程在至少有一根,即,在至少有一根.例3.设在存在阶导数,且,证明:至少存在,使得.证明:不妨设,则满足条

3、件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得. 图 3.1.3又满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得. 图 3.1.4又因满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得. 图 3.1.5例4.设在非负或非正、存在阶导数,且在内存在个互异实根,证明:至少存在,使得.证明:设在存在的个互异实根为,且,则.由于在非负或非正,故是在的极小值或极大值,于是.令,则在存在阶导数,且 ,故由例3,至少存在,使得,即至少存在使得, .例5.设在存在阶导数,且,证明:至少存在,使,其中.证明:因满足条件:

4、(1).在连续;(2).在内可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得.又因,故满足条件:(1).在上连续;(2).在内可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得.再因,故满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).故由中值定理,至少存在,使得. 而,故满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得. 图 3.1.6例6.设在存在阶导数,且,证明:,至少存在,使得. 证明:不妨设,令,则在内存在阶导数,且当 .故由例3,至少存在,使得.而 ,于是至少存在,使得 .例7.设,在连续,在可导,且,若在有两个零点,证明:在这两个零点间,至少有一个零点.证明

5、:设，则由条件知,.若在内均不等于，则在满足中值定理条件,故存在使，即,于是.此与矛盾.因此,在内至少有一个零点.例8.设在可导,证明:在任何两个零点之间,方程至少存在一根.证明:设为两个零点,令,则满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,于是由中值定理,至少存在,使得.而,故 .即方程在内至少存在一根.例9.设在连续,在可导,且,证明:至少存在,使得. 证明:因在连续,故由最值性定理,在存在最大值和最小值.令 ,则.故由介值性定理至少存在,使得.因此,满足条件: (1).在连续;(2).在可导;(3).,于是由中值定理,至少存在,使得.例10.设在上可导,且,证明:至少存在,使得.证明:由积分中值定理,至少存在,使得.令,则满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(